资源简介

(共22张PPT)
3.1.1 椭圆的标准方程
普通高中教科书 湖南教育出版社 选择性必修第一册
第三章圆锥曲线与方程
1
广泛的应用
一、直观感知，认识生活中的圆锥曲线
2
名称的由来
如图所示，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变截面与圆锥的轴所成的角（设圆锥轴截面的顶角为 ，截面与轴所成角为 ），那么会得到怎样的曲线呢？
问题1
历史上，古希腊人曾经用纯几何的方法研究圆锥曲线，但17世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线，你能猜测这些变化的大致原因吗？
笛卡尔 （1596年-1650年）17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数的方法研究圆锥曲线.
用坐标法来研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化，精确地计算
问题2
追问：如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思想和构架吗？
本章的研究基本思路是
现实背景→曲线的概念→曲线的方程→曲线的性质→实际应用
F2
F1
动手实验
做一做
二、探究新知——椭圆的定义
取一条定长的细绳,如果把它的两端固定在图板上的两个点F1，F2处，（绳长大于两点间距离|F1F2|）,用铅笔尖把细绳拉紧，移动笔尖，观察所画出的轨迹是什么曲线？
问题3
1.上面的作图过程中，哪些要素是变的，哪些要素是不变的？
2.在这一过程中移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
想一想
问题4
二、探究新知——椭圆的定义
追问1：如果绳长恰好等于两点间距离|F1F2|，移动笔尖，画出的图形是什么？
追问2：如果绳长小于两点间距离|F1F2|呢？
平面上到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距。
二、探究新知——椭圆的定义
椭圆是满足什么样条件的点的轨迹？
到两个定点F1、F2的距离之和为常数的点的轨迹叫作椭圆。
平面上
以上的描述严谨吗？
问题5
椭圆的定义
符号语言
|PF1|+|PF2|=2a(常数)（大于|F1F2|=2c）
F1
F2
P
二、探究新知——强调定义
椭圆定义中容易遗漏的地方：
（1）平面上；
（2）距离之和是常数，即：
（3）距离之和大于焦距，即：2a>|F1F2|=2c
|PF1|+|PF2|=2a
巩固练习
1.平面上到两个定点A(-4,0),B(4,0)的距离之和为8的点的轨迹是什么？
线段AB
椭圆，排除与B、C共线的两点
2.已知三角形ABC的周长为16，BC边长是6，顶点A的轨迹是什么？
解析几何的核心思想是什么？
O
x
y
P
F1
F2
问题6
二、探究新知——椭圆的标准方程
追问1：何为代数方法？求解曲线方程的基本步骤有哪些？
追问2：怎样建系才能使得求解方程简单？
代数方法解决几何问题
建系→设点→列式→化简
建系
设点
列式
以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
设P(x,y)是椭圆上任意一点，|F1F2|=2c,则有F1(-c,0),F2(c,0),又设P到F1,F2的距离和为2a.
由定义知，|PF1|+|PF2|=2a
化简
y
x
P
(x,y)
F1
(-c,0)
F2
(c,0)
则：
“两边平方”
如何化简带根式的式子？
①
“移项再平方”
… …
二、探究新知——椭圆的标准方程
问题7
二、探究新知——椭圆的标准方程
叫做椭圆的标准方程.
两边再平方，得
整理得
先移项，再平方
两边除以 得
假设 则
它表示：
① 椭圆的焦点在 轴;
② 焦点坐标为
③
二、探究新知——椭圆的标准方程
O
x
y
F1
F2
P
可以看出这是一个二元二次方程
当椭圆焦点在y轴上时方程是怎样的？
问题8
二、探究新知——对比研究
O
x
y
F1
F2
P
y
x
P
(x,y)
F1
(-c,0)
F2
(c,0)
如何区分焦点在哪个坐标轴上？
问题9
焦点在y轴上椭圆的标准方程
标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!
定 义
图 形
标准方程
焦点坐标
a,b,c之间的关系
标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!
O
x
y
P
F1
F2
O
x
y
F1
F2
P
二、探究新知——椭圆的标准方程
|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|=2c
三、典例剖析
例1 求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和：
解：(1)已知方程是椭圆的标准方程，由4>1,可知这个椭圆的焦点在 轴上，且 ，所以
因此 ，椭圆的焦点坐标为 ，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为 .
(2)椭圆的焦点坐标为 ，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为 .
四、方程求解
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点坐标为（-3,0）和（3,0），椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
（2）焦点坐标为（0，-2）和（0,2），且经过点（3,2）.
求椭圆方程的常用方法
做一做
方法总结
1.定义法
2.待定系数法
基本步骤：先定位，后定量
课堂小结
知识层面
思想层面
情感层面
|PF1|+|PF2|=2a
数形结合思想
转化与划归思想
类比思想
数学源于生活
数学用于生活
求美意识
求简意识
作 业
必做题：
（1）教材P114第1,2题；
选做题：
（2）求与圆 外切，且与 内切的动圆
圆心的轨迹方程.
实践活动——折纸法画椭圆
第一步：用圆规在纸上画圆，沿着圆周剪下一个圆形纸片。设圆心是O，在圆内不是圆心处取一点，标上F。
把纸片翘起一角，使圆周正好通过F。
把纸片抹平，于是就留下一条折痕。为了清楚些，你可以再折痕上标上红线。如图1
第二步：继续重复上述过程。得到若干条折痕。
你会发现，这些（红色）折痕已经围成一个椭圆了。如图2
图1
图2

展开更多......

收起↑