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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
第 6 讲 分式方程
突破 1 分式方程与不等式（组）的综合问题
3 2 ≥ ,
例 1 [2025 重庆渝中区二模]关于 的不等式组 + 1 1> 只有 4个整数解，且关于 的方
3 2
+ 2
程 + = 2 1 1 的解为非负数，则所有满足条件的整数
的值之和为___ _____.
答案：1
+ 2
解析：解不等式组得 ≥ ,
+ 2
4 ∵ 不等式组有解，∴ ≤ < 5，
< 5, 4
可得其 4个整数解为 1，2，3，4，
+ 2
∴ 0 < ≤ 1，解得 2 < ≤ 2.解方程得 = + 24 ，
∴ + 2 ≥ 0且 + 2 1 ≠ 0，解得 ≤ 2且 ≠ 1，∴ 2 < ≤ 2且 ≠ 1，
∴ 所有满足条件的整数 的值为 1，0，2，∴ 1 + 0 + 2 = 1，
即所有满足条件的整数 的值之和为 1.
2
≤ 2 + ,
变 1．[2024 湖南衡阳模拟改编]若实数 使关于 的不等式组 3 有解且至少有 2
<
3
2 3
个整数解，且使关于 的分式方程 + = 2 1 1 有整数解，则满足条件的整数 有（ ）
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
答案：D
≥ 1,
解析：解不等式组得 < , ∵ 不等式组有解且至少有 2个整数解，∴ 0 < ，∴ > 03 .3
分式方程两边都乘( 1)，得 2 3 = 2( 1)，移项、合并同类项得( 2) = 3,
3 3
∵ 分式方程有解，∴ ≠ 2, = ， 1 ≠ 0，∴ ≠ 1，∴ ≠ 1，∴ ≠ 5 2 2 ，
∵ 方程有整数解，∴ 2的值为 1或 1或 3或 3，∴ 的值为 3或 1或 5或 1，
∵ ≠ 5， > 0，∴ 的值为 3或 1.故满足条件的整数 有 2个.
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
突破 2 与分式方程有关的求字母参数问题
例 2 [2025 江苏南京二模改编]

（1） 解方程： + = ；
2 1
（2） 若关于 的方程 + 2 2 = 无解，求 的值.
答案：
（1） 解：方程两边同时乘( 2)，得 2 1 = 3( 2)，去括号，得 2 1 = 3 6，
解得 = 5，检验:把 = 5代入 2,得 5 2 = 3 ≠ 0，∴ 分式方程的解为 = 5.
（2） 解：方程两边同时乘( 2)，得 2 1 = ( 2)，整理，得(2 ) = 2 + 1.
2a + 1
当 2 a ≠ 0时， = ，∵ 分式方程无解，∴ 2 = 02 a ，即
x = 2，
2a + 1
∴ = 2，∴ 2 + 1 = 4 2 ,∴ 1 = 42 a ，（矛盾，无解）
∴ 此情况无符合条件的 值.
当 2 = 0，即 = 2时， 2 + 1 = 3 ≠ 0,
方程(2 ) = 2 + 1无解，则原分式方程无解.故 = 2.

变 2．[2025 山东淄博模拟]已知关于 的分式方程 2 = 1 1 .
（1） 当 = 1时，求方程的解;

