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高分突破@6 圆
第 22 讲 与圆有关的位置关系
突破 1 切线性质的运用
例 1 [2025 青岛二模]如图，△ 内接于⊙ ， ， 是⊙ 的切线，若∠ = 46 ，则∠
的度数为（ ）
A. 44 B. 46 C. 58 D. 88
变 1．[2025 浙江杭州二模]如图， ， 为⊙ 的两条切线，点 ， 为切点，点 在劣弧
上.若∠ = 115 ，则∠ 的度数为______.
变 1 图 变 2 图
变 2．[2025 大庆二模]如图，在四边形 中， // ， ， 分别与扇形 相切于点 ，
.若 = 15， = 17，则 的长为____.
突破 2 切线性质与判定的综合运用
例 2 [2025 朝阳区一模]如图，△ 是⊙ 的内接三角形，∠ = 45 ，点 在 的延长线上，
// .
（1） 求证： 是⊙ 的切线；
1
（2） 若 = , = 10，求⊙ 的半径长.
2
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变 3．[2025 长沙一模]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ，点 在 上，以 为直径的⊙
经过 上的点 ，与 交于点 ，且 = .
（1） 求证： 是⊙ 的切线；
1
（2） 若 sin = ， = 1，求 的长.
2
变 4．[2025 鞍山二模]如图， 中， 为对角线，且 = ，△ 的外接圆⊙ 交
边于点 .
（1） 求证： 是⊙ 的切线；
（2） 设∠ = ，当 = 时，求 cos 的值.
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第 22 讲 与圆有关的位置关系
突破 1 切线性质的运用
例 1 [2025 青岛二模]如图，△ 内接于⊙ ， ， 是⊙ 的切线，若∠ = 46 ，则∠
的度数为（ ）
A. 44 B. 46 C. 58 D. 88
答案：B
解析：连接 ， ，由圆周角定理得∠ = 2∠ = 2 × 46 = 92 ，∵ ， 是⊙ 的切线，∴ ⊥ ，
⊥ ， = ，∴ ∠ = 360 ∠ ∠ ∠ = 360 92 90 90 = 88 ，∵ =
1
，∴ ∠ = ∠ = × (180 88 ) = 46 .
2
变 1．[2025 浙江杭州二模]如图， ， 为⊙ 的两条切线，点 ， 为切点，点 在劣弧
上.若∠ = 115 ，则∠ 的度数为______.
答案：50

解析：在优弧 上任取一点 （不与 , 重合），连接 , ，∴ ∠ +∠ = 180 ，∴ ∠ = 180
115 = 65 ，∴ ∠ = 2∠ = 130 ，∵ ， 为⊙ 的两条切线，点 ， 为切点，∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ +∠ = 180 ，∴ ∠ = 180 130 = 50 .
变 2．[2025 大庆二模]如图，在四边形 中， // ， ， 分别与扇形 相切于点 ，
.若 = 15， = 17，则 的长为____.
答案：9
解析：连接 ，作 ⊥ 于点 ，则∠ = ∠ = 90 ，由条件可知 = = 15， ⊥ ， ⊥
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， = ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ = 2 2 = 172 152 = 8，∵ // ，∴ ∠ =
∠ = 90 ，∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ 四边形 是矩形，∴ = = 15，又∠ =
∠ ,∠ = ∠ ,∴△ ≌△ ,∴ = = 17,∴ = = 9,∴ = 9.
突破 2 切线性质与判定的综合运用
例 2 [2025 朝阳区一模]如图，△ 是⊙ 的内接三角形，∠ = 45 ，点 在 的延长线上，
// .
（1） 求证： 是⊙ 的切线；
1
（2） 若 = , = 10，求⊙ 的半径长.
2
答案：
（1） 证明：连接 ，如图，
则∠ = 2∠ ，∵ ∠ = 45 ，∴ ∠ = 90 ，∵ // ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ⊥ ，
∵ 是⊙ 的半径，∴ 是⊙ 的切线.
1
（2）解：过点 作 ⊥ ，交 的延长线于 ，则四边形 是正方形，如图，∴ = = ，∵ = ，
2
∴ = 2 ，∴ = 3 ，在 Rt △ 中， 2 + 2 = 2，∴ 2 + (3 )2 = ( 10)2，解得半径 = 1
（负值舍去）.
变 3．[2025 长沙一模]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ，点 在 上，以 为直径的⊙
经过 上的点 ，与 交于点 ，且 = .
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（1） 求证： 是⊙ 的切线；
1
（2） 若 sin = ， = 1，求 的长.
2
答案：
= ,
（1） 证明：连接 ，则 = ，在△ 和△ 中， = ,∴△ ≌△ (SSS)，∴ ∠ =
= ,
∠ = 90 ，∵ 是⊙ 的半径，且 ⊥ 于点 ，∴ 是⊙ 的切线.
1 1
（2） 解：设⊙ 的半径为 ，在 Rt △ 中，sin = = , = 1，∴ ∠ = 30 ， = ，∴ = 1，
2 + 1 2
∠ = 60 ，∴ = 1，∠ = 120 ，由（1）知△ ≌△ ，
1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 60
60 × × 1
，∴ 的长= = .
2 180 3
变 4．[2025 鞍山二模]如图， 中， 为对角线，且 = ，△ 的外接圆⊙ 交
边于点 .
（1） 求证： 是⊙ 的切线；
（2） 设∠ = ，当 = 时，求 cos 的值.
答案：
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（1） 证明：如图，连接 并延长交 于点 ，
∵ = ，∴ 垂直平分 ，由条件可知 // ，∴ ⊥ ，∵ 为⊙ 的半径，∴ 是⊙ 的切线.
1 1
（2） 解：∵ ∠ = ， = ，∴ ∠ = (180 ) = 90 ，在 中， // ，
2 2
∴ ∠ = ∠ = ，∵ = ,∴ ∠ = ∠ = ，∴ ∠ = 180 2 ，由条件可知∠ +
1
∠ = 180 ，∴ 90 + 180 2 = 180 ，∴ = 36 ，∴ ∠ = ∠ = 72 ，
2
如图，作 平分∠ 交 于点 ，作 ⊥ 于点 ，
1
则∠ = ∠ = ∠ = 36 = ∠ ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 72 = ∠ ， =
2

，∴ = = ，∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴△ △ ，∴ = ，∴ 2 =

5 1 5 1
= ( + ) = ( + ) ，∴ = 或 = （舍去），∴ = = +
2 2
5 1 5 + 1 1 5 1 5 1
= + = ，易知 = = ，∴ = + = + =
2 2 2 4 4
5 + 3
5 + 3 5 + 1
4 ，在 Rt △ 中，cos = =
4 = .
5 + 1 4
2
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