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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
解 分式方程 分式方程： 分母中含 的方程叫做分式方程.
解分式方程的一般步骤 (1)去分母：方程两边同乘 ，把分式方程转化为整式方程. (2)解整式方程：解这个整式方程. (3)检验：把整式方程的解代入 ，使最简公分母的值为0的根是 ，必须舍去；使最简公分母的值不为0的根是原方程的根.
增根的特点 (1)使 的值为0；(2)是所化成的整式方程的根. 剖难点，分式方程无解的判断.
分式方程无解 分式方程无解，需分两种情况讨论：①把分式方程化成整式方程后， 方程无解；②去分母后的整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0.
分式方程的实际应用 分式方程实际应用中的基本关系 (1)行程问题：= ； (2)工程问题：=工作时间； (3)销售问题：=数量， =单价； (4)顺(逆)水问题：=顺水时间， =逆水时间.
列分式方程解应用题的一般步骤 1. 审清题意； 2. 设出 ； 3. 找 ； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 7. 作答.
■考点一　分式方程的概念
◇典例1：有下列方程：①2x+=10；②x-；③；④=0．属于分式方程的有（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
◆变式训练
1.下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
2.在下列方程①x2﹣x+；②﹣3=a+4；③+5x=6；④+=1中，是分式方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
■考点二 解分式方程
◇典例2：解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.解分式方程．
（1）；
（2）．
2.解方程：
（1）；
（2）．
■考点三 分式方程的增根问题
◇典例1： 若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（　　）
A． B． C．0 D．1
◆变式训练
1.已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　.
计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？
■考点四 用分式方程的解确定字母的取值范围
◇典例3：若关于x的分式方程 的解为负数，则m 取值范围是(　　)
A．m<-10 B．m≤-10
C．m≥-10且m≠-6 D．m>-10且m≠-6
◆变式训练
1.关于的分式方程有非正数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知关于的分式方程.
（1） 若该分式方程有增根，求的值；
（2） 若该分式方程的解是正数，求的取值范围.
■考点五 分式方程无解问题
◇典例1：若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
◆变式训练
1.若关于x 的方程 无解，求a 的值.
2.已知关于x的分式方程．
（1）当时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求的值．
■考点六 根据实际问题列分式方程
◇典例1：盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2. “竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
■考点七 分式方程的实际应用问题
◇典例1：为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？
◆变式训练
1.为了迎接新学期的到来，某文化用品商店分两批购进同样的书包，提供给新入学的学生购买使用．
（1）第二批购进书包的单价是多少元？
（2）两批书包的销售价格都是80元，当两批书包全部售出后，商店共盈利多少元？
2.某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
（1）求规定的工期为多少天？
（2）甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？
1．（2025·高要模拟）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·广州模拟）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·汕尾模拟）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（　　）
A． B． C．3 D．9
4．（2025·龙川模拟）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·花都模拟）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·深圳模拟）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动，甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min到达活动地点，若设乙同学的速度是xm/min，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·广东）在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步：
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
8．（2025·海珠模拟）现安排甲、乙两个工程队对某地的道路进行改造．已知甲工程队改造米的道路与乙工程队改造米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造米，求乙工程队每天改造道路的长度是多少米？
9．（2025·龙湖模拟）列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连.2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．
某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
10．（2025·中山模拟）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的倍；若由甲队先单独施工天，乙队再加入，两队还需同时施工天，才能完成这项工程．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？
1．（2025·临洮模拟）分式方程的解为（　　）
A．0 B．6 C．2 D．4
2．（2025·深圳） 某社区组织居民种树共 60 棵，由于大家积极参加，实际参加植树活动的人数是原计划的2倍，结果每人比原计划少种了3棵树，设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南山模拟）某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·清新模拟）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
5．（2025九下·东阳模拟）若关于的方程的解为，则的值是　 　．
6．（2025·中山模拟）解分式方程：
7．（2025·坪山模拟）在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误；
②错误的原因是____________________．
8．（2025·深圳一模）临近六一，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软弹玩具枪，每个水弹玩具枪的进价比每个软弹玩具枪的进价少5元．
（1）求每个水弹玩具枪和每个软弹玩具枪的进价分别是多少元？
（2）这批水弹玩具枪和软弹玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软弹玩具枪，此时每个水弹玩具枪的进价上涨了m元，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了8m个；软弹玩具枪的进价不变，购进软弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了个，总花费1100元，求m的值．
9．（2025·岳阳模拟）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
10．（2025·清新模拟）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货．
（1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的，值；
②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
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第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
解 分式方程 分式方程： 分母中含未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的一般步骤 (1)去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程. (2)解整式方程：解这个整式方程. (3)检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母的值为0的根是增根，必须舍去；使最简公分母的值不为0的根是原方程的根.
