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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题07 圆（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 圆的基本概念
考点02 垂径地理及推论
考点03 圆心角、弧、弦之间的关系
考点04 圆周角定理及推论
考点05点、直线与圆的位置关系
考点06 切线的性质与判定
考点07切线长定理
考点08弧长与扇形面积
考点01 圆的基本概念
一、单选题
1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（ ）
A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变
C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变
2．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（　　）
A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧
C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧
4．（24-25九年级上·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
二、填空题
5．（24-25九年级上·北京顺义·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．
下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）．
①圆是轴对称图形；
②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；
③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；
④圆中垂直于弦的直径平分弦．
考点02 垂径地理及推论
一、单选题
1．（24-25北京·期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．4cm B． C． D．
3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，为的直径， 弦于点 E，， 那么直径的长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径为，水面宽为，则石拱桥的桥顶到水面的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25九年级上·重庆江北·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则的半径为 米．

6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 ．
7．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，是的直径，C，D，E是上的点，如果，，那么的长为 ．
8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ．
考点03 圆心角、弧、弦之间的关系
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °．
三、解答题
6．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
7．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积．
考点04 圆周角定理及推论
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，．点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 ．
2．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是圆O的直径．C，D为圆O上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ．
二、解答题
3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务．
×年×月×日 星期日 晴“婆罗摩笈多定理”的拓展与思考今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下：婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则．下面是该定理的证明过程．证明：，垂足为．，垂足为．．，．．与都是所对的圆周角，．（依据1）．．．（依据2）同理，．．看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究：如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______．
(2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由．
(3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长．
4．（24-25九年级上·北京顺义·期末）数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，是的直径，射线交于点．
求作：的中点．
小华的作法：
①在射线上截取，使；
②连接，交于点．
所以点就是所求作的点．
(1)按照小华的作法，补全图形；
(2)补全下面的证明．
证明：连接，
是的直径，
______（ ）（填推理依据）．
，
．
______．
点为的中点．
5．（24-25九年级上·北京大兴·期末）如图，是的内接三角形，延长至点，平分交于点，连接，求证：
6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上．
(1)如图①，若是的直径，求的度数；
(2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数．
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)求证：平分．
(3)当时，求与的面积之比．
考点05点、直线与圆的位置关系
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，连接并延长交的切线于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务
探究三角形的特殊点
通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获．
定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点．
性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上．
如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点．
求证：点分别是点关于边的对称点．
证明：如图，连接．
∵点是的垂心，
∴，，
∴，，
∴，
又（依据），
∴，
∴直线和关于对称．
∴点和点关于对称．
任务：
(1)上面日记中“依据”指的是 ；
(2)下列说法正确的是 ；
A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处
C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合
(3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称．
4．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于．
已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于．
证明：假设①___________，
所以，②_____________．
这与“③___________”矛盾．
所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于．
6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，为直径，射线交于点，弦平分，过点作于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求线段的长度．
考点06 切线的性质与判定
1．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，是的内切圆，切点分别是，则的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，以的中点为圆心，为半径作圆，与交于点，连接，过点作的切线交于点．当时，求证：．
3．（24-25山西临汾期末）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；
(2)如果，，求的半径．
4．（24-25九年级上·北京海淀·期末）如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为，求的长．
5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知是的直径，点在上．
(1)如图1，若，点在上，，延长到点，使得．证明：
①点为的中点；
②直线是的切线；
(2)如图2，若，仅使用圆规作的中点（不写作法，保留作图痕迹）．
6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)如图，若是的直径，，，求的长．
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：为等腰三角形．
(3)若，，求的长．
考点07切线长定理
一、单选题
1．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ）
A． B．12r C．13r D．26r
二、填空题
2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，，，是的切线，P，C，D为切点，若，，则的长为 ．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的内心，连接，并分别延长交于点，交于点．若，，，则的值为 ．
4．（24-25九年级上·北京密云·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为 步．
5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，过上的动点作半径为的的切线，切点为，若为的中点，则的最小值为 ．

三、解答题
6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）“等弦”的探究．
(1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点O到，的距离相等．小红发现延长，交于点P，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明．
(2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）若，，，的半径为r，则r的取值范围是_______．
考点08弧长与扇形面积
、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在边长为2的菱形中，对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画，若点恰好在上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，正八边形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是半圆的直径，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点在上且垂直平分线段，为垂足，以为圆心，为半径作弧交于点，则阴影部分面积等于 ．
