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高分突破@1 数与式
第 2 讲 代数式与整式
突破 1 整式的化简求值
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例 1 [2025 湖南长沙二模]先化简，再求值：( 2)2 + ( 1)( + 2) 2 5 ÷ 3，其中 = 3.
解：原式= 2 4 + 4 + 2 + 2 2 2 2 = 3 + 2，
1 1
当 = 3时，原式= 3 × ( 3 ) + 2 = 3.
变 1．[2025 陕西渭南一模]先化简，再求值：(2x)2 2y(x y) (x y)2，其中 = 1， = 2.
解：原式= 4x2 2y(x y) (x2 2xy + y2) = 4x2 2xy + 2y2 x2 + 2xy y2 = 3x2 + y2，
当 = 1， = 2时，原式= 3 × 12 + 22 = 7.
变 2．[2025 江苏无锡一模]已知 2 3 + 2 = 0，
（1） 求 的值；
（2） 求( + 4)( 4) + ( 3)2的值.
答案：
（1）解：原式可变形为( 1)( 2) = 0，可得 1 = 0或 2 = 0，∴ 1 = 1， 2 = 2.
（2）∵ 2 3 + 2 = 0， ∴ 2 3 = 2，
∴ ( + 4)( 4) + ( 3)2 = 2 16 + 2 6 + 9 = 2( 2 3 ) 7
= 2 × ( 2) 7 = 11.
突破 2 因式分解的方法
例 2 [2025 四川成都二模]因式分解： 2 2 + 4 =
答案： ( 2 2x + 4)
1 1
变 3．[2025 广东台山一模]定义： ※ = .已知 = 4， ※ = 2 ，则
2 2 =（ ）
A. 8 B. 8 C. 32 D. 32
答案：B
1 1
解析：∵ ※ = = 2，∴ = 2 ，
∵ = 4，∴ = 4，
4
代入 = 2，得 = 2，∴ = 2 ，
∴ 2 2 = ( ) = 2 × ( 4) = 8.
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高分突破@1 数与式
变 4．[2025 广西模拟]新定义：如果 ， 都是非零整数，且 = 4 ，那么就称 是“4倍数”.
【验证】 嘉嘉说：“232 212是‘4倍数’.”琪琪说：“122 6 × 12 + 9是‘4倍数’.”判断
他们两人中谁的说法正确，并说明理由.
【证明】 设三个连续偶数的中间一个数是 2 ( 是整数)，写出它们的平方和，并说明它们的
平方和是“4倍数”.
【验证】 解：嘉嘉的说法正确，理由如下：
232 212 = (23 + 21) × (23 21) = 44 × 2 = 4 × 22,是“4倍数”，
122 6 × 12 + 9 = (12 3)2 = 92 = 81，不是“4倍数”，所以嘉嘉的说法正确.
【证明】 由题意得三个连续偶数分别为 2n 2，2n，2n + 2，
则(2n 2)2 + (2n)2 + (2n + 2)2 = 4n2 8n + 4 + 4n2 + 4n2 + 8n + 4 = 12n2 + 8 = 4(3n2 +
2)，
∵ 为整数，∴ 4(3n2 + 2)是“4倍数”,即三个连续偶数的平方和是“4倍数”.
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第 2 讲 代数式与整式
突破 1 整式的化简求值
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例 1 [2025 湖南长沙二模]先化简，再求值：( 2)2 + ( 1)( + 2) 2 5 ÷ 3，其中 = 3.
变 1．[2025 陕西渭南一模]先化简，再求值：(2x)2 2y(x y) (x y)2，其中 = 1， = 2.
变 2．[2025 江苏无锡一模]已知 2 3 + 2 = 0，
（1） 求 的值；
（2） 求( + 4)( 4) + ( 3)2的值.
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高分突破@1 数与式
突破 2 因式分解的方法
例 2 [2025 四川成都二模]因式分解： 2 2 + 4 =
1 1
变 3．[2025 广东台山一模]定义： ※ = = 4 ※ = 2 2 2 = .已知 ， ，则 （ ）
A. 8 B. 8 C. 32 D. 32
变 4．[2025 广西模拟]新定义：如果 ， 都是非零整数，且 = 4 ，那么就称 是“4倍数”.
【验证】 嘉嘉说：“232 212是‘4倍数’.”琪琪说：“122 6 × 12 + 9是‘4倍数’.”判断
他们两人中谁的说法正确，并说明理由.
【证明】 设三个连续偶数的中间一个数是 2 ( 是整数)，写出它们的平方和，并说明它们的
平方和是“4倍数”.
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