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高分突破@3 函数
第 12 讲 二次函数
突破 1 比较二次函数函数值大小的方法
例 1 [2025 广东鹤山一模]在平面直角坐标系中，抛物线 = 4( 2)2 + 经过 (3, )， (0, )，
(1, )三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. < < B. < < C. < = D. = <
变 1．[2025 福建南安一模]二次函数 = 2 + 4 + ( ≠ 0)的图象经过 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
( 3, 3)三点，且 1 < 2 < 3 < 2，| 1| = | 3|，则 1， 2， 3的大小关系是（ ）
A. 若 > 0，则 1 > 3 > 2 B. 若 > 0，则 3 > 2 > 1
C. 若 < 0，则 1 > 3 > 2 D. 若 < 0，则 2 > 3 > 1
变 2．[2024 北京]在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 ( ≠ 0).
（1） 当 = 1时，求抛物线的顶点坐标.
（2） 已知 ( 1, 1)和 ( 2, 2)是抛物线上的两点.若对于 1 = 3 ,3 ≤ 2 ≤ 4，都有 1 < 2,
求 的取值范围.
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突破 2 二次函数图象与 ， ， 之间的关系的应用
例 2 [2025 济南二模]已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)图象的对称轴为直线 = 1，如
图所示，下列结论：① > 0；② 2 4 > 0；③4 + > 0；④对于任意实数 ，都有 ≤
1
2 + ；⑤设方程 2 + + 2 = 0的两根为 1， 2( 1 < 2)，当图象经过点( , 2)时， 1 +2
3
2 2 = 2.其中所有正确的结论是 （ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤
变 3．[2025 江苏盐城一模]函数 = 2 + + 与 = 的图象如图所示，有以下结论：① 2
4 > 0；②b + c + 1 = 0；③3b + c + 6 = 0；④当 1 < x < 3时， 2 + ( 1) + < 0.其中
正确结论的个数为________.
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第 12 讲 二次函数
突破 1 比较二次函数函数值大小的方法
例 1 [2025 广东鹤山一模]在平面直角坐标系中，抛物线 = 4( 2)2 + 经过 (3, )， (0, )，
(1, )三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. < < B. < < C. < = D. = <
答案：D
解析：抛物线的对称轴为直线 = 2，
∴ (3, )关于对称轴的对称点为(1, )，∴ = .
∵ 4 > 0，∴ < 2时， 随 的增大而减小，
∴ = < .
变 1．[2025 福建南安一模]二次函数 = 2 + 4 + ( ≠ 0)的图象经过 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
( 3, 3)三点，且 1 < 2 < 3 < 2，| 1| = | 3|，则 1， 2， 3的大小关系是（ ）
A. 若 > 0，则 1 > 3 > 2 B. 若 > 0，则 3 > 2 > 1
C. 若 < 0，则 1 > 3 > 2 D. 若 < 0，则 2 > 3 > 1
答案：C
4
解析：抛物线的对称轴为直线 = = 22 .
当 > 0 时，∵ | 1| = | 3|，∴ 1与 3互为相反数，
∴ 点 关于对称轴的对称点的横坐标为 4 1 = 3 4,
∵ 1 < 2 < 3 < 2,∴ 2 < 3 4 < 3 < 2.
∵ > 2时， 随 的增大而增大，
∴ 2 > 3 > 1，故 A，B不正确，不符合题意.
当 < 0 时，同理可得 1 > 3 > 2，故 D不正确，不符合题意.
故选 C.
变 2．[2024 北京]在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 ( ≠ 0).
（1） 当 = 1时，求抛物线的顶点坐标.
（2） 已知 ( 1, 1)和 ( 2, 2)是抛物线上的两点.若对于 1 = 3 ,3 ≤ 2 ≤ 4，都有 1 < 2,
求 的取值范围.
答案：
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解：（1）把 = 1 代入 = 2 2 2 ，得 = 2 2 = ( 1)2 1，
∴ 抛物线的顶点坐标为(1, 1).
2 2
（2） ∵ = ,∴2 抛物线的对称轴为直线
= .
分两种情况讨论：
①当 > 0 时，如图 1，由 1 < 2可得 < 3 < 3,解得 0 < < 1；
图 1
②当 < 0 时，如图 2，由 1 < 2可得 4 < ,解得 < 4.
图 2
综上，0 < < 1或 < 4.
突破 2 二次函数图象与 ， ， 之间的关系的应用
例 2 [2025 济南二模]已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)图象的对称轴为直线 = 1，如
图所示，下列结论：① > 0；② 2 4 > 0；③4 + > 0；④对于任意实数 ，都有 ≤
1
2 + ；⑤设方程 2 + + 2 = 0的两根为 1， 2( 1 < 2)，当图象经过点( , 2)时， 1 +2
3
2 2 = 2.其中所有正确的结论是 （ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤
答案：D
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解析：由函数图象可知 > 0， > 0， < 0，
所以 < 0，故①错误.
因为抛物线与 轴有两个不同的交点，
所以方程 2 + + = 0有两个不相等的实数根，
所以 2 4 > 0，故②正确.
因为抛物线的对称轴为直线 = 1，

所以 2 = 1，即 = 2 .
当 = 1时，函数值大于零，
所以 + + > 0，即 + 2 + > 0，
所以 3 + > 0.
又因为 > 0，所以 4 + > > 0，故③正确.
因为抛物线开口向上，且对称轴为直线 = 1，
所以二次函数在 = 1处有最小值 + .
对于抛物线上的任意一点，令其横坐标为 ，
则 2 + + ≥ + ，
即 ≤ 2 + ，故④正确.
1
当函数图象经过点( , 2)2 时，
1
= 是方程 2 + + = 22 的一个解，
1
则抛物线 = 2 + + 与直线 = 2的一个交点的横坐标为2.
5
根据抛物线的对称性可知，另一个交点的横坐标为 2，
所以方程 2
5 1
+ + 2 = 0的两根为 1 = =2, 2 2，
5 1 3
所以 1 + 2 2 = + 2 × = 2 2 2，故⑤正确.故选
D.
变 3．[2025 江苏盐城一模]函数 = 2 + + 与 = 的图象如图所示，有以下结论：① 2
4 > 0；②b + c + 1 = 0；③3b + c + 6 = 0；④当 1 < x < 3时， 2 + ( 1) + < 0.其中
正确结论的个数为________.
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高分突破@3 函数
答案：2
解析：∵ 函数 = 2 + + 的图象与 轴无交点，
∴ 2 4 = 2 4 < 0，故①错误；
由图象知，抛物线 = 2 + + 与直线 = 的交点坐标为(1,1)和(3,3)，
当 = 1时， = 1 + + = 1，故②错误；
∵ 当 x = 3时， = 9 + 3 + = 3，
∴ 3b + c + 6 = 0，故③正确；
∵ 当 1 < x < 3时，二次函数值小于一次函数值，
∴ 2 + + < ，
∴ 2 + ( 1) + < 0，故④正确.
故答案为 2.
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