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高分突破@3 函数
第 13 讲 二次函数的综合应用
突破 1 二次函数图象中的“线段和最短”问题
例 1 [2025 红桥区一模]在平面直角坐标系中，点 ( 3,0)，点 (0,3)，抛物线 = 2 + +
( ， 为常数)的顶点为 .
（1） 当抛物线经过点 ， 时，求点 的坐标.
2
（2） 若 = 4 4，抛物线上的点
的横坐标为 ( < ) // 2 ，且 .
① 求 的长；
② 当 + 取得最小值时，求点 的坐标.
解:（1） 将 ( 3,0)， (0,3)代入 = 2 + + ，
9 3 + = 0, = 2,
得 2 = 3, 解得 = 3. ∴ 抛物线的表达式为 = 2 + 3.
∵ = 2 2 + 3 = ( + 1)2 + 4，∴ 点 的坐标为( 1,4).
2
（2） ① ∵ = 4 4，
2
∴ 抛物线的表达式为 = 2 + + = 2 + + 4 = ( )2 + 4，∴ ( , 4)4 2 2 .
易得直线 的表达式为 = + 3,

∵ // ，∴ 设直线 的表达式为 = + ′.∴ + ′ = 42 ，解得
′ = 4
2，

∴ 直线 的表达式为 = + 4 2.

令 + 4 = ( )2 + 4,解得 1 = ， 2 = 12 2 2 2 .
b b
将 = 1代入 = + 4 ,得 y = 1 + 4 = 3,∴ ( 1,3)2 2 2 2 2 ，

∴ = ( 1 )2 + (3 4)2 = 22 2 .

