资源简介

高分突破@4 三角形
第 16 讲 等腰三角形与直角三角形
突破 1 利用等腰三角形的性质进行计算
例 1 [2025 哈尔滨一模]在△ 中， = = 6，△ 的面积为 9，则∠ 的度数为______度.
答案：75 或 15
解析：情况①：当△ 是锐角三角形时，过点 作 ⊥ 于点 ，如图所示，
1 1 3
∵ = = 6， △ = 9，∴ △ = = 9，∴ × 6 = 9，∴ = 3.在 Rt△ 中,sin = = =2 2 6
1 1
，∴ 锐角∠ = 30 ，∴ ∠ = ∠ = (180 ∠ ) = 75 .
2 2
情况②：
当△ 是钝角三角形时，过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，如图所示，同情况①得
= 3,
3 1
在 Rt△ 中， = 6，∴ sin∠ = = = .∴ 锐角∠ = 30 ，∵ ∠ 是△ 的外角，∴ ∠ = 6 2
∠ + ∠ = 30 ，∵ = = 6，∴ ∠ = ∠ ，∴ 2∠ = 30 ，∴ ∠ = 15 .
综上所述，∠ 的度数为75 或15 .
变 1．[2025 长沙模拟]如图，在△ 中，∠ 和∠ 的平分线交于 点，过点 作 // 交
于点 ，交 于点 ，若 + = 8，则线段 的长为____.
答案：8
解析：由“角平分线+平行线”模型易得△ 和△ 是等腰三角形，且 = , = ，
∵ + = 8,∴ + = 8，即 = 8.
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变 2．[2025 成都二模]如图，在△ 中，∠ = 90 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的
2
长为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线 ，直线 与 相交于点 ，连接 ，若 = 5，
= 8，则 的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
答案：C
解析：由作图方法可知 垂直平分 ，∴ = ，∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，∴ = + = 2 = 10，∴ = 2 2 =
102 82 = 6.
变 3．[2025 衢州一模]如图是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中 = = 8， = ，且∠ =
30 ，∠ = ∠ = 90 ，则 的长为（ ）
A. 2 5 B. 2 3 C. 3 D. 1
答案：B
1 1
解析：∵ ∠ = 90 ， = ，∴ = = = = 4，∵ ∠ = 30 ，∴ = = 4，∴ = 3 =
2 2
1
4 3，∵ ∠ = 90 ，∴ = = = 2 3.
2
突破 2 利用勾股定理进行计算
例 2 [2025 罗定一模]我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其
中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个
水池，水面是一个边长为 10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果
把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度与这根芦苇的长
度分别是（丈和尺是长度单位，1丈= 10尺）（ ）
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A. 5 尺，6 尺 B. 10 尺，11 尺 C. 11 尺，12 尺 D. 12 尺，13 尺
答案：D
10
解析：设水的深度为 尺，则这根芦苇的长度为 + 1尺.根据题意可列方程( + 1)2 = ( )2 + 2,解得 = 12，
2
则 + 1 = 13，即水的深度为 12 尺，芦苇的长度为 13 尺.
变 4．[2025 深圳一模]如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ，以 和 为边向外作正方形，面积
分别为 1和 2.已知 2 = 36，且 = 8，则 1的值为 （ ）
A. 14 B. 10 C. 44 D. 100
答案：D
变 5．[2025 龙港二模]如图，正方形 由四个全等的直角三角形
(△ ,△ ,△ ,△ )和中间一个小正方形 组成，连接 ， .若 = = 2 5，则
的长为（ ）
A. 2 5 B. 4 C. 10 D. 2 2
答案：D
解析：∵△ ，△ ，△ ，△ 是四个全等的直角三角形，∴ = = ， = = ，∠ =
∠ = 90 ，∵ 正方形 中， = ，∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∵ = = 2 5， =
，∴ Rt△ ≌ Rt△ (HL)，∴ = ，∴ = = 2 ，∵ 2 + 2 = 2，∴ 2 + (2 )2 =
(2 5)2，∴ = 2，∴ = = 2，∴ = 2 + 2 = 2 2.
变 6．[2025 晋中一模]如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ， = 3， = 3，点 是斜边 的
中点，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，连接 ，则 =______.
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答案：
2
3
解析：过点 作 ⊥ 于点 ，在 Rt△ 中， = 3， = 3，∴ tan∠ = = 3 ，∴ ∠ = 30
，
∴ = 2 = 2 3，∠ = 90 ∠ = 60 ，∵ 点 是斜边 的中点，∴ = = = 3，∴△
是等边三角形，∴ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ = 60 ，在 Rt△ 中，cos∠ = ，∴ =

