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(共28张PPT)
——函数的奇偶性
函数的概念和性质
湖南教育出版社
同学们，生活中有很多对称美,源远流长的中国文化中，天坛、剪纸
就应用了对称美。
情景引入
1
2
探究新知
观察投影里两组剪纸图片，你能说出它们分别是什么对称图形吗？








老艺术家们在剪纸时，先对折，再沿折线慢慢展开，其中蕴含着博大精深的数学思想。
轴
对
称
中
心
对
称


数学来源于生活，那么数学中如何来刻画对称图形呢？
我们初中学习的很多平面图形，如正方形、圆等都是轴对称和中心对称图形。
探究新知
2
O
y=|x|
y=2-x
y=x
y=
轴对称图形
中心对称图形
其实，某些函数图像也有这种对称性。如
探究新知
2
那么当函数图像呈现轴对称和中心对称时，能不能用简洁的数学符号来严谨的刻画呢？
对于二次函数
探究新知
2
... -2 -1 0 1 2 ...
... -2 1 2 1 -2 ...
列表：
描点、连线：
1
-1
1
对称
●
●
●
●
通过列表、描点、画图，从图像不难发现，当横坐标互为相反数时，纵坐标相等，即这几对点对称。然而，具体的几个点对称，并不能说明整个图像关于y轴对称。那如何用代数语言来严谨的证明图象关于y轴对称呢？
●
●
●
●
A
M
N
B
自变量互为相反数时，
函数值相等。
图象是由点构成的，而点的位置可以由坐标来表示，通过几何画板可知，A为图象上任意一点，过A作x轴的垂线，交于点M,作点M关于原点对称的点N，过N点作x轴的垂线交图象于B点。我们发现，在任意一点移动的过程中，当横坐标互为相反数时，纵坐标一直是相等的。再从函数的角度来看，即自变量互为相反数时，函数值相等。
x
(x,F(x））




（-x,F(-x）
F(x)=2-x
因此，图像关于y轴对称。
-x
F(-x)=F(x)
图像关于y轴对称
生成概念
3
图象上任意一点的坐标可以表示为（x,F(x)),相应的对称点表示为（-x,F(-x))。根据对应法则，代入函数解析式，即等式恒成立，图象关于y轴对称。即F(-x)=F(x)和图象关于y轴对称是等价的。
生成概念
3
这样，我们就可以通过函数表达式来严格严谨的定义函数的这种性质了。
偶函数
生成概念
3
同理，奇函数的概念为：
奇函数的定义
如果对一切使F(x）有定义
的x，F(-x）也有定义，并且
F(-x）=-F(x）成立，则称
F(x）为奇函数。
x
(X,f(x))
-x
(-x,f(-x)
数学的眼光
观察世界
数学的思维
分析世界
数学的语言
表达世界
探究函数奇偶性的过程中，我们从函数图象出发先观察出对称性，再用数学的思维分析对称性，最后用恰当的数学符号表达对称性。我们要学会用
x
-x
●
定义域
o
o
非寄非偶偶函数
总结归纳
4
观察函数奇偶的定义呢，我们不难发现，对于定义域中任意x，-x也在定义域内，即定义域关于原点对称。也就是说，定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的前提条件。那如果定义域不关于原点对称，我们把这样的函数称为非奇非偶函数。
o
x
y
o
x
y
F(-x)=F(x)
F(x)为偶函数
F(-x)=-F(x)
F(x)为奇函数
o
x
y
事半
功倍
总结提升
4
而判断函数的奇偶性，其实就是判断F(x)和F(-x)的关系，若符号相同，则为偶函数，若符号相反，则为奇函数,这是个充要条件。
如何判断函数的奇偶性呢？
应用迁移
5
例1 判断下列函数是否为偶函数或奇函数？
偶函数
●
奇函数
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图像 直观判断
应用迁移
5
能否用定义判断函数的奇偶性？
应用迁移
5
例2 判断下列函数的奇偶性.
①
②
③
④
解：
①定义域为R,关于原点对称，且有f(-x)===f(x),为偶函数
②定义域为(-∞，0）U（0，+∞），且有f(-x)=--x=-(为奇函数；
③定义域为R，f(-x)=f(x)=-f(x),既是奇函数也是偶函数；
④定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶函数）.
定义域
关于
原点对称
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
否则
判断函数奇偶性
定义域
是否
关于原点
对称
不对称
非奇非偶函数
f(-x)=f(x)
偶函数
f（-x）=-f（x）
奇函数
o
x
y
o
x
y
轴对称
中心对称
●
图像观察 定义判断
方法归纳
6
根据奇函数、偶函数的性质
判断
f(x) g(x) h(x) 奇偶性
+
-

方法归纳
6
求证：定义域R上的两个奇函数的和是奇函数
证明：定义域为R,关于原点对称
设：
奇函数
f(x) g(x)
f(-x)=-f(x)
g(-x)=-g(x)
两个奇函数的和为h(x)
h(x）=f(x）+g(x)
h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)
=-[f(x)+g(x)]=-h(x)
所以，h(x)为奇函数
奇函数和偶函数的和、差、积的各种组合
奇函数+奇函数=？ 奇函数-奇函数=？ 奇函数x奇函数=？
偶函数+偶函数=？ 偶函数-偶函数=？ 偶函数x偶函数=？
奇函数+偶函数=？ 奇函数-偶函数=？ 奇函数x偶函数=？
同学们可以课后去研究它们的奇偶性。好，我们来小结一下如何判断函数的奇偶性。
方法归纳
6
如何判断函数的奇偶性
（1）由函数图像看对称性；
o
x
y
o
x
y
轴对称
中心对称
●
偶函数
奇函数
（2）根据奇偶性定义判定；
定义域
是否
关于原点
对称
f(-x)=f(x)
偶函数
f（-x）=-f（x）
奇函数
不对称
非奇非偶函数
方法归纳
6
(3)奇函数和偶函数的和、差、积的组合判断
奇函数+奇函数=？ 奇函数-奇函数=？ 奇函数x奇函数=？
偶函数+偶函数=？ 偶函数-偶函数=？ 偶函数x偶函数=？
奇函数+偶函数=？ 奇函数-偶函数=？ 奇函数x偶函数=？
方法归纳
6
巩固提升
7
1.判断下列定义域为R的函数是否为偶函数或奇函数？
答案：（1）偶函数 ; （2）、（3） 既不是奇函数也不是偶函数; （4）奇函数。
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巩固提升
2.如图, 是偶函数的局部图像。画出 在其定义域上的图象，并比较 与 的大小关系是。
7
答案：图略。f(1) < f(3)
课后延伸
8
答案：解：(1)因为 f(x) 是定义在（-2，2）上的奇函数
所以f(0)=0.
(2)因为 f(x) 是定义在（-2，2）上的奇函数 ，且在定义域上 单调递增，若f(2+a)+f(1-2a) >0,可得f(2+a) > f(2a-1).
2+a <2
转化为： 2a-1>-2 . 解得： - 2+a > 2a-1
所以，实数a的取值范围：（- ，0）.
谢谢

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