资源简介

高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
第 7 讲 一元二次方程
突破 1 一元二次方程根的判别式的应用
例1 [2025汕头一模]已知关于 的一元二次方程 2 + 2 + 2 4 = 0有两个不相等的实数根.
（1） 求 的取值范围；
（2） 若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值.
5
答案：解:（1） 根据题意得 = 4 4(2 4) = 20 8 > 0，解得 < 2.
5
（2） 由 为正整数且 < 2，得
= 1 或 2，利用求根公式得方程的解为 = 1 ± 5 2 ，
∵ 方程的解为整数，∴ 5 2 为完全平方数，则 的值为 2.
变 1．[2025 四川乐山模拟]已知平行四边形 的两条邻边 ， 的长是关于 的方程 2 2
1
2 + = 0
2 的两个实数根.
（1） 当 为何值时，四边形 是菱形
（2） 若 = 2，求平行四边形 的周长.
答案：
解：（1） ∵ 四边形 是菱形，∴ = .
1
又∵ ， 的长是关于 的方程 2 2 2 + = 02 的两个实数根，
∴ = ( 2 )2
1
4 × 2 × ( ) = 4( 1)2 = 0，∴ = 12 ，
∴ 当 = 1时，四边形 是菱形.
1 5
（2） 把 = 2代入原方程，得 8 4 + = 02 ，解得
=
2，
5 2 1
将 = 代入原方程，得 2 2 5 + 2 = 0，∴ = 2 = = 12 2 ,
∴ =
2，
1
∴ 的周长是 2 × (2 + ) = 52 .
突破 2 一元二次方程根与系数的关系的应用
例 2 [2025 江苏连云港一模]已知关于 的一元二次方程 2 + + = 0的两根分别为 1， 2，