增根的特点 (1)使最简公分母的值为0；(2)是所化成的整式方程的根. 剖难点，分式方程无解的判断.
分式方程无解 分式方程无解，需分两种情况讨论：①把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；②去分母后的整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0.
分式方程的实际应用 分式方程实际应用中的基本关系 (1)行程问题：=时间； (2)工程问题：=工作时间； (3)销售问题：=数量， =单价； (4)顺(逆)水问题：=顺水时间， =逆水时间.
列分式方程解应用题的一般步骤 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根， 二验是否符合题意)； 7. 作答.
■考点一　分式方程的概念
◇典例1：有下列方程：①2x+=10；②x-；③；④=0．属于分式方程的有（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【解析】【解答】解：①2x+=10是整式方程，
②x﹣是分式方程，
③是分式方程，
④=0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选B．
【分析】根据分式方程的定义对各小题分析判断即可得解．
◆变式训练
1.下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程，
D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选D．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
2.在下列方程①x2﹣x+；②﹣3=a+4；③+5x=6；④+=1中，是分式方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①x2﹣x+是代数式；
②﹣3=a+4是分式方程；
③+5x=6是一元一次方程；
④+=1是分式方程，
故选：B．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
■考点二 解分式方程
◇典例2：解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以去分母得：，
故选B．
【分析】根据等式的性质将等号两边乘以x-2即可求出答案.
◆变式训练
1.解分式方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
原方程去分母得：，
解得：，
检验：将代入得，
则是分式方程的增根，
故原方程无解；
（2）解：，
，
原方程去分母得：，
解得：，
检验：将代入，
故原方程的解为
【解析】【分析】（1）通过对方程两边同时乘以分母的最小公倍数，消去分母，将其转化为整式方程。然后求解得到的整式方程，得到x的解。最后需要将整式方程的解代入最简公分母中进行检验，最简公分母为0，即可得出分式方程无解；
（2）通过对方程两边同时乘以分母的最小公倍数，消去分母，将其转化为整式方程。然后求解得到的整式方程，得到x的解。最后需要将整式方程的解代入最简公分母中进行检验，即可得出分式方程的解；
2.解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
■考点三 分式方程的增根问题
◇典例1： 若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：方程两边都乘x（x-1），
得x（x+a）-x（x-1）=3（x-1），
整理可得，ax-2x=-3
∵方程有增根，
∴增根是x=0或x=1，
把x=0代入整式方程，a无解，
把x=1代入整式方程，得a=-1．
∴a的值为-1．
故选：B．
【分析】理解增根的概念是解题的关键. 增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
◆变式训练
1.已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　.
【答案】-2
【解析】【解答】解：
去分母可得，-mx=2-2(x-1)，即-mx=-2x+4
∵分式方程有增根，即x=1
将x=1代入上式可得
-m=-2+4，解得：m=-2
故答案为： -2
【分析】去分母转换为整式方程，再根据方程有增根，将x=1代入整式方程即可求出答案.
2.计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？
【答案】解：
方程的两边都乘以，得
化简，得．
∵当时，即时，方程有增根
∴当时，；
当时，．
∴当或时，关于x的方程会产生增根．
【解析】【分析】本题考查了分式方程增根问题，化分式方程为整式方程，求出，然后求出增根为，然后代入求解即可．
■考点四 用分式方程的解确定字母的取值范围
◇典例3：若关于x的分式方程 的解为负数，则m 取值范围是(　　)
A．m<-10 B．m≤-10
C．m≥-10且m≠-6 D．m>-10且m≠-6
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意解分式方程，得，
∵x-2≠0，
∵x<0，
∴，
解得m<-10，
故答案为：A.
【分析】先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解小于0，得出m的取值范围.
◆变式训练
1.关于的分式方程有非正数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
∵解为非正数，
∴，解得
又∵，即
∴ 即
∴的取值范围是
故选：C.
【分析】先解方程求出方程的解为，然后根据题意得到且，然后解不等式求出a的取值范围即可.
2.已知关于的分式方程.
（1） 若该分式方程有增根，求的值；
（2） 若该分式方程的解是正数，求的取值范围.
