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高分突破@1 数与式
第 4 讲 二次根式
突破 1 二次根式非负性的应用
例 1 [2025 广东江门模拟]若 a 2 + | + 1| = 0，则( + )2 025 =________.
答案：1
变 1．[2025 四川成都模拟]若实数 ， ， 满足：| 3| + + 1 + ( + 2)2 = 0，则( + )
的值为____________.
1
答案：4
变 2．[2025 安徽淮南模拟]已知 2 + 2 5 + | + 3| = 0，则 的值是__________ .
答案：± 11
解析：由题意得 2 + 2 5 = 0， + 3 = 0，
即 2 + 2 = 5，2 = 6，
所以( )2 = 11，则 =± 11.
突破 2 二次根式的运算
例 2 [2025 天津河西区一模]计算(2 7 + 5)(2 7 5)的结果为____________.
答案：23
解析：原式= (2 7)2 ( 5)2 = 28 5 = 23.
变 3．[2025 河北邢台一模]甲、乙两人各在黑板上写了一个算式，则下列对计算结果是不是有
理数判断正确的是（ ）
甲： 2( 8 2) 乙：( 5 3)( 5 + 3)
A. 只有甲是 B. 只有乙是
C. 甲和乙都是 D. 甲和乙都不是
答案：C
解析： 2( 8 2) = 2 × 8 2 × 2 = 16 4 = 4 2 = 2，故甲的算式符合题意；
( 5 3)( 5 + 3) = 5 3 = 2，故乙的算式符合题意.故选 C.
变 4．[2025 山东枣庄一模]已知 = 27 3，则实数 的整数部分是________.
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高分突破@1 数与式
答案：3
解析： = 27 3 = 3 3 3 = 2 3 = 12，
∵ 9 < 12 < 16，∴ 3 < 12 < 4，
∴ 的整数部分是 3.
1
变 5．[2025 陕西西安校级三模]设一个三角形的三边长分别为 ， ， ， = ( + + )2 ，则
有面积公式 = ( )( )( )（海伦公式）.若一个三角形的三边长分别为 5，6，7，
则这个三角形的面积为____________.
答案：6 6
解析：由题中海伦公式可知，当一个三角形的三边长分别为 5，6，7时，
1
= × (5 + 6 + 7) = 9
2 ，
∴ = 9 × (9 5) × (9 6) × (9 7)
= 9 × 4 × 3 × 2 = 6 6.
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第 4 讲 二次根式
突破 1 二次根式非负性的应用
例 1 [2025 广东江门模拟]若 a 2 + | + 1| = 0，则( + )2 025 =________.
变 1．[2025 四川成都模拟]若实数 ， ， 满足：| 3| + + 1 + ( + 2)2 = 0，则( + )
的值为____________.
变 2．[2025 安徽淮南模拟]已知 2 + 2 5 + | + 3| = 0，则 的值是__________ .
突破 2 二次根式的运算
例 2 [2025 天津河西区一模]计算(2 7 + 5)(2 7 5)的结果为____________.
变 3．[2025 河北邢台一模]甲、乙两人各在黑板上写了一个算式，则下列对计算结果是不是有
理数判断正确的是（ ）
甲： 2( 8 2) 乙：( 5 3)( 5 + 3)
A. 只有甲是 B. 只有乙是
C. 甲和乙都是 D. 甲和乙都不是
变 4．[2025 山东枣庄一模]已知 = 27 3，则实数 的整数部分是________.
1
变 5．[2025 陕西西安校级三模]设一个三角形的三边长分别为 ， ， ， = ( + + )2 ，则
有面积公式 = ( )( )( )（海伦公式）.若一个三角形的三边长分别为 5，6，7，
则这个三角形的面积为____________.
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