（2） 若关于 的分式方程 2 = 1 1 的解为非负数，求 的取值范围.
答案：
1 + 1
（1）解：当 = 1时，分式方程为 2 = = 2 1 1 ，化简得 1 ，
去分母得 + 1 = 2(x 1)，解得 = 3，检验：当 = 3 时， 1 ≠ 0，
故方程的解为 = 3.
x + m
（2） 原分式方程化简得 = 2x 1 ，去分母得
+ = 2(x 1)，解得 = + 2，
∵ 分式方程有解且解为非负数，∴ ≠ 1且 ≥ 0，即 + 2 ≠ 1且 + 2 ≥ 0，
解得 ≥ 2且 ≠ 1.
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
突破 3 分式方程的实际应用
例 3 [2025 上海徐汇区二模]某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距 6千米，
返回时由于步行速度比去时慢 1千米/时，所以时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步
行速度是（ ）
A. 2 千米/时 B. 3 千米/时 C. 4 千米/时 D. 5 千米/时
答案：B
变 3．[2025 山东泰安模拟]某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂
招标，加工一天需付甲厂货款 1.5 万元，付乙厂货款 1.1 万元.指挥中心的负责人根据甲、乙
两厂的投标测算，提供了三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用 5天；
方案③：若甲、乙两厂合作 4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A. 方案① B. 方案②
C. 方案③ D. 方案①和方案③
答案：C
解析：设甲厂单独完成此项任务需 天，则乙厂单独完成此项任务需( + 5)天.
4
依题意得 + = 1 + 5 ，解得
= 20.
经检验， = 20是原分式方程的解，且符合题意，∴ + 5 = 25.
方案②不能如期完成任务，不符合题意，方案①和方案③需要的费用为：
方案①：1.5 × 20 = 30（万元）；方案③：1.5 × 4 + 1.1 × 20 = 28（万元）.
∵ 30 > 28，∴ 方案③最节省费用.
变 4．[2025 辽宁锦州一模]为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进 ， 两
种型号的观光车.已知 型观光车的单价是 型观光车单价的 1.5 倍，用 45 万元购进 型观光车
的数量比用 40 万元购进 型观光车的数量少 5辆.
（1） 型观光车和 型观光车的单价各是多少万元？
（2） 该景区决定用不多于 130 万元的资金购进 型观光车和 型观光车共 50 辆，最多可以购
买多少辆 型观光车？
答案：
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
（1） 解:设 型观光车的单价为 万元，则 型观光车的单价为 1.5 万元，
40 45
根据题意得 = 5，解得 = 2 1.5 ，经检验，
= 2是所列方程的解，且符合题意，
∴ 1.5 = 1.5 × 2 = 3.
答： 型观光车的单价为 3万元， 型观光车的单价为 2万元.
（2） 设购买 型观光车 辆，则购买 型观光车(50 )辆，
根据题意得 3 + 2(50 ) ≤ 130，解得 ≤ 30，∴ 的最大值为 30.
答：最多可以购买 30 辆 型观光车.
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第 6 讲 分式方程
突破 1 分式方程与不等式（组）的综合问题
3 2 ≥ ,
例 1 [2025 重庆渝中区二模]关于 的不等式组 + 1 1> 只有 4个整数解，且关于 的方
3 2
+ 2
程 + = 2 1 1 的解为非负数，则所有满足条件的整数
的值之和为________.
2
≤ 2 + ,
变 1．[2024 湖南衡阳模拟改编]若实数 使关于 的不等式组 3 有解且至少有 2
<
3
2 3
个整数解，且使关于 的分式方程 + = 2 1 1 有整数解，则满足条件的整数 有（ ）
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
突破 2 与分式方程有关的求字母参数问题
例 2 [2025 江苏南京二模改编]

（1） 解方程： + = ；
2 1
（2） 若关于 的方程 + 2 2 = 无解，求 的值.

变 2．[2025 山东淄博模拟]已知关于 的分式方程 2 = 1 1 .
（1） 当 = 1时，求方程的解;

（2） 若关于 的分式方程 2 = 1 1 的解为非负数，求 的取值范围.
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
突破 3 分式方程的实际应用
例 3 ]某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距 6千米，返回时由于步行速度
比去时慢 1千米/时，所以时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（ ）
A. 2 千米/时 B. 3 千米/时 C. 4 千米/时 D. 5 千米/时
变 3．[2025 泰安模拟]某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，
加工一天需付甲厂货款 1.5 万元，付乙厂货款 1.1 万元.指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的
投标测算，提供了三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用 5天；
方案③：若甲、乙两厂合作 4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A. 方案① B. 方案② C. 方案③ D. 方案①和方案③
变 4．[2025 锦州一模]为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进 ， 两种型
号的观光车.已知 型观光车的单价是 型观光车单价的 1.5 倍，用 45 万元购进 型观光车的数
量比用 40 万元购进 型观光车的数量少 5辆.
（1） 型观光车和 型观光车的单价各是多少万元？
（2） 该景区决定用不多于 130 万元的资金购进 型观光车和 型观光车共 50 辆，最多可以购
买多少辆 型观光车？
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