三、解答题
6．（24-25九年级下·湖北黄冈·开学考试）如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且．

(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ）
A．17 B．19 C．20 D．22
10．如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，点在上，若，则 °．
12．如图，是的直径，D在弦的延长线上，，的延长线交于点E，若，则的度数为 ．
13．如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ．
14．如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离 ．
15．如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题(共8小题，共75分)
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点对称的；
(2)请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．
17．（8分）已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线．
(1)求证：直线与相切；
(2)若半径为，．连接，求证：
18．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据：
测量主题 测量碗口的直径
测量工具 一张矩形纸条和刻度尺
测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图及测量示意图
测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动
测量数据 ，，纸条宽度．
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
19．(9分)如图，为的直径，弦于点，是弧上一点；延长，交于点，连结，，与交于点．
(1)若，用含的代数式表示；
(2)如图2，连结，，若，求证：．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为．
(1)将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标；
(2)将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长．
21．（9分）请阅读下面的材料，并解答问题．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论：
如果，那么；
如果，那么．
数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究．
证明：，
，即，
，
，
在中，，
……
请解答以下问题：
(1)请完成所给材料的证明过程；
(2)请证明结论（2）；
(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______．
22．（12分）综合探究
如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
23．（13分）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______；
探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系；
拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题07 圆（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 圆的基本概念
考点02 垂径地理及推论
考点03 圆心角、弧、弦之间的关系
考点04 圆周角定理及推论
考点05点、直线与圆的位置关系
考点06 切线的性质与判定
考点07切线长定理
考点08弧长与扇形面积
考点01 圆的基本概念
一、单选题
1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（ ）
A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变
C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变
【答案】C
【分析】本题考查了圆的定义．圆是到定点的距离等于定长的所有的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径，确定圆的两个要素是圆心和半径，所以要画了个圆就要保持圆心位置不变，圆的半径不变．
【详解】解：A选项：保持圆心位置不变，如果圆的半径发生变化，则不能画出圆，故A选项不符合题意；
B选项：保持圆的半径不变，如果圆心的位置发生变化，则不能画出圆，故B选项不符合题意；
C选项：保持圆心位置和圆的半径不变，可以画出一个圆，故C选项符合题意；
D选项：圆心的位置可以改变，改变了圆心的位置不能画出一个圆，故D选项不符合题意．
故选：C．
2．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，进而可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
3．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（　　）
A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧
C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误
【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误；
选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为，故B正确；
选项C：优弧是大于半圆（）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如弧大于劣弧，但仍是劣弧），故C错误；
选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误；
故选B
4．（24-25九年级上·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
【答案】D
【分析】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】解：①直径是弦，说法正确；
②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误；
③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误．
综上，正确的只是①，
故选：D．
二、填空题
5．（24-25九年级上·北京顺义·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．
下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）．
①圆是轴对称图形；
②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；
③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；
④圆中垂直于弦的直径平分弦．
【答案】②③
【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可．
【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上，
∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③．
故答案为：②③．
考点02 垂径地理及推论
一、单选题
1．（24-25北京·期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M，
∵，
∴，
连接，，
∴，
∵，．
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故选：C．
2．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．4cm B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答．
【详解】解：连接，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦的长为．
故选：C．
3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，为的直径， 弦于点 E，， 那么直径的长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据直径等于半径的2倍即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，弦，垂足为点E，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径为，水面宽为，则石拱桥的桥顶到水面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
二、填空题
5．（24-25九年级上·重庆江北·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则的半径为 米．

【答案】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于点，根据题意得到，以及，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：连接，交于点，连接

设半径为，
根据题意可得：，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，
在中，，
∴，
解得：；
∴圆形工件的半径为．
故答案为：．
7．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，是的直径，C，D，E是上的点，如果，，那么的长为 ．
【答案】8
【分析】此题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点O作，垂足分别是H，F，由垂径定理得到，，得到，证明，又由，即可证明，则，得到．
【详解】解：过点O作，垂足分别是H，F，
则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：
8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理和等腰直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
过点作于点，连接，由垂径定理得出，再由得出，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
∵是的直径，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
考点03 圆心角、弧、弦之间的关系
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质．
连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答．
【详解】解：连接，，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴直径．
