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高分突破@4 三角形
第 17 讲 相似
突破 1 相似三角形的判定或性质的运用
例 1 [2025 亳州二模]如图，在正方形 中，若 为 边的中点， 是 边上的一动点，则下
列条件：
① : = 1: 3；② : = 1: 2；③ : = 2: 3；④ : = 3: 4.
其中能推出△ 与△ 相似的条件有（ ）
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
变 1．[2025 洛阳三模]如图，在 中，∠ = 120 ， = 6， = 9，点 在 上，点 在
上， = 3，∠ = 120 ，则 的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 13
变 2．[2025 昆明一模]如图， ， 是△ 的边 ， 上的两点，且 // ，若 △ : △ = 1: 9，
则△ 与△ 的周长之比为（ ）
A. 1: 2 B. 1: 3 C. 3: 1 D. 1: 9
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高分突破@4 三角形
突破 2 相似三角形的综合运用
例 2 [2025 义乌二模]如图，在 Rt△ 中，已知∠ = 90 ， = 5， = 12，点 在 上，
连接 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，交 于点 .
（1） 求证：△ △ ；
5
（2） 过点 作 ⊥ 交 于点 ，若 = 2，求 的长.
变 3．[2025 南京二模]如图，夜晚，小亮从点 朝着路灯 的正下方沿直线走 m到点 .
（1） 若小亮的身高为 1.5m，他在点 处的影长为 1.8m，路灯 距离地面的高度为 3m，求他
在点 处时到路灯的水平距离 ；
（2） 已知他在点 ， 处的影长之差为 m，他的身高为 m，求路灯 离地面的高度（用含 , ，
的式子表示）.
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第 17 讲 相似
突破 1 相似三角形的判定或性质的运用
例 1 [2025 亳州二模]如图，在正方形 中，若 为 边的中点， 是 边上的一动点，则下
列条件：
① : = 1: 3；② : = 1: 2；③ : = 2: 3；④ : = 3: 4.
其中能推出△ 与△ 相似的条件有（ ）
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
答案：C

解析：若证△ △ ，只需证出 = ，∵ 为 边的中点，四边形 为正方形，


∴ = = 2,∴ = 2 ，∴ : = 2 : (2 + ) = 2: 3 .
易知△ △ 的情况不存在，即只有条件③符合题意.
变 1．[2025 洛阳三模]如图，在 中，∠ = 120 ， = 6， = 9，点 在 上，点 在
上， = 3，∠ = 120 ，则 的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 13
答案：C
解析：连接 ，在 中，∠ = 120 ， = 6， = 9， = 3，∴ // ， = = 6， = = 9，
= = 9 3 = 6，∴ = = 6，∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 180 ，又∵ ∠ = 120 ，∴ ∠ =
60 ，∴△ 为等边三角形，∴ ∠ + ∠ = 60 ，∠ = ∠ = 60 ， = 6，∵ ∠ = 120 ，
∴ ∠ + ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，又∵ ∠ = ∠ = 60 ，∴△ △ ，
9 6
∴ = ，∴ = ，∴ = 4
6 .
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高分突破@4 三角形
变 2．[2025 昆明一模]如图， ， 是△ 的边 ， 上的两点，且 // ，若 △ : △ = 1: 9，
则△ 与△ 的周长之比为（ ）
A. 1: 2 B. 1: 3 C. 3: 1 D. 1: 9
答案：B
解析：由平行线的性质易证△ △ ，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比可得△
与△ 的周长之比为 1: 3.
突破 2 相似三角形的综合运用
例 2 [2025 义乌二模]如图，在 Rt△ 中，已知∠ = 90 ， = 5， = 12，点 在 上，
连接 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，交 于点 .
（1） 求证：△ △ ；
5
（2） 过点 作 ⊥ 交 于点 ，若 = 2，求 的长.
答案：
（1） 证明：∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ = ∠ ，∴△ △ .

（2）解：由题意得∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∵ ∠ = ∠ ，∴△ △ ，∴ = ，∵△
5
1 5
△ ，∴ = ，∴ = = 2 = ，∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 90 ， = 5， = 12，∴ = = ，
5 2 12
6 60
设 = 5 ，则 = 12 ， = 10 ，∴ = + = 22 = 12，∴ = ，∴ = 10 = .
11 11
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变 3．[2025 江苏南京二模]如图，夜晚，小亮从点 朝着路灯 的正下方沿直线走 m到点 .
（1） 若小亮的身高为 1.5m，他在点 处的影长为 1.8m，路灯 距离地面的高度为 3m，求他
在点 处时到路灯的水平距离 ；
（2） 已知他在点 ， 处的影长之差为 m，他的身高为 m，求路灯 离地面的高度（用含 , ，
的式子表示）.
1.5 1.8
解：（1） ∵ // ，∴△ △ ，∴ = ，即 = ，∴ = 3.6，∴ = = 1.8.∴ 他
3
在 处时到路灯的水平距离 = 1.8m.
（2） 过点 作 // ，交 于点 ，∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，又∵ = ,∠ = ∠ = 90 ,∴△

≌△ (AAS)，∴ = ，∴ = = = ，∵ // ，∴ = = ，∵ ∠ = +

∠ = 90 ，∠ = ∠ ，∴△ △ ，∴ = = ，∴ = + ，
∴ 路灯 离地面的高度为( +
+
)m.
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