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高分突破@6圆
第21讲圆的有关概念及性质
突破1垂径定理的运用
例1[2025武威一模]如图，点，在上，点在内，其中=7，=11，∠=∠=60，
则
C
B
变1.[2025奉贤区二模]在中，点是弧的中点，交弦于点，且是
的中点
(1)求上的度数；
(2)延长交于点，连接，交于点，如果=8，求的长度。
E
0
D
B
C
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高分突破@6圆
突破2圆周角定理及其推论的运用
例2[2025徐州二模]如图，已知点，，，在上，依次连接，，，，.若1，
∠
=30,则∠的度数是()
C
B
0
D
A.45
B.55
C.65
D.75
变2.[2025广州一模]如图，在
中，
=，以为直径作，交于点，交的
延长线于点，连接
(1)求证：
；
(2)若=10，
=6,求的长
E
A
0.
B
D
C
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第 21 讲 圆的有关概念及性质
突破 1 垂径定理的运用
例 1 [2025 武威一模]如图，点 ， 在⊙ 上，点 在⊙ 内，其中 = 7， = 11，∠ = ∠ = 60 ，
则 =____.
答案：18
解析：延长 交 于 ，过 作 ⊥ 于 ，如图，
∴ = 2 ，∵ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = 180 60 60 = 60 ，∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∴△
是等边三角形，∴ = = = 11，∴ = = 11 7 = 4，∵ ∠ = 90 60 = 30 ，
1
∴ = = 2，∴ = = 11 2 = 9，∴ = 2 = 18.
2
变 1．[2025 奉贤区二模]在⊙ 中，点 是弧 的中点， 交弦 于点 ，且 是 的中点.
（1） 求∠ 的度数；
（2） 延长 交⊙ 于点 ，连接 ，交 于点 ，如果 = 8，求 的长度.
1 1
（1） 解:∵ 点 是弧 的中点，且 是 的中点，∴ ⊥ ， = = ，∴ = ，∴ ∠ =
2 2
30 ，∴ ∠ = 90 30 = 60 .
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（2） 连接 ，∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ， = ，由（1）
1 1 1
得∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 30 ，由（1）得∠ = 30 ，∴ = = × 8 = 4，
2 2 2
3 3 4 3
在 Rt △ 中，tan∠ = = 3 ，∴ = 3 = 3 .
突破 2 圆周角定理及其推论的运用
例 2 [2025 徐州二模]如图，已知点 ， ， ， 在⊙ 上，依次连接 ， ， ， ， .若 // ，
∠ = 30 ，则∠ 的度数是（ ）
A. 45 B. 55 C. 65 D. 75
答案：D
解析：连接 ，∵ // ，∴ ∠ = ∠ = 30 ，∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 30 ，∴ ∠ =
180 30 30 = 120 ，∴ ∠ = ∠ +∠ = 30 + 120 = 150 ，
1
∴ ∠ = ∠ = 75 .
2
变 2．[2025 广州一模]如图，在△ 中， = ，以 为直径作⊙ ，交 于点 ，交 的
延长线于点 ，连接 ， .
（1） 求证： = ；
（2） 若 = 10， = 6，求 的长.
答案：
（1） 证明：∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∵ = ，∴ = .
（2）解：在 Rt △ 中， = 10， = 6，∴ = 2 2 = 102 62 = 8，∵ = ，∴ = 8，
∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = = 8.
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