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高分突破@5 四边形
第 19 讲 多边形与平行四边形
突破 1 正多边形的相关计算
例1 [2025昆明一模]若一个正多边形的每个外角均为30 ，则这个正多边形的内角和等于（ ）
A. 2 160 B. 1 980 C. 1 800 D. 360
答案：C
变 1．如图，在正六边形 中，连接 ， ，则∠ 的度数是____________.
答案：30
解析：易求得正六边形的内角的度数为120 ，∠ = 30 . ∵ 正六边形是轴对称图形，且
所在直线是对称轴，∴ ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 30 .
变 2．如图，要用三块边长相同的正多边形木板铺地，使拼在一起并相交于点 的各边完全吻
合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是 4和 6，则第三块木板的边数是________.
答案：12
解析：正四边形每个内角的度数为360 ÷ 4 = 90 ，
正六边形每个内角的度数为180 360 ÷ 6 = 120 ，
∴ 第三块正多边形木板每个内角的度数为360 90 120 = 150 ，
∴ 第三块正多边形木板的边数为360 ÷ (180 150 ) = 12.
突破 2 平行四边形的判定与性质
例 2 [2025 宁国一模]如图，在平行四边形 中，点 将对角线 分成两段，且 > ，
2
连接 ，并延长至点 ，使得 = ，连接 .若 = 9，则 的值为（ ）
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高分突破@5 四边形
7 7 2 9
A. 11 B. 9 C. 7 D. 11
答案：A
2
解析：连接 交 于点 ，∵ = ，∴ 设 = 2 ，则 = 9 ，∴ = 11 9 ，
11 7
∵ 四边形 是平行四边形，∴ = = ， = ，∴ = 2 2 ，
7
∵ = ， = ，∴ = 2 = 7 ，∴ = 11.
变 3．[2025 淮南一模]如图，在 中，点 ， 是对角线 所在直线上的两个不同的点.
下列条件中，不能得出四边形 是平行四边形的是 （ ）
A. = B. =
C. // D. ∠ = ∠
答案：B
解析：设 交 于点 ，∵ 四边形 是平行四边形，∴ = ， = ，若 = ，
则 + = + ，∴ = ，∴ 四边形 是平行四边形，故 A不符合题意；
若 = ，由 = ，∠ = ∠ 不能证明△ 与△ 全等，∴ 不能确定∠
与∠ 是否相等，∴ 不能证明 与 平行，∴ 不能证明四边形 是平行四边形，故 B
符合题意；
若 // ，则∠ = ∠ ，∵ ∠ = ∠ , = ,∴△ ≌△ (ASA)，∴ =
，∴ 四边形 是平行四边形，故 C不符合题意；
∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，若∠ = ∠ ，则∠ +∠ = ∠ +∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ (ASA)，∴ = ，∴ 四边形 是平行四边形，
故 D不符合题意.综上，选 B.
变 4．[2025 乌鲁木齐一模]如图，四边形 中，∠ = ∠ = 90 ，点 在 上，
// .
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高分突破@5 四边形
（1） 求证：四边形 是平行四边形；
（2） 若 平分∠ ， = 4， = 9，求△ 的面积.
答案：
（1） 证明：∵ ∠ = ∠ = 90 ，∴ // ，
∵ // ，∴ 四边形 是平行四边形.
（2） 解：过点 作 ⊥ 于点 ，由（1）可知，四边形 是平行四边形，∴ = = 4，
∴ = = 9 4 = 5，∵ ⊥ ， 平分∠ ，∠ = 90 ，∴ = = 4，
∴ = 2 2 = 52 42 = 3，Rt △ ≌ Rt △ (HL)，∴ = ，设 = ，则
= = 3，在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2，∴ 2 = ( 3)2 + 92，∴ = 15，即 =
1 1
15，∴△ 的面积= = × 15 × 4 = 302 2 .
变 5．[2025 朝阳区一模]如图，在△ 中， 为 中点，延长 至点 ，使 = ，延长
至点 ，使 = ，连接 ， .
（1） 求证：四边形 是平行四边形；
4
（2） 若 平分∠ ，tan = = 13， ，求
的长.
答案：
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高分突破@5 四边形
= ,
（1） 证明：在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴△ ≌△ (SAS)，
= ,
∴ ∠ = ∠ ， = ，∴ // ，
∵ 为 中点，∴ = ，∴ = ，∴ 四边形 是平行四边形.
（2） 解：∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，
4 4
∵ = ，∴ ⊥ ，在 Rt △ 中，tan = = ， = 1，∴ = 3 3.
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第 19 讲 多边形与平行四边形
突破 1 正多边形的相关计算
例1 [2025昆明一模]若一个正多边形的每个外角均为30 ，则这个正多边形的内角和等于（ ）
A. 2 160 B. 1 980 C. 1 800 D. 360
变 1．如图，在正六边形 中，连接 ， ，则∠ 的度数是____________.
变 2．如图，要用三块边长相同的正多边形木板铺地，使拼在一起并相交于点 的各边完全吻
合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是 4和 6，则第三块木板的边数是________.
突破 2 平行四边形的判定与性质
例 2 [2025 宁国一模]如图，在平行四边形 中，点 将对角线 分成两段，且 > ，
2
连接 ，并延长至点 ，使得 = ，连接 .若 = 9，则 的值为（ ）
7 7 2 9
A. 11 B. 9 C. 7 D. 11
变 3．[2025 淮南一模]如图，在 中，点 ， 是对角线 所在直线上的两个不同的点.
下列条件中，不能得出四边形 是平行四边形的是 （ ）
A. = B. =
C. // D. ∠ = ∠
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变 4．[2025 乌鲁木齐一模]如图，四边形 中，∠ = ∠ = 90 ，点 在 上，
// .
（1） 求证：四边形 是平行四边形；
（2） 若 平分∠ ， = 4， = 9，求△ 的面积.
变 5．[2025 朝阳区一模]如图，在△ 中， 为 中点，延长 至点 ，使 = ，延长
至点 ，使 = ，连接 ， .
（1） 求证：四边形 是平行四边形；
4
（2） 若 平分∠ ，tan = ， = 13 ，求
的长.
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