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高分突破@5 四边形
第 20 讲 特殊的平行四边形
突破 1 特殊平行四边形的性质与判定的应用
例 1 [2025 扬州一模]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， 为 的中点，过 作 // ，
过 作 // 分别交 ， 于点 ， ，连接 .
（1） 证明：四边形 为菱形；
（2） 若 = 2， = 3，求菱形 的面积.
答案：（1） 证明：∵ // ， // ，∴ 四边形 为平行四边形，∴ = ，
1
∵ 在 Rt △ 中，∠ = 90 ， 为 的中点，∴ = = = ∴ = 2 ， ，
∴ 四边形 为平行四边形，∵ = ，∴ 四边形 为菱形.
（2） 解：由（1）知四边形 为菱形，∴ = 2 ， = 2 ， ⊥ ，
3
∵ 四边形 为平行四边形，∴ = = 3，∴ = 2，
7
在 Rt △ 中，由勾股定理得 = 2 2 = ，∴ = 2 = 72 ，
1 1 3 7
∴ 菱形 的面积为 = × 7 × 3 =2 2 2 .
变 1．[2025 楚雄二模]如图，菱形 的对角线 和 交于点 ，分别过点 ， 作 ，
的平行线，两线交于点 ，连接 .
（1） 求证：四边形 是矩形；

（2） 当∠ = 60 ， = 2时，求 的值.
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答案：（1） 证明：∵ // ， // ，∴ 四边形 是平行四边形，
又∵ 四边形 是菱形，∴ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ 平行四边形 是矩形.
（2） 解：∵ 四边形 是菱形，∴ = ， ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∵ ∠ = 60 ，
∴ ∠ = 90
1
60 = 30 ，∴ = = 1，∴ = 2 2 = 22 12 = 32 ，
∴ = 2 = 2 3，
由（1）可知，四边形 是矩形，∴ = = 1，∠ = 90 ，
2 2 2 2 1 13∴ = + = (2 3) + 1 = 13，∴ = = .13 13
变 2．[2025 长沙一模]如图，四边形 是平行四边形， = ， ⊥ ， 是边 的延
长线上的动点，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 .
（1） 求证：四边形 是正方形；
（2） 当 是 的中点，且 = 8 2时，求△ 的面积.
答案：
（1） 证明：∵ 四边形 是平行四边形，且 = ，∴ 四边形 是菱形.
又∵ ⊥ ，∴ 菱形 为正方形.
（2） 解：连接 ，∵ ⊥ 于点 ，点 为 的中点，∴ 垂直平分线段 ， = ，
1
∴ = = 8 2，∴ △ = △ = △ ，∵ 四边形 2 为正方形，
∴ = ，∠ = 90 ，在 Rt △ 中，由勾股定理得 2 + 2 = 2，
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∴ 2
1 1
= 2 = × (8 2)2 = 64，∴ = 82 2 （负值舍去），
1 1 1
∴ △ = △ = × = 16 22 2 2 .
突破 2 与特殊平行四边形有关的动态问题
例 2 [2025 海口一模]如图，在菱形 中，点 为对角线 的中点，点 为平面内一点，且
1
= ，则∠ =2 ____________
，若 = 2， = 2 3，连接 ，则 的最大值
为____________.
答案：90； 3 + 1
1
解析：连接 ，在菱形 中，点 为对角线 的中点，∴ 经过点 ， ⊥ , = =2
1
3,在 Rt △ 中， = 2,由勾股定理得 = 2 2 = 1,∵ = = 3 ∴ 2 , 点
在以点 为圆心， 3为半径的⊙ 上,∴ 为⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90 ，当点 在 的延长线上时， 取最大值，最大值为 3 + 1.
变 3．[2025 黄山一模]如图，菱形 中，∠ = 60 ， 是 边上一点， 是 边上一点，
∠ = 60 ，连接 交 于点 ，若 = 4，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小值为 2 3
B. 的最大值为 1
C. △ 面积的最大值是 3
D. 的最小值是 3
答案：D
解析：∵ 四边形 是菱形，∠ = 60 ，∴ = = = ，∠ = 180 60 =
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120 ，∴△ 是等边三角形，∴ = ，∠ = ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ =
∠ ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ .∵ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ +∠ =
∠ +∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ (ASA)，∴ = .
又∵ ∠ = 60 ，∴△ 是等边三角形，∴ = ，∴ 当 的值最小时， 的值最小，
1
∵ 垂线段最短，∴ 当 ⊥ 时， 的值最小.此时 = = = 22 ，
在 Rt △ 中，由勾股定理得 = 2 2 = 2 3，∴ 的最小值为 2 3，
故 A中结论正确，不符合题意.