有如下结论： 1 + 2 = ， 1
2 = .试利用上述结论，解决问题：已知关于
的一元二次方
程 3 2 2019 = 0的两根分别为 1， 2，求( 1 + 2)( 2 + 2)的值.
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
1
解：由题中结论得 1 + 2 = ， 1 2 = 6733 ，
1 1
∴ ( 1 + 2)( 2 + 2) = 1 2 + 2( 1 + 2) + 4 = 673 + 2 × + 4 = 6683 3.
变 2．[2025 南安一模]已知关于 的一元二次方程 2 + 2 + + 1 = 0有两个实数根 1和 2.
（1） 求实数 的取值范围；
（2） 若两个实数根 1和 2满足 1 + 2 1 2 < 1，求整数 的值.
答案：
解：（1） = 2 4 = 22 4 × 1 × ( + 1) = 4 ，
∵ 方程 2 + 2 + + 1 = 0有两个实数根，∴ 4 ≥ 0，∴ ≤ 0.
（2） 由根与系数的关系可知， 1 + 2 = 2， 1 2 = + 1，
∵ 1 + 2 1 2 < 1，∴ 2 ( + 1) < 1，解得 > 2，
∴ 2 < ≤ 0，∴ 整数 的值为 1或 0.
突破 3 一元二次方程的实际应用
例 3 [2025 江苏无锡一模]某商店销售一种商品，进价为每件 30 元.经市场调查发现，该商品
的日销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，35 ≤ ≤ 55，其图象如图所
示.
（1） 求 与 之间的函数关系式；
（2） 若日销售毛利润为 300 元，求该商品销售单价.
答案： 解：（1）设 与 之间的函数关系式为 = + ( ≠ 0)，
将(35,35)，(50,20)代入 = + 35 + = 35, = 1,得 50 + = 20,解得 = 70,
∴ 与 之间的函数关系式为 = + 70(35 ≤ ≤ 55).
（2） 根据题意得( 30)( + 70) = 300，
整理得 2 100 + 2400 = 0，解得 1 = 40， 2 = 60（不符合题意，舍去）.
答：该商品销售单价为 40 元.
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
变 3．[2025 揭阳一模]探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手 1次.
（1） 若参加聚会的人数为 3，则共握手______次.
（2） 若参加聚会的人数为 ( 为大于 2的整数)，则共握手__________________次.
（3） 若参加聚会的人共握手 45 次，请求出参加聚会的人数.
（4） 【拓展】嘉嘉给琪琪出题：“在∠ 的内部由顶点 引出 条射线（不含 ， 边），
角的个数为 20，求 的值.”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的个数不可能为 20.”琪琪的思考对吗？为什么？
1
答案：解：（1） 3 （2） ( 1)2 .
解析：（2） 由题意可知，
1
参加聚会的人数为 2时，共握手 1 = × 2 × (2 1)2 次，
1
参加聚会的人数为 3时，共握手 3 = × 3 × (3 1)2 次，
1
参加聚会的人数为 4时，共握手 6 = × 4 × (4 1)2 次，
1
归纳类推得：若参加聚会的人数为 ( 为大于 2的整数)，则共握手 ( 1)2 次.
1
（3） ∵ 共握手 45 次，∴ ( 1) = 45，解得 = 10或 = 92 （不符合题意，舍去）.
答：参加聚会的人数为 10.
（4） 琪琪的思考是对的，理由如下：
1
若在∠ 的内部由顶点 引出 1条射线，则角的个数为 3 = × (1 + 2) × (1 + 1)2 ，
1
若在∠ 的内部由顶点 引出 2条射线，则角的个数为 6 = × (2 + 2) × (2 + 1)2 ，
1
若在∠ 的内部由顶点 引出 3条射线，则角的个数为 10 = × (3 + 2) × (3 + 1)2 ，
1
归纳类推得知若在∠ 的内部由顶点 引出 条射线，则角的个数为 ( + 2)( + 1)2 ，
1
令 ( + 2)( + 1) = 20，即 2 + 3 38 = 02 ，
3+ 161 3 161
解得 = 或 =2 2 （均不是正整数，不符合题意，舍去），
所以在这个问题上，角的个数不可能为 20，琪琪的思考是对的.
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第 7 讲 一元二次方程
突破 1 一元二次方程根的判别式的应用
例1 [2025汕头一模]已知关于 的一元二次方程 2 + 2 + 2 4 = 0有两个不相等的实数根.
（1） 求 的取值范围；
（2） 若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值.
变 1．[2025 四川乐山模拟]已知平行四边形 的两条邻边 ， 的长是关于 的方程 2 2
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2 + = 0
2 的两个实数根.
（1） 当 为何值时，四边形 是菱形
（2） 若 = 2，求平行四边形 的周长.
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
突破 2 一元二次方程根与系数的关系的应用
例 2 [2025 江苏连云港一模]已知关于 的一元二次方程 2 + + = 0的两根分别为 1， 2，

有如下结论： 1 + 2 = ， 1 = 2 .试利用上述结论，解决问题：已知关于
的一元二次方
程 3 2 2019 = 0的两根分别为 1， 2，求( 1 + 2)( 2 + 2)的值.
变 2．[2025 南安一模]已知关于 的一元二次方程 2 + 2 + + 1 = 0有两个实数根 1和 2.
（1） 求实数 的取值范围；
（2） 若两个实数根 1和 2满足 1 + 2 1 2 < 1，求整数 的值.
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高分突破@2 方程（组）与不等式（组）
突破 3 一元二次方程的实际应用
例 3 [2025 无锡一模]某商店销售一种商品，进价为每件 30 元.经市场调查发现，该商品的日
销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，35 ≤ ≤ 55，其图象如图所示.
（1） 求 与 之间的函数关系式；
（2） 若日销售毛利润为 300 元，求该商品销售单价.
变 3．[2025 揭阳一模]探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手 1次.
（1） 若参加聚会的人数为 3，则共握手______次.
（2） 若参加聚会的人数为 ( 为大于 2的整数)，则共握手__________________次.
（3） 若参加聚会的人共握手 45 次，请求出参加聚会的人数.
（4） 【拓展】嘉嘉给琪琪出题：“在∠ 的内部由顶点 引出 条射线（不含 ， 边），
角的个数为 20，求 的值.”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的个数不可能为 20.”琪琪的思考对吗？为什么？
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