② ∵ ( 1,3)2 ，
( , 4)
2 ，
∴ 将 向右、向上各平移一个单位长度得到点 ′( 2,1)，可得四边形 ′为平行四边形，
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∴ ′ = ，则 + = ′ + .
作点 关于直线 = 4的对称点 ′(0,8)，连接 ′ ′交直线 = 4于 ′，连接 ′ ,
则 ′ + = ′ + ′ ≥ ′ ′，
当点 与点 ′重合时， + 取得最小值.
7
设直线 ′ ′的表达式为 = + ∴ 2 + = 1,， = , = 8, 解得 2 = 8,
7 8 8 15
∴ 直线 ′ ′的表达式为 = + 8 ∴ ′( 2 ， 7
, 4)，∴ 2 = 7，∴ 2 1 = 7 ，
15
∴ 点 的坐标为( 7 , 3).
变 1．[2025 鹤山一模]如图，已知抛物线 = 2 2 + 3的顶点为 ，且与 轴交于 ， 两
点( 在 的左侧)，与 轴交于点 ，点 为抛物线对称轴上的一个动点，设对称轴与 轴交于点 .
（1） 当点 在 轴上方且 // 时，求 sin∠ 的值；
5
（2） 若抛物线对称轴上存在一点 ，使得 + 5 取得最小值，连接
并延长交第二象限
内的抛物线于点 ，请求出此时线段 的长度.
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高分突破@3 函数
（1） 解:对于抛物线 = 2 2 + 3，当 = 0时， 2 2 + 3 = 0，
解得 1 = 1， 2 = 3，∴ (1,0)， ( 3,0)，
∵ = 2 2 + 3 = ( + 1)2 + 4，∴ 对称轴是直线 = 1，顶点 ( 1,4)，
∴ = 2， = 4，∵ ∠ = 90 ,∴ = 2 5.∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，
2 5
∴ sin∠ = sin∠ = = =
.2 5 5
（2） 如图，过点 作 ⊥ 于点 ，交对称轴于点 ，延长 交第二象限内的抛物线于点 ，
5
此时 + 5 的值最小.
5 5
在 Rt △ 中，sin∠ = ∴ = sin∠ = ∴ + = + ， 5 ， 5 ，
5
∴ 要 + 5 取得最小值，只需
+ 的值最小，易知∠ = ∠ ，
2
∴ tan∠ = tan∠ ，即 = = ，∴ = 1 2 4 ，即
( 1,1).
1
+ = 0, = ,
设直线 的解析式为 = + ，将 (1,0)， ( 1,1)分别代入，得 2 + = 1,解得 1
= ,
2
1 1 51 1 = ,
∴ 的解析式为 = + = + , 2 = 1,2 2，联立得 2 2 解得 7 或 = 0（舍去）， = 2 2 + 3, =
4
5 7 5 7 7 5
∴ (
2 ,
)，∴ = (1 + )2 + ( )24 2 4
=
4 .
突破 2 二次函数图象中的面积问题
例 2 [2025 阜阳模拟]如图，抛物线 = 2 + 过点 ( 2, 2)， (6, 6).
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（1） 该抛物线的顶点坐标为________________；
（2） 点 是 上方抛物线上一动点（不与点 ， 重合），连接 ， ，则△ 面积的最大
值为________.
1
答案：（1） (1, )4
（2） 16
解析：（1） ∵ 抛物线 = 2 + 经过点 ( 2, 2)， (6, 6)，
1
∴ 4 2 = 2,
= ,
4 1 2 1 1 1
36 + 6 = 6.解得 1 ∴ = + = ( 1)
2 + ，
= . 4 2 4 4
2
1
∴ 该抛物线的顶点坐标为(1, )4 .
（2） 设直线 的解析式为 = + 1.
1
∵ ( 2, 2)， (6, 6) ∴ 2 + ， 1
= 2, 1 = ,
6 + = 6. 解得 21 1 = 3.
1
∴ 直线 的解析式为 = 32 .
1 1
设 ( , 2 + )( 2 < < 6)4 2 ，
1 1 1 1
则 △ = × [6 ( 2)][ 2 + ( 3)] = 2 + 4 + 12 = ( 2)2 +2 4 2 2
16.
∴ 当点 的横坐标为 2时，△ 的面积取得最大值，为 16.
变 2．[2025 陕西西安模拟]如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 = 2 + + 的图象与
轴交于点 (3,0)和点 ，与 轴交于点 (0, 3)， 是顶点.
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图 1 图 2
（1） 求该二次函数的解析式；
（2） 如图 2，连接 ， ， ，在直线 上方的抛物线上是否存在一点 ，使得△ 的
面积等于△ 的面积的 2倍，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
答案：
(3,0) (0, 3) = 2 + + 0 = 9 + 3 + , = 2,（1） 解：把 ， 代入 ，得 3 = . 解得 = 3.
∴ 该二次函数的解析式为 = 2 2 3.
（2） 存在.∵ = 2 2 3 = ( 1)2 4，∴ 顶点 (1, 4)，对称轴为直线 = 1.
设直线 的解析式为 = + 1，把 (3,0) (0, 3)
0 = 3 +
， 代入，得 1
, = 1,
3 = 1.
解得 1 = 3.
1
∴ 直线 的解析式为 = 3.∴ △ = × (3 0) × [1 3 ( 4)] = 32 .
设点 的坐标为( , 2 2 3).过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，∴ ( , 3).
1 1
∴ △ = | | | | = [ 2 2 3 ( 3)] 3 = 62 2 ,
整理得 2 3 4 = 0,解得 1 = 1, 2 = 4,
当 = 1时， 2 2 3 = 0;当 = 4时， 2 2 3 = 5.
∴ 点 的坐标为(4,5)或( 1,0).
突破 3 二次函数的实际应用
例 3 [2025 河南郑州二模]郑州市某公园计划建造一个直径为 20 m的圆形喷水池，在喷水池
的周边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱在距池中心 4 m处达到最高，
高度为 6 m.如图，以水平方向为 轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系.
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（1） 求抛物线的表达式.
（2） 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物
应设计为多高？
（3） 由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱在距池中心
4 m处达到最高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为 = 2 2 + 2 + 2( 2 ≠ 0)，若（1）
中抛物线的表达式为 = 21 + 1 + 1( 1 ≠ 0)，则 2________ 1， 2________ 1，
2________ 1（填“> ”“< ”或“=”）.
解：（1） 由题意得，抛物线的顶点为(4,6)，∴ 可设 = ( 4)2 + 6.
1
又∵ 抛物线经过点(10,0)，∴ 0 = (10 4)2 + 6. ∴ 0 = 36 + 6.∴ = 6.
1 1 4 10
∴ = ( 4)2 + 6 = 2 + +6 6 3 3 .
1 4 10
∴ 抛物线的表达式为 = 2 + +6 3 3 .
1 4 10 10
（2） 在水池中心 = 0处，水柱高度为 = × 02 + × 0+ =6 3 3 3 .
10
∴ 装饰物应设计为 m3 .
（3） <；>；<
解析：
（3） 由题意，喷水池直径减小，半径 减小，但顶点(4,6)不变.