∵ = ， = 4，为定值，∴ 当 的值最小时， 的值最大，
当 ⊥ 时， 的值最小， 的值最大，
1
此时∠ = ∠ = × 60 = 30
1
， = = ，∴ ∠ = 60 ∠ = 30 2 2 ，
1
∴ 平分∠ ，∴ ⊥ ，∴ = 2 3，∴ = = 2 3，∴ = = 32 ，
在 Rt △ 中，由勾股定理得 = 2 2 = 3，∴ = 4 3 = 1，
即 的最大值为 1，故 B中结论正确，不符合题意.
∵△ ≌△ ，∴ △ = △ ，
1
∴ 四边形 = △ + △ = △ + △ = △ = × 4 × 2 3 = 4 32 ，
∴ △ + △ = 四边形 = 4 3，∴ △ = 4 3 △ ，
∴ 当 △ 最小时，△ 的面积最大，∵△ 为等边三角形，
∴ 当边长 最小时，△ 的面积最小.∵ 的最小值为 2 3，此时边 上的高为 3，
1
∴ △ 的最小值为 × 2 3 × 3 = 3 3，∴△ 面积的最大值为 4 3 3 3 = 32 ，
故 C中结论正确，不符合题意.
∵ + = ，∴ = ，设 = ， = ，
1 1
∴ = ( ) = ( ) = 2 + = ( )2 + 2
2 4 ，
1 1 2 1 1∴ 当 = 时， 取最大值 ，此时 = = 2 4 2 2 ，
∴ = .
1
∵△ 为等边三角形，∴ ⊥ ，∠ = ∠ = ∠ = 30 2 ，
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∴ ∠ = 60 ∠ = 30 ，∴ 平分∠ ，
1
∵△ 为等边三角形，∴ ⊥ ，∴ = = 2 3，∴ = = = 32 ，
∴ = 3 × 3 = 3，即 的最大值为 3，故 D中结论错误，符合题意.故选 D.
变 4．[2025 淄博二模]如图，正方形 的边长为 3，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，
且 ⊥ .当 = 2 时， + 的最小值为（ ）
A. 2 10 B. 3 10 C. 2 5 D. 3 5
答案：C
解析：∵ 正方形 的边长为 3，且 = 2 ，∴ = 3， = 1， = 2.∴ =
2 + 2 = 32 + 12 = 10，如图，过点 作 ⊥ 于 ，可得矩形 ，过点 作 // ，
过点 作 的平行线交 交于点 ， ∴ = = .∵ ⊥ ，
⊥ ,∴ ∠ +∠ = 90 ，∠ +∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，∴△ ≌
△ (ASA)，∴ = = 10.∵ // ， // ，∴ 四边形 是平行四边形，∴ =
， = ，∴ + = + ，连接 ,则 + ≥ ，∴ 当 ， ， 三点共线
时， + 的值最小，∵ = ，∴ = ，∵ ⊥ ， // ，∴ ⊥ ，∴△
是等腰直角三角形，∴ = 2 = 2 5，∴ + 的最小值为 2 5.
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第 20 讲 特殊的平行四边形
突破 1 特殊平行四边形的性质与判定的应用
例 1 [2025 扬州一模]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， 为 的中点，过 作 // ，
过 作 // 分别交 ， 于点 ， ，连接 .
（1） 证明：四边形 为菱形；
（2） 若 = 2， = 3，求菱形 的面积.
变 1．[2025 楚雄二模]如图，菱形 的对角线 和 交于点 ，分别过点 ， 作 ，
的平行线，两线交于点 ，连接 .
（1） 求证：四边形 是矩形；

（2） 当∠ = 60 ， = 2时，求 的值.
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变 2．[2025 长沙一模]如图，四边形 是平行四边形， = ， ⊥ ， 是边 的延
长线上的动点，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 .
（1） 求证：四边形 是正方形；
（2） 当 是 的中点，且 = 8 2时，求△ 的面积.
突破 2 与特殊平行四边形有关的动态问题
例 2 [2025 海口一模]如图，在菱形 中，点 为对角线 的中点，点 为平面内一点，且
1
= ，则∠ =____________ ，若 = 2， = 2 3，连接 ，则 2 的最大值
为____________.
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变 3．[2025 黄山一模]如图，菱形 中，∠ = 60 ， 是 边上一点， 是 边上一点，
∠ = 60 ，连接 交 于点 ，若 = 4，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小值为 2 3
B. 的最大值为 1
C. △ 面积的最大值是 3
D. 的最小值是 3
变 4．[2025 淄博二模]如图，正方形 的边长为 3，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，
且 ⊥ .当 = 2 时， + 的最小值为（ ）
A. 2 10 B. 3 10 C. 2 5 D. 3 5
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