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高分突破@4 三角形
第 18 讲 解直角三角形
突破 1 运用锐角三角函数进行计算
例 1 如图，点 ， ， 在边长为 1 的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（ ）
5
A.△ 是直角三角形 B. sin = 5
2 5
C. cos = D. tan = 25
变 1．如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ， 是 边上的中线， ⊥ 于点 ，若 = 2 ，
则 cos∠ 的值为（ ）
1 5 3 4
A. 2 B. 5 C. 5 D. 5
突破 2 利用解直角三角形解决实际问题
例 2 [2025 无锡一模]某城市规划建造两栋住宅楼，前排楼高 19.6米.为了确保后排建筑底层在
冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为多少米？（已知当地冬至日正午太阳光线与地平
面的夹角为35 ，sin 35 ≈ 0.5736，cos 35 ≈ 0.819 2，tan35 ≈ 0.700 2，结果取整数）（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 33
变 2．[2025 合肥三模]如图，航航和朋友们计划在商场 集合后，先去位于西南方向的咖啡厅 ，
然后沿南偏西37 方向步行到书店 ，最后前往电影院 .已知电影院 位于书店 的正东方向，
且电影院 在商场 的正南方向.若从咖啡厅 到书店 的距离为 400 米，从书店 到电影院 的距
离为 700米，求商场 到电影院 的距离.(参考数据：sin 37 ≈ 0.60，cos 37 ≈ 0.80，tan 37 ≈ 0.75)
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高分突破@4 三角形
变 3．[2025 铜陵三模]一电线杆 用拉绳 固定，点 在斜坡 的顶端，斜坡 = 6.5m，坡比
为 5: 12，测得拉绳 与水平线的夹角为56 ，求拉绳 的长和电线杆 的高.
(参考数据：sin 56 ≈ 0.83，cos 56 ≈ 0.56，tan 56 ≈ 1.48，结果精确到 0.1m)
变 4．[2025 普陀区三模]如图，小明利用无人机测大楼的高度 .在空中点 测得：到地面上一
点 处的俯角∠ = 60 ，距离 = 80米，到楼顶 点处的俯角∠ = 30 .已知点 与大楼的
距离 为 70 米.（点 , , 共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1） 求点 到地面 的距离 ；
（2） 求大楼的高度 .（结果保留根号）
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第 18 讲 解直角三角形
突破 1 运用锐角三角函数进行计算
例 1 如图，点 ， ， 在边长为 1 的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（ ）
5
A.△ 是直角三角形 B. sin = 5
2 5
C. cos = D. tan = 25
答案：C
解析：由勾股定理得 = 22 + 22 = 2 2， = 12 + 12 = 2， = 12 + 32 = 10，
∴ 2 = 2 + 2，∴△ 是直角三角形，∠ = 90 ，
2 5 2 5 2 2
∴ sin = = = ，cos = = = ，tan = = = 2，
10 5 10 5 2
故选项 C 中结论错误，故选 C.
变 1．如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ， 是 边上的中线， ⊥ 于点 ，若 = 2 ，
则 cos∠ 的值为（ ）
1 5 3 4
A. 2 B. 5 C. 5 D. 5
答案：D
解析：设 = ，则 = 2 ，则 = 2 + 2 = 5 ，
5 5 2 5
由条件可知 sin∠ = = = = ，∴ = = ，
5 5 5 5
2 5
1 5 4
由条件可知 = = = ，∴ cos∠ = = 5 = .
2 2 5 5
2
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高分突破@4 三角形
突破 2 利用解直角三角形解决实际问题
例 2 [2025 无锡一模]某城市规划建造两栋住宅楼，前排楼高 19.6米.为了确保后排建筑底层在
冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为多少米？（已知当地冬至日正午太阳光线与地平
面的夹角为35 ，sin 35 ≈ 0.5736，cos 35 ≈ 0.819 2，tan35 ≈ 0.700 2，结果取整数）（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 33
答案：A
变 2．[2025 安徽合肥三模]如图，航航和朋友们计划在商场 集合后，先去位于西南方向的咖
啡厅 ，然后沿南偏西37 方向步行到书店 ，最后前往电影院 .已知电影院 位于书店 的正东
方向，且电影院 在商场 的正南方向.若从咖啡厅 到书店 的距离为 400米，从书店 到电影院
的距离为 700米，求商场 到电影院 的距离.(参考数据：sin 37 ≈ 0.60，cos 37 ≈ 0.80，tan 37 ≈
0.75)
解:过 点作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 .由题意得， ⊥ ,∴ 四边形 为矩形，∴ = , = .
由题意得， = 400米， = 700 米，在 Rt△ 中，∠ = 37 ，∴ = cos∠ = cos 37 × 400 ≈
0.80 × 400 = 320（米）， = sin∠ = sin 37 × 400 ≈ 0.60 × 400 = 240（米）.∴ = = =
700 240 = 460（米）， = = 320（米）.在 Rt△ 中，∠ = 45 ，∴ = = 460 米，∴ = +
= 460 + 320 = 780（米）.
答：商场 到电影院 距离为 780 米.
变 3．[2025 铜陵三模]一电线杆 用拉绳 固定，点 在斜坡 的顶端，斜坡 = 6.5m，坡比
为 5: 12，测得拉绳 与水平线的夹角为56 ，求拉绳 的长和电线杆 的高.
(参考数据：sin 56 ≈ 0.83，cos 56 ≈ 0.56，tan 56 ≈ 1.48，结果精确到 0.1m)
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高分突破@4 三角形
解:过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，如图，
5
∵ 斜坡 的坡比为 5: 12，∴ = ，设 = 5 m，则 = 12 m，∴ = 2 + 2 = 13 = 6.5 12 m，
1 5
解得 = ，∴ = m， = = 6m，在 Rt△ 中，cos∠ = ，tan∠ = ，∴ =2 2 cos 56
≈
6
≈ 10.7(m)， = tan 56 ，∴ = + = + ≈ 11.4 m，∴ 拉绳 的长约是 10.7m，电线
0.56
杆 的高约是 11.4m.
变 4．[2025 普陀区三模]如图，小明利用无人机测大楼的高度 .在空中点 测得：到地面上一
点 处的俯角∠ = 60 ，距离 = 80米，到楼顶 点处的俯角∠ = 30 .已知点 与大楼的
距离 为 70 米.（点 , , 共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1） 求点 到地面 的距离 ；
（2） 求大楼的高度 .（结果保留根号）
答案：
3
解:（1）∵ // ,∴ ∠ = ∠ = 60 .在 Rt△ 中,sin∠ = ,则 = 80 × sin 60 = 80 × =
2
40 3（米）,即点 到地面 的距离 为 40 3米.
1
（2）延长 交 于点 ，在 Rt△ 中，cos∠ = ，则 = 80 × cos 60 = 80 × = 40（米）.∵ =
2
70米，∴ = = 70 40 = 30（米）.∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ,∴ 四边形 为矩形,∴ =

= 40 3米， = = 30 米.在 Rt△ 中，tan∠ = ，则
3
= 30tan 30 = 30 × 3 = 10
3（米）.∴ = = 40 3 10 3 = 30 3（米），即大楼的高度
为 30 3米.
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