又∵ 抛物线开口方向由 的符号决定，开口大小由| |决定，且当 减小时，抛物线需在更短的
距离内达到相同高度，
∴ 抛物线的开口更小，即| 2| > | 1|，故 2 < 1（均为负数）.
2
又∵ 顶点不变，即 2 不变， 不变，∴ 4 2
> 1， 2 < 1.
变 3．[2025 曲阜一模]研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，
并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议.
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材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克 10 元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量 （千克）
与销售单价 （元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为 12 元时，日销售量为 1 800 千克；销售单价为 15 元时，日销售
量为 1 500 千克.
任务一：建立函数模型
（1） 求出 与 的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
任务二：设计销售方案
（2） 设该种蔬菜的日销售利润为 （元），除去每日其他正常开支总计 1 000 元外，市场监
督管理部门规定，该蔬菜销售单价不得超过 18 元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润
8 600 元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润.
答案：
解:（1） 由题意设 = + ( ≠ 0)，将(12,1800)，(15,1500)代入，
1800 = 12 + , = 100,
可得 1500 = 15 + ,解得 = 3000, ∴ = 100 + 3000.由题意可得 ≥ 10，
又∵ y = 100x + 3000 ≥ 0，∴ x ≤ 30，∴ 10 ≤ x ≤ 30.
∴ 函数表达式为 = 100 + 3000(10 ≤ ≤ 30).
（2） 能.
根据题意，可得 = ( 10)( 100 + 3000) 1000
= 100 2 + 4000 31000
= 100( 20)2 + 9000，
∵ 100 < 0，∴ 该函数图象开口向下，
∵ 单价不得超过 18 元，∴ 当 = 18时，日销售利润取得最大值，
最大值 = 100 × (18 20)
2 + 9000 = 8600，
∴ 这种蔬菜的销售能获得日销售利润 8 600 元，蔬菜的销售单价应定为 18 元.
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第 13 讲 二次函数的综合应用
突破 1 二次函数图象中的“线段和最短”问题
例 1 [2025 红桥区一模]在平面直角坐标系中，点 ( 3,0)，点 (0,3)，抛物线 = 2 + +
( ， 为常数)的顶点为 .
（1） 当抛物线经过点 ， 时，求点 的坐标.
2
（2） 若 = 4 4，抛物线上的点 的横坐标为
( < )，且 // 2 .
① 求 的长；
② 当 + 取得最小值时，求点 的坐标.
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变 1．[2025 鹤山一模]如图，已知抛物线 = 2 2 + 3的顶点为 ，且与 轴交于 ， 两
点( 在 的左侧)，与 轴交于点 ，点 为抛物线对称轴上的一个动点，设对称轴与 轴交于点 .
（1） 当点 在 轴上方且 // 时，求 sin∠ 的值；
5
（2） 若抛物线对称轴上存在一点 ，使得 + 取得最小值，连接 5 并延长交第二象限
内的抛物线于点 ，请求出此时线段 的长度.
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突破 2 二次函数图象中的面积问题
例 2 [2025 阜阳模拟]如图，抛物线 = 2 + 过点 ( 2, 2)， (6, 6).
（1） 该抛物线的顶点坐标为________________；
（2） 点 是 上方抛物线上一动点（不与点 ， 重合），
连接 ， ，则△ 面积的最大值为________.
变 2．[2025 西安模拟]如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 = 2 + + 的图象与 轴交
于点 (3,0)和点 ，与 轴交于点 (0, 3)， 是顶点.
（1） 求该二次函数的解析式；
（2） 如图 2，连接 ， ， ，在直线 上方的抛物线上是否存在一点 ，使得△ 的
面积等于△ 的面积的 2倍，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
图 1 图 2
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突破 3 二次函数的实际应用
例 3 [2025 河南郑州二模]郑州市某公园计划建造一个直径为 20 m的圆形喷水池，在喷水池
的周边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱在距池中心 4 m处达到最高，
高度为 6 m.如图，以水平方向为 轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系.
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物
应设计为多高？
（3） 由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱在距池中心
4 m处达到最高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为 = 22 + 2 + 2( 2 ≠ 0)，若（1）
中抛物线的表达式为 = 1 2 + 1 + 1( 1 ≠ 0)，则 2________ 1， 2________ 1，
2________ 1（填“> ”“< ”或“=”）.
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变 3．[2025 曲阜一模]研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，
并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议.
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克 10 元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量 （千克）
与销售单价 （元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为 12 元时，日销售量为 1 800 千克；销售单价为 15 元时，日销售
量为 1 500 千克.
任务一：建立函数模型
（1） 求出 与 的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
任务二：设计销售方案
（2） 设该种蔬菜的日销售利润为 （元），除去每日其他正常开支总计 1 000 元外，市场监
督管理部门规定，该蔬菜销售单价不得超过 18 元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润
8 600 元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润.
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