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高分突破@4 三角形
第 15 讲 三角形及其全等
突破 1 利用三角形的“三线”的性质解题
例 1 [2025石景山区二模]如图，在△ 中， ⊥ 于点 ， 平分∠ ， ⊥ 于点 ， ⊥
于点 .若 = 3，则 的长为____.
答案：6
解析：过 作 ⊥ 于 ，∵ 平分∠ ， ⊥ ，∴ = = 3，
∵ ⊥ 于点 ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，
∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，
1 1 1
∵ △ = △ + △ ，∴ = + ，∴ = + = 3 + 3 = 6.2 2 2
变 1．[2025 深圳校级二模]王老伯要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图
中他所作的线段 应该是△ 的（ ）
A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是
答案：B
变 2．[2025 许昌一模]如图，在△ 中， ， 分别是 ， 的中点， 与 交于点 .若 = 6，
则 =（ ）
A. 4.5 B. 4 C. 3.5 D. 3
答案：D
1 1
解析：∵ ， 分别是 ， 的中点， 与 交于点 ，∴ 点 为△ 的重心，∴ = = × 6 = 3.
2 2
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高分突破@4 三角形
变 3．[2025 西安校级二模]如图，在△ 中， 是它的角平分线， 是它的中线， = 5， = 3，
= 7，则 的长为（ ）
15 7 7 8
A. 7 B. 15 C. 8 D. 7
答案：C
解析：过点 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，
5 5
∵ 平分∠ ⊥ ⊥ ∴ = ∴ △ ， ， ， ， = = ，∴ = ，
△ 3 3
35 7 35 7 7
∵ = 7，∴ = ，∵ 是△ 的中线， = 78 ，
∴ = ，∴ = = =2 8 2 8.
变 4．[2025 珠海二模]如图，△ 的中线 ， 相交于点 ，点 ， 分别是 ， 的中点，
连接 ，已知△ 的面积为 4，则△ 的面积为____.
答案：4
解析：∵ ， 是△ 的两条中线，∴ 点 是△ 的重心，∴ = 2 ， = 2 .∵△ 的面积为 4，
1
∴△ 的面积为 8.∵ 点 ， 分别是 ， 的中点，∴ 是△ 的中位线，∴ // ， = ，∴△
2

△ ∴ △
1
， = ( )2 = ∴ 4， △
= 2.∵ = 2 ，点 为 的中点，∴ = ，∴ △ =
△
△ = 2，∴△ 的面积为 4.
突破 2 全等三角形的判定
例 2 [2025 济宁一模]如图，已知∠1 = ∠2，则下列条件中，不能使△ ≌△ 成立的是（ ）
A. = B. =
C. ∠ = ∠ D. ∠ = ∠
答案：A
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高分突破@4 三角形
变 5．[2025 邯郸一模]有一张三角形纸片 ，已知∠ = ∠ = ，按如下两种方案用剪刀沿着
箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，不一定全等打“×”，则下列关
于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是 （
）
A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：×
C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：×
答案：D
解析：方案一：∵ + ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ ，又∵ ∠ = ∠ ， = = 3，∴ 由 AAS
判定两个阴影三角形全等；
方案二：∵ + ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ 若两个阴影三角形全等， 的对应边
应该是 ，而已知给的是 = = 3，∴ 不能判定两个阴影三角形一定全等，
∴ 方案一：√、方案二：×.
变 6．[2025 长沙一模]如图，已知△ ， 平分∠ ， 是 中点，连接 ，过点 作 ⊥
于点 ， ⊥ 交 的延长线于点 ，且 = .
（1） 求证： ⊥ ；
（2） 若 = 5， = 3，求 的长.
答案：
（1） 证明：连接 ， ，∵ 平分∠ ， ⊥ 于 ， ⊥ 交 的延长线于 ，∴ = ，∠ =
∠ = 90 ,又∵ = ,∴△ ≌△ (SAS)，∴ = ，∵ 是 中点，∴ ⊥ .
（2）解：由（1）知 = ，易得 Rt△ ≌ Rt△ (HL)，∴ = ，∴ = + ，∵ = ，
= 5， = 3，∴ 5 = 3 + ，∴ = 1.
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第 15 讲 三角形及其全等
突破 1 利用三角形的“三线”的性质解题
例 1 [2025石景山区二模]如图，在△ 中， ⊥ 于点 ， 平分∠ ， ⊥ 于点 ， ⊥
于点 .若 = 3，则 的长为____.
变 1．[2025 深圳校级二模]王老伯要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图
中他所作的线段 应该是△ 的（ ）
A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是
变 2．[2025 许昌一模]如图，在△ 中， ， 分别是 ， 的中点， 与 交于点 .若 = 6，
则 =（ ）
A. 4.5 B. 4 C. 3.5 D. 3
变 3．[2025 西安校级二模]如图，在△ 中， 是它的角平分线， 是它的中线， = 5， = 3，
= 7，则 的长为（ ）
15 7 7 8
A. 7 B. 15 C. 8 D. 7
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高分突破@4 三角形
变 4．[2025 珠海二模]如图，△ 的中线 ， 相交于点 ，
点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，已知△ 的面积为 4，
则△ 的面积为____.
突破 2 全等三角形的判定
例 2 [2025 济宁一模]如图，已知∠1 = ∠2，则下列条件中，不能使△ ≌△ 成立的是（ ）
A. = B. =
C. ∠ = ∠ D. ∠ = ∠
变 5．[2025 邯郸一模]有一张三角形纸片 ，已知∠ = ∠ = ，按如下两种方案用剪刀沿着
箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，不一定全等打“×”，则下列关
于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（ ）
A. 方案一：√、方案二：√
B. 方案一：×、方案二：×
C. 方案一：×、方案二：√
D. 方案一：√、方案二：×
变 6．[2025 长沙一模]如图，已知△ ， 平分∠ ， 是 中点，连接 ，过点 作 ⊥
于点 ， ⊥ 交 的延长线于点 ，且 = .
（1） 求证： ⊥ ；
（2） 若 = 5， = 3，求 的长.
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