【答案】（1）由分式方程有增根，得，即，把代入，得.
（2）解分式方程，得，根据分式方程的解为正数，得，且，解得且.
【解析】【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，代入整式方程计算即可求出m的值；
(2)表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可.
■考点五 分式方程无解问题
◇典例1：若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
◆变式训练
1.若关于x 的方程 无解，求a 的值.
【答案】解：原方程化为(a+2)x=-3，
∵原方程无解，
∴a+2=0或x-1=0，x+2=0，得a=-2或x=1，x=-2.
把x=1，x=-2分别代入①，得 ，
综上知a=-2，-5或 .
【解析】【分析】原方程“无解”：可能是化得的整式方程无解，亦可能是求得的整式方程的解为增根，故须全面讨论.
2.已知关于x的分式方程．
（1）当时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求的值．
【答案】（1）解：当m=-1时，
原方程为：
方程两边同乘（1-x），得：2=x-2（1-x），
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：将代入（1-x）得：，
是原分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘（1-x），得：2=-mx-2（1-x），
整理得：（2-m）x=4，
∴当2-m=0时，即m=2时，原分式方程无解，
当2-m≠0时，即m≠2时，原分式方程无解，
则x-1=0，即x=1，
此时，m=-2，
综上所述，当m=2或m=-2时，原分式方程无解.
【解析】【分析】（1）利用去分母将分式方程转化为整式方程，求出的值后进行检验即；
（2）用去分母将分式方程转化为整式方程，然后根据分式方程无解进行分类讨论即可.
■考点六 根据实际问题列分式方程
◇典例1：盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设袋装盲公饼的进价为x元，则盒装盲公饼的进价为元，根据“第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍”列出分式方程即可求出答案.
◆变式训练
1.小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设小红的骑行速度为x km/h，则小亮的骑行速度是1.2x km/h，
∵根据两人各自骑行了6km，小亮的骑行时间＋4min＝小红的骑行时间
∴列得方程为，
故答案为：A．
【分析】设小红的骑行速度为x km/h，则小亮的骑行速度是1.2x km/h，利用“小亮的骑行时间＋4min＝小红的骑行时间”列出方程即可.
2. “竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设慢车间每天生产茶具x套，快车间每天生产茶具套
原计划由慢车间单独生产，需要时间为天
现由快车间单独生产，需要时间为天
由快车间单独生产可以提前10天完成，即快车间需要的时间比慢车间少10天，可列方程为，B正确.
故答案为：B.
【分析】列方程解应用题时，需要先找到已知条件及对应的数量关系，已知原计划由慢车间单独生产，可以得到原计划生产需要的时间，经过改良，快车间每天生产的数量是慢车间的 倍 ，可以得到改进技术后生产需要的时间，再由快车间单独生产可以提前10天完成便能列出相应的分式方程。
■考点七 分式方程的实际应用问题
◇典例1：为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？
【答案】解：设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则
，
解得：，
经检验符合题意；
答：原计划大巴车平均每小时行驶45千米．
【解析】【分析】 设未知数 ：根据问题，设原计划大巴车平均每小时行驶的速度为x千米， 找等量关系 ：通过分析题目中的关键信息“实际比计划行驶时间多用20分钟”，确定等量关系为“实际行驶时间 原计划行驶时间=20分钟（转化为小时）”。 列方程并求解 ：根据路程、速度、时间的关系（时间=路程÷速度）分别表示出原计划行驶时间和实际行驶时间，代入等量关系列出方程，然后求解方程，最后检验方程的解是否符合实际意义。
◆变式训练
1.为了迎接新学期的到来，某文化用品商店分两批购进同样的书包，提供给新入学的学生购买使用．
（1）第二批购进书包的单价是多少元？
（2）两批书包的销售价格都是80元，当两批书包全部售出后，商店共盈利多少元？
【答案】（1）解：设第二批购进书包的单价是x元，
则：，
解得，
经检验：是原方程的根．
∴第二批购进书包的单价是64元。
（2）解：第二批书包的数量是个，
第一批书包的数量是100÷2=50个，
（元），
∴商店共盈利2600元。
【解析】【分析】（1）设第二批购进书包的单价是x元，则第一批购进的单价是元，根据两次购买书包的数量之间的关系列出分式方程，求解得出x的值后，检验即可；
（2）先求出第二批书包的数量为100个，结合条件即可求出第一批书包的数量是50个，然后用两次的售价减去两次的成本即可得出答案．
2.某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
（1）求规定的工期为多少天？
（2）甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？
【答案】（1）解：设这项工程为单位1，规定的工期为x天，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：规定的工期为20天；
（2）解：由题意和（1）知，甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需25天，故①③方案能够保证工程如期完工，方案①所需施工费用为（万元），
方案③所需施工费用为（万元），
∵，
∴方案③的施工费用最少．
【解析】【分析】
（1）设规定的工期为x天。因为甲队单独完成这项工程刚好如期完工，所以甲队单独完成需要x天，那么甲队每天的工作效率为；又因为乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天，所以乙队单独完成需要(x+5)天，乙队每天的工作效率为，根据方案③“甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工”，可列出方程求解并检验得到规定工期；
