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高分突破@8 统计与概率
第 28 讲 概率
突破 1 利用概率的定义求事件的概率
例 1 有 9张背面完全相同的卡片，正面分别写着 1，2，3，4，5，6，7，8，9.若将这些卡片
背面向上，混合均匀，从中随机抽取 1张，则该卡片上的数字是 3的整数倍的概率是（ ）
1 2 1 2
A. 9 B. 9 C. 3 D. 3
答案：C
变 1．[2025 张家口一模]在若干张背面完全相同的卡片的正面各写一个数，其中有 4张写的是
负数，其余卡片都写的是正数，将这些卡片背面朝上洗匀.已知从中随机抽取一张是正数的概
2
率为3，则写有正数的卡片有（ ）
A. 4 张 B. 6 张 C. 8 张 D. 12 张
答案：C
变 2．[2025 遵义一模]如图，飞镖游戏板中的每一个小正方形都完全一样.假设飞镖击中任何
一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖 1次（若落在边界处或游戏板外则重掷），则飞镖击中
白色区域的概率是（ ）
1 4 5 2
A. 3 B. 9 C. 9 D. 3
答案：B
突破 2 用画树状图法、列表法求概率
例 2 [2025 昌平区二模]不透明的袋子中有 2个红色小球和 2个黄色小球，小球除颜色外无其
他差别.摇匀后从中随机摸取 2个小球，则这 2个小球颜色相同的概率是（ ）
1 1 2 1
A. 2 B. 3 C. 3 D. 4
答案：B
变 3．[2025 舟山一模]一个不透明的布袋里装有 3个只有颜色不同的小球，其中 2个红球，1
个白球.从布袋里摸出 1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概
率是（ ）
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高分突破@8 统计与概率
4 2 1 2
A. 9 B. 9 C. 3 D. 3
答案：A
变 4．[2025 西安三模]为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，
学校开展了多种社团活动.小明和小亮喜欢的社团有合唱社团( )、篮球社团( )、书法社团( )、
排球社团( )，把表示四个社团的四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，
然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.
（1） “小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的字母表示足球社团”是____________事件（选
填“随机”或“必然”或“不可能”）.
（2） 小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后放回洗匀，小亮再随机抽取一张
卡片，记录下卡片上的字母.请你用列表法或画树状图法求出两人抽取的卡片中只有一张卡片
上所写字母表示排球社团( )的概率.
解:（1） 不可能.
（2） 列表如下：

( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
共有 16 种等可能的结果，其中两人抽取的卡片中只有一张卡片上所写字母表示排球社团( )
的结果有( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，共 6种，所以两人抽取的卡片中只
6 3
有一张卡片上所写字母表示排球社团( )的概率为 =16 8.
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第 28 讲 概率
突破 1 利用概率的定义求事件的概率
例 1 有 9张背面完全相同的卡片，正面分别写着 1，2，3，4，5，6，7，8，9.若将这些卡片
背面向上，混合均匀，从中随机抽取 1张，则该卡片上的数字是 3的整数倍的概率是（ ）
1 2 1 2
A. 9 B. 9 C. 3 D. 3
变 1．[2025 张家口一模]在若干张背面完全相同的卡片的正面各写一个数，其中有 4张写的是
负数，其余卡片都写的是正数，将这些卡片背面朝上洗匀.已知从中随机抽取一张是正数的概
2
率为3，则写有正数的卡片有（ ）
A. 4 张 B. 6 张 C. 8 张 D. 12 张
变 2．[2025 遵义一模]如图，飞镖游戏板中的每一个小正方形都完全一样.假设飞镖击中任何
一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖 1次（若落在边界处或游戏板外则重掷），则飞镖击中
白色区域的概率是（ ）
1 4 5 2
A. 3 B. 9 C. 9 D. 3
突破 2 用画树状图法、列表法求概率
例 2 [2025 昌平区二模]不透明的袋子中有 2个红色小球和 2个黄色小球，小球除颜色外无其
他差别.摇匀后从中随机摸取 2个小球，则这 2个小球颜色相同的概率是（ ）
1 1 2 1
A. 2 B. 3 C. 3 D. 4
变 3．[2025 舟山一模]一个不透明的布袋里装有 3个只有颜色不同的小球，其中 2个红球，1
个白球.从布袋里摸出 1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概
率是（ ）
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A. 9 B. 9 C. 3 D. 3
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变 4．[2025 西安三模]为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，
学校开展了多种社团活动.小明和小亮喜欢的社团有合唱社团( )、篮球社团( )、书法社团( )、
排球社团( )，把表示四个社团的四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，
然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.
（1） “小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的字母表示足球社团”是____________事件（选
填“随机”或“必然”或“不可能”）.
（2） 小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后放回洗匀，小亮再随机抽取一张
卡片，记录下卡片上的字母.请你用列表法或画树状图法求出两人抽取的卡片中只有一张卡片
上所写字母表示排球社团( )的概率.
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