3 3 3 3
cos∠ = 3 × cos 60 = 2 ，∴ = + =
3 + 2 = 2 ，在 Rt△ 中，sin∠ = ，
3 3 9 3 3 3 3
cos∠ = ，∴ = sin∠ =

2 × sin 60 = 4， = cos∠ = 2 × cos 60
= 4 ，
3 3 3
∴ = = 3 = ，
4 4
9
在 Rt△ 中，由勾股定理得 = 2 + 2 = ( )2
3
+ ( )2
21
= .
4 4 2
变 7．[2025 闵行区三模]在 Rt△ 中，∠ = 90 ， = 8， = 6，点 是 的中点，点 是边
上一动点，沿 所在直线把△ 翻折到△ ′ 的位置， ′ 交 于点 ，如果△ ′ 为直角三
角形，那么 的长是（ ）
40
A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 或
17
答案：D
解析：①当∠ ′ = 90 时,如图 1.
1
在 Rt△ 中， = 6， = 8，由勾股定理得 = 2 + 2 = 10，∵ 是 的中点，∴ = = =
2

4.∵ ∠ ′ = ∠ = 90 ，∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .又∵ ∠ = ∠ ，∴△ △ ，∴ = ，

4 16 16
即 = ，解得 = .设 = ′ = ,则 = ，∵ ∠ = ∠ ′ ，∴ sin = sin∠ ′ ，∴8 10 5 5 = ， ′
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6
∴ = 5 ，∴ = 2. ∴ = 2
10 .
②如图 2， 当∠ ′ = 90 时，连接 ，作 ⊥ ′交 ′的延长线于 .
= ,
在 Rt△ 和 Rt△ ′中， ′ ∴ Rt△ ≌ Rt△ ′(HL)，∴ = ′ = 6.∵ 将△ 沿直线 = ,
翻折，∴ ∠ = ∠ ′ .∵ ′ ⊥ ′， ⊥ ，∴ ′// ，∴ ∠ ′ = ∠ ′ ，∴ ∠ = ∠ ′ ，∴ sin =
3 4 3
sin∠ ′ .设 = ′ = ,则 ′ = ， = ，在 Rt△ 中，由勾股定理得 2 + 2 = 2，∴ ( +5 5 5
2 4 40 40 406) + ( )2 = (10 )2,解得 = ，∴ = .综上， 的长为 或5 17 17 2 17.
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第 16 讲 等腰三角形与直角三角形
突破 1 利用等腰三角形的性质进行计算
例 1 [2025 哈尔滨一模]在△ 中， = = 6，△ 的面积为 9，则∠ 的度数为______度.
变 1．[2025 长沙模拟]如图，在△ 中，∠ 和∠ 的平分线交于 点，过点 作 // 交
于点 ，交 于点 ，若 + = 8，则线段 的长为____.
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变 2．[2025 成都二模]如图，在△ 中，∠ = 90 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的
2
长为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线 ，直线 与 相交于点 ，连接 ，若 = 5，
= 8，则 的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
变 3．[2025 衢州一模]如图是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中 = = 8， = ，且∠ =
30 ，∠ = ∠ = 90 ，则 的长为（ ）
A. 2 5 B. 2 3 C. 3 D. 1
突破 2 利用勾股定理进行计算
例 2 [2025 罗定一模]我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其
中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个
水池，水面是一个边长为 10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果
把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度与这根芦苇的长
度分别是（丈和尺是长度单位，1丈= 10尺）（ ）
A. 5 尺，6 尺 B. 10 尺，11 尺 C. 11 尺，12 尺 D. 12 尺，13 尺
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变 4．[2025 深圳一模]如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ，以 和 为边向外作正方形，面积
分别为 1和 2.已知 2 = 36，且 = 8，则 1的值为 （ ）
A. 14 B. 10 C. 44 D. 100
变 5．[2025龙港二模]如图，正方形 由四个全等的直角三角形(△ ,△ ,△ ,△ )
和中间一个小正方形 组成，连接 ， .若 = = 2 5，则 的长为（ ）
A. 2 5 B. 4 C. 10 D. 2 2
变 6．[2025 晋中一模]如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ， = 3， = 3，点 是斜边 的
中点，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，连接 ，则 =______.
变 7．[2025 闵行区三模]在 Rt△ 中，∠ = 90 ， = 8， = 6，点 是 的中点，点 是边
上一动点，沿 所在直线把△ 翻折到△ ′ 的位置， ′ 交 于点 ，如果△ ′ 为直角三
角形，那么 的长是（ ）
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A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 或
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