（2）分别计算在保证如期完工的前提下，符合要求的方案①和方案③的施工费用，通过比较费用大小得出费用最少的方案。
1．（2025·高要模拟）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故答案为：B．
【分析】
根据解分式方程的步骤：先去分母得，然后去括号，移项并合并计算可得，最后检验根，即可解答．
2．（2025·广州模拟）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为：，
故答案为：．
【分析】先将分式方程两边同时乘以最简公分母化分式方程为一元一次方程，解一元一次方程求出x的值，然后检验即可求解．
3．（2025·汕尾模拟）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（　　）
A． B． C．3 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程的解为，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴m的值为3，
故答案为：D．
【分析】将代入关于x的分式方程，得关于m的分式方程，解方程即可求解.
4．（2025·龙川模拟）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设印刷不清的分母为，
由题意得，，
解得：，
A、当时，，故A符合题意；
B、当时，，故B不符合题意；
C、当时，，故C不符合题意；
D、当时，，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可解答．
5．（2025·花都模拟）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，
由题意得，，
故答案为：A。
【分析】设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，根据时间=路程÷速度，分别求出两队的速度，然后再根据“A队比B队提前了25秒到达终点”，据此即可建立方程。
6．（2025·深圳模拟）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动，甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min到达活动地点，若设乙同学的速度是xm/min，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 若设乙同学的速度是xm/min ，则甲同学的速度是1.1xm/min，根据题意列方程得；
故答案为：A.
【分析】根据已知条件找等量关系时间=，设乙同学的速度是xm/min ，则甲同学的速度是1.1xm/min，根据 乙同学比甲同学提前7min到达活动地点列等量关系.
7．（2025·广东）在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步：
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
【答案】解：第一步出错
等式的性质：等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立.
过程不正确，正确解析如下：
1-x=-1-2x+4
x=2
检验： 当x=2时， x-2=0
∴原分式方程无解.
【解析】【分析】小李解法中的第一步是去分母操作。去分母是将分式方程转化为整式方程的关键步骤，依据是等式的基本性质：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立 。在分式方程中，为了消去分母，需要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母。小李没有对方程最右边的常数项乘以最简公分母x-2。
8．（2025·海珠模拟）现安排甲、乙两个工程队对某地的道路进行改造．已知甲工程队改造米的道路与乙工程队改造米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造米，求乙工程队每天改造道路的长度是多少米？
【答案】解：设乙工程队每天改造道路的长度是米，则甲工程队每天改造道路的长度是(+30)米，根据题意得
，
解得：．
经检验，为原分式方程的解．
答：乙工程队每天改造道路的长度是米
【解析】【分析】设乙工程队每天改造道路的长度是米，根据甲工程队改造米的道路与乙工程队改造米的道路所用时间相同，列出分式方程，然后求出方程的解进行检验即可.
9．（2025·龙湖模拟）列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连.2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．
某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
【答案】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合实际意义，
∴．
答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元．
【解析】【分析】
设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据题中的相等关系"顾客花800元购买A款吉祥物的数量=花600元购买B款吉祥物的数量"列出关于x的分式方程，解这个分式方程并检验即可求解．
10．（2025·中山模拟）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的倍；若由甲队先单独施工天，乙队再加入，两队还需同时施工天，才能完成这项工程．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？
【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天.
（2）解：根据题意得：（元）．
答：所需的施工费用是元．
【解析】【分析】
（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的分式方程，求解并检验，即可解答；
（2）利用总施工费用两队每天所需施工费用之和两队合作完成工程所需时间，即可解答.