故选：B
2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，由是弦的中点，根据垂径定理得到，；由是的中点，根据垂径定理得到；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设，则，后根据勾股定理得到，求得的大小，代入公式计算即可．
本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵点是弦的中点，
∴，；
∵是的中点，
∴；
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，
设，则，
∴，
解得；
∴，
∴，
故选：A．
．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，掌握在同圆中等弧对等圆心角是解题的关键．由可得，再结合图形和即可解答．
【详解】解：，
，
又，，
，
解得：．
故选：B．
4．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
二、填空题
5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键；
先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为，
∴，
∵根据三角形的外角性质可知，
∴，
故答案为：100．
三、解答题
6．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用证明，即可得到；
（2）连接，求出直径的长，即得半径，求出，由（1）知，再求出，利用勾股定理求出，根据垂径定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵直径，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性质、三角形全等的判定定理是解题的关键．
7．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理；
（1）过点作交于点，点即为所求；
（2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形的面积．
考点04 圆周角定理及推论
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，．点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握点的运动轨迹是解题的关键．设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
点的轨迹是以为直径的圆的一部分．
设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，
则，
，
，
，
，
．
故答案为：．
2．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是圆O的直径．C，D为圆O上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ．
【答案】/32度
【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，再由平分，可得，，从而出，最后求得．
【详解】解：，
，
平分，
，
为的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
二、解答题
3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务．
×年×月×日 星期日 晴“婆罗摩笈多定理”的拓展与思考今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下：婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则．下面是该定理的证明过程．证明：，垂足为．，垂足为．．，．．与都是所对的圆周角，．（依据1）．．．（依据2）同理，．．看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究：如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______．
(2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由．
(3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等，等角对等边
(2)正确，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等以及等腰三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，，可推出，再由圆内接四边形的性质可知，从而得到，结合，可得，则，同理，，即可得到结论；
（3）取的中点，连接，，利用三角形中位线的性质可推出，，，，结合，可知，最后利用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）解：与都是所对的圆周角，
，（同弧所对的圆周角相等）
依据1为同弧所对的圆周角相等；
，
，（等角对等边）
依据2为等角对等边；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边．
（2）解：正确，理由如下，
，，
，，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
又，
，
，
同理，，
．
（3）解：取的中点，连接，，如图，
则，
根据题意可知，，
为中位线，
，，
同理，，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
在中，．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
4．（24-25九年级上·北京顺义·期末）数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，是的直径，射线交于点．
求作：的中点．
小华的作法：
①在射线上截取，使；
②连接，交于点．
所以点就是所求作的点．
(1)按照小华的作法，补全图形；
(2)补全下面的证明．
证明：连接，
是的直径，
______（ ）（填推理依据）．
，
．
______．
点为的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）连接，根据圆周角定理的推论，再根据等腰三角形的性质得到，所以．
【详解】（1）解：如图，点为所作；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），
∵，
∴，
∴，
∴点D为的中点．
故答案为：90°，直径所对的圆周角为直角，．
5．（24-25九年级上·北京大兴·期末）如图，是的内接三角形，延长至点，平分交于点，连接，求证：
【答案】见解析
【分析】首先根据圆周角定理可得：，根据圆内接四边形的对角互补可得：，根据邻补角定义可得：，根据同角的补角相等可得：，等量代换可证，根据等角对等边可证．
【详解】证明：平分，
，
根据圆周角定理得：，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义．解决本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系．
6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上．
(1)如图①，若是的直径，求的度数；
(2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键．
（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解；
（2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系．
【详解】（1）∵是的直径，
又
是等腰直角三角形，
∵四边形是的内接四边形，
（2）如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)求证：平分．
(3)当时，求与的面积之比．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再证明，进而可得结论；
（2）过O作于G，于P，利用垂径定理可得，，易证，证明四边形是正方形，得到即可得结论；
（3）设，，证明得到，，则，，进而可求．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形．
理由：如图，连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：过O作于G，于P，
则，，，
∴四边形是矩形，
由（1）得，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，又，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，即平分；
（3）解：∵，
∴设，，
由（2）中四边形是正方形可得，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、弧与弦的关系、垂径定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
考点05点、直线与圆的位置关系
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质定理，三角形的内角和等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由切线的性质定理得出，由圆周角定理得出，然后利用三角形内角和得出，进而即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵所对的圆心角为，圆周角为，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，连接并延长交的切线于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆的性质是解题的关键．
（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据切线的性质得出，证明，即可得出答案；
（2）根据直角三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
解得：，
又∵，
∴，即的长为1．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务
探究三角形的特殊点
通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获．
定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点．
性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上．
如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点．
求证：点分别是点关于边的对称点．
证明：如图，连接．
∵点是的垂心，
∴，，
∴，，
∴，
又（依据），
∴，
∴直线和关于对称．
∴点和点关于对称．
任务：
(1)上面日记中“依据”指的是 ；
(2)下列说法正确的是 ；
A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处
C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合
(3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称．
【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等
(2)B
(3)证明过程见详解
