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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
第 5 讲 一次方程（组）
突破 1 二元一次方程组的解法
3 2 = 5①,
例 1 [2024 河北一模]甲、乙两人在解方程组 时，有如下讨论：
4 + 5 = 6②
甲：我要消掉 ，所以① × ( 4) +② × 3；
乙：我要消掉 ，所以① × ( 5) ② × 2.
则下列判断正确的是（ ）
A. 甲和乙的方法都可行
B. 甲和乙的方法都不可行
C. 甲的方法可行，乙的方法不可行
D. 甲的方法不可行，乙的方法可行
答案：A
解析：① × ( 4) +② × 3得 12 + 8 + 12 + 15 = 20 + 18，
即 23 = 2，故甲的方法可行；① × ( 5) ② × 2得 15 + 10 8 10 = 25 12，
即 23 = 37，故乙的方法可行.所以甲和乙的方法都可行，故选 A.
= 2, + = 2,
变 1．[2025 广西南宁一模]已知 = 3是方程组 + = 3的解，( + )( ) =______.
答案：1
2 3 = 2①, 1
解析：由题意可得 ① ②得 5 5 = 1，∴ = ；
2 3 = 3②, 5
①+②得 = 5，∴ + = 5.
1
∴ ( + )( ) = 5 × ( 5 ) = 1.
2 = 5 ,
变2．[2025四川绵阳二模]若关于 ， 的二元一次方程组 + = 的解也是方程3 2 =
8的解，则 的值为______.
答案：1
2 = 5 ①,
解析： ① +②，得 3 = 6 ，∴ x = 2 .
+ = ②,
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
把 = 2 代入②，得 2 + = ，∴ = .又∵ 3 2 = 8，∴ 6 + 2 = 8. ∴ = 1.
突破 2 一次方程（组）的实际应用
例 2 [2025 江西南昌一模]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都
来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住
7人，那么有 7人无房可住；如果每一间客房住 9人，那么就空出一间客房.设有 间客房，可
列方程为________________________.
答案：7 + 7 = 9( 1)
变 3．[2025 北京东城一模]编织大、小两种中国结共 12 个，总计用绳 40 m.已知编织 1个大
号中国结需用绳 4 m，编织 1个小号中国结需用绳 3 m.求这两种中国结各编织了多少个.
解：设大号中国结编了 个，小号中国结编了(12 )个，
由题意列方程为 4 + 3(12 ) = 40，解得 = 4，∴ 12 = 8.
答：大号中国结编了 4个，小号中国结编了 8个.
变 4．[2025 海口一模]为了推进绿色发展，某县全力打造生态优先、绿色低碳的工业园区.经
反复研讨与周密规划，该县决定在园区内大规模安装光伏板和风力发电机组，以此构建稳定可
靠的绿色能源供应体系.
这两类设备的安装需求各有不同，具体如表所示：
设备类型 每台所需技术人员/人 每台成本/万元
光伏板 5 12
风力发电机组 8 18
已知该园区共有技术人员 92 人，全部参与安装且每人只负责一种设备，总投入资金为 216 万
元，问光伏板和风力发电机组分别安装了多少台？
5 + 8 = 92,
解：设安装光伏板 台，安装风力发电机组 台，根据题意列方程组为 12 + 18 = 216,
= 12,
解得 = 4.
答：光伏板安装了 12 台，风力发电机组安装了 4台.
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第 5 讲 一次方程（组）
突破 1 二元一次方程组的解法
3 2 = 5①,
例 1 [2024 河北一模]甲、乙两人在解方程组 时，有如下讨论：
4 + 5 = 6②
甲：我要消掉 ，所以① × ( 4) +② × 3；乙：我要消掉 ，所以① × ( 5) ② × 2.
则下列判断正确的是（ ）
A. 甲和乙的方法都可行
B. 甲和乙的方法都不可行
C. 甲的方法可行，乙的方法不可行
D. 甲的方法不可行，乙的方法可行
= 2, + = 2,
变 1．[2025 广西南宁一模]已知 = 3是方程组 + = 3的解，( + )( ) =______.
2 = 5 ,变2．[2025四川绵阳二模]若关于 ，的二元一次方程组 + = 的解也是方程3 2 =
8的解，则 的值为______.
突破 2 一次方程（组）的实际应用
例 2 [2025 江西南昌一模]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都
来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住
7人，那么有 7人无房可住；如果每一间客房住 9人，那么就空出一间客房.设有 间客房，可
列方程为________________________.
变 3．[2025 北京东城一模]编织大、小两种中国结共 12 个，总计用绳 40 m.已知编织 1个大
号中国结需用绳 4 m，编织 1个小号中国结需用绳 3 m.求这两种中国结各编织了多少个.
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
变 4．[2025 海口一模]为了推进绿色发展，某县全力打造生态优先、绿色低碳的工业园区.经
反复研讨与周密规划，该县决定在园区内大规模安装光伏板和风力发电机组，以此构建稳定可
靠的绿色能源供应体系.
这两类设备的安装需求各有不同，具体如表所示：
设备类型 每台所需技术人员/人 每台成本/万元
光伏板 5 12
风力发电机组 8 18
已知该园区共有技术人员 92 人，全部参与安装且每人只负责一种设备，总投入资金为 216 万
元，问光伏板和风力发电机组分别安装了多少台？
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