1．（2025·临洮模拟）分式方程的解为（　　）
A．0 B．6 C．2 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：
解得，
经检验是分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】由题意，在方程两边同时乘以最简公分母（x-2），可将分式方程化为整数方程，解整式方程求出x的值，再检验可求解．
2．（2025·深圳） 某社区组织居民种树共 60 棵，由于大家积极参加，实际参加植树活动的人数是原计划的2倍，结果每人比原计划少种了3棵树，设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意原计划有x人参加活动，则实际参加活动的人数为2x人，计划每人种树为，实际每人种树为，由此得.
故答案为：A .
【分析】结合题意知实际参加活动人数为2x，分别表示每人种植的棵数，即可列出分式方程.
3．（2025·南山模拟）某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设R2单独处理需要小时，
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设R2单独处理需要小时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
4．（2025·清新模拟）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
关于的方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故选：B．
【分析】首先解关于的方程 ，求得，再根据分式方程的解是负数，得出不等式，，且，求解即可。
5．（2025九下·东阳模拟）若关于的方程的解为，则的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴的值是；
故答案为：.
【分析】根据方程根的定义，将x=1代入原方程可得关于字母a的分式方程，然后去分母将新分式方程转化为整式方程，解整式方程求出a的值，再检验即可.
6．（2025·中山模拟）解分式方程：
【答案】解：，
去分母，得，
移项，合并，得，
系数化为，得，
当时，，
则不是分式方程的解，
故原方程无解
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：先去分母得，移项合并得，计算可得出答案，最后验根，即可解答．
7．（2025·坪山模拟）在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误；
②错误的原因是____________________．
【答案】①一；②方程右边的这一项漏乘了
【解析】观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了．
故答案为：一；方程右边的这一项漏乘了．
【分析】观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的这一项漏乘了，据此可得答案．
27．（2025·茂南模拟）为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？
【答案】解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天这种树棵．
【解析】【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树棵，根据工作时间＝工作总量＋工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解方程即可求出答案.
8．（2025·深圳一模）临近六一，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软弹玩具枪，每个水弹玩具枪的进价比每个软弹玩具枪的进价少5元．
（1）求每个水弹玩具枪和每个软弹玩具枪的进价分别是多少元？
（2）这批水弹玩具枪和软弹玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软弹玩具枪，此时每个水弹玩具枪的进价上涨了m元，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了8m个；软弹玩具枪的进价不变，购进软弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了个，总花费1100元，求m的值．
【答案】（1）解：设一个软弹玩具枪进价为x元，一个水弹玩具枪的进价为元，根据题意得
，
解之：，
经检验是方程的解且符合题意，
∴x-5=8-5=3
答：一个软弹玩具枪进价为8元，一个水弹玩具枪的进价为3元
（2）解：第一次购进水弹玩具枪的数量为：个
第一次购进软弹玩具枪的数量为：个
根据题意可得，，
解得，
答：m的值为2
【解析】【分析】（1）抓住题中关键的已知条件： 分别用300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软弹玩具枪； 每个水弹玩具枪的进价比每个软弹玩具枪的进价少5元 ；这里包含了两个等量关系，再设未知数，列方程求解即可.
（2）利用（1）中计算的结果，可求出第一次购进软弹玩具枪的数量和水弹玩具枪的数量，再根据题意可表示出再次购进两种玩具枪的数量，然后根据总花费1100元，可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可.
9．（2025·岳阳模拟）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元
∴
解得：
∴
答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元．
（2）解：设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米
∴
解得：
经检验：是原方程的根且符合题意
答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
【解析】【分析】本题包含两个小问，分别考查一元一次方程和分式方程在实际问题中的应用。
(1)涉及价格与费用的关系，利用A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元设未知数，依据 购买A、B两种外墙漆各300千克，总费用为15000元这一总价等量关系，通过 总价=单价×数量构建一元一次方程求解.
(2)围绕工程效率与时间的关系，根据乙每小时粉刷外墙面积是甲的，设甲的工作效率，进而表示乙的工作效率，结合乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时，利用工作时间=工作总量÷工作效率构建分式方程求解，需注意检验分式方程的解.
10．（2025·清新模拟）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货．
（1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的，值；
②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
【答案】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，
由题意可得，解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
∴，
答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为.
（2）解：∵，且，m、n为整数，
∴或；
②当，时，（元），
当，时，（元），
∵，
答：该公司应使用4台A型号无人机，4台B型号无人机．
【解析】【分析】（1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）①根据题意得，再根据m的取值范围求解即可；
②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可．
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