【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键．
（1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解；
（2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解；
（3）根据材料提示方法证明即可．
【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是，
∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）解：根据图示可得，
A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意；
B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意；
C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意；
D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意；
故选：B；
（3）证明：如图所示，连接，设于交于点，
∵点是的垂心，
∴，，
∴，，
∴，
又（同弧或等弧所对圆周角相等），
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴点与点是对应点，
∴直线和关于对称．
∴点和点关于对称．
4．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）在中，，，得到，由C为边的中点，求得，根据切线的性质得到结论；
（2）连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定和性质得到结论．
【详解】（1）证明：在中，，，
，
为边的中点，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：连接，
与相切于点D，与相切，
，
在与中，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于．
已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于．
证明：假设①___________，
所以，②_____________．
这与“③___________”矛盾．
所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于．
【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为
【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立．
【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于，
所以，②．
这与“③三角形的内角和为”矛盾．
所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于
故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为
6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，为直径，射线交于点，弦平分，过点作于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)线段的长度为
【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，则，所以，而，则，所以，由于点，得，则，即可证明直线是的切线；
（2）连接，由，，，求得，由，得，则．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
弦平分，
，
，
，
于点，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）解：连接，
，，，
，
，
，
，
线段的长度是．
考点06 切线的性质与判定
1．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，是的内切圆，切点分别是，则的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．
由切线长定理得，，，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：与、、分别相切于点、、，，，
，，，
，
，
的周长为10，
故选：D．
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，以的中点为圆心，为半径作圆，与交于点，连接，过点作的切线交于点．当时，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了圆的切线性质、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的相关知识．连接连接与切点构造直角，利用圆的切线性质得到直角三角形，再结合已知条件推出三角形的角度关系，从而证明结论．
【详解】如图，连接．
∵与相切于点，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴是等边三角形，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25山西临汾期末）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；
(2)如果，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分；
（2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键．
4．（24-25九年级上·北京海淀·期末）如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理得到，求得，根据切线的性质得到，推出，等量代换得到；
（2）过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，，根据平行线的性质得到，推出，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
的延长线交弦于点，，
，
，
，
，分别与相切于，两点，
，
，
，
，
；
（2）解：过作于，如图，
则四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
由（1）可得，
，
，
，
，
．
5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知是的直径，点在上．
(1)如图1，若，点在上，，延长到点，使得．证明：
①点为的中点；
②直线是的切线；
(2)如图2，若，仅使用圆规作的中点（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①如图1，连接、，证明出是等边三角形，得到，然后由得到，进而求解即可；
②首先证明出是等边三角形，得到，然后由得到，进而得到，即可得到是的切线；
（2）如图2，以为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧交于点．
【详解】（1）①如图1，连接、．
，，
是等边三角形，
∴，
，
，
，
，
，即点为的中点；
②，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的切线；
（2）如图所示，点即为所求．
证明：如图，连接，，
根据题意得，
∴四边形是菱形
∴平分，即
∴
∴点D为的中点．
【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，切线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)如图，若是的直径，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，然后由垂径定理推论得，又，则，从而求证；
（）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，，则，即，故，从而有，然后由圆周角定理得，由直角三角形性质得性质，通过勾股定理求得，最后由平行线的性质和等角对等边即可求解．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行线的性质，等角对等边，直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：为等腰三角形．
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题重点考查等膘三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）因为过点作直线的垂线，垂足为点，所以，由，得，推导出，而，所以，则，求得，即可证明是的切线；
（2）延长交于点，由是的直径，得，可证明，则，所以垂直平分，则，所以为等腰三角形；
（3）作于点，可证明四边形和四边形都是矩形，则，所以，而，由勾股定理得，则，，求得，，所以．
【详解】（1）证明：过点作直线的垂线，垂足为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）证明：延长交于点，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形．
（3）解：作于点，则，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
的长为．
考点07切线长定理
一、单选题
1．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ）
A． B．12r C．13r D．26r
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】是的内切圆且半径为r，，，
，
，
则的面积为，
故选：C
二、填空题
2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，，，是的切线，P，C，D为切点，若，，则的长为 ．
【答案】3；
【分析】本题考查切线长定理，根据圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，是的切线，P，C，D为切点，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：3．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的内心，连接，并分别延长交于点，交于点．若，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内心，角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等是解题的关键．
过点D作于点M，于点N，过点B作于点T，则，由面积法证明，同理，即可求解．
【详解】解：过点D作于点M，于点N，过点B作于点T，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证明：，
故答案为：．
4．（24-25九年级上·北京密云·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为 步．
【答案】4
【分析】连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得：，，，，
∴四边形为矩形，，
又∵，
∴矩形为正方形，
设半径为，则，
∴，，
∴，
解得，
∴圆的直径为4步，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，过上的动点作半径为的的切线，切点为，若为的中点，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】连接、、、，在中，，则，进而得到当取最大值时，最小，由勾股定理可求出，根据题意证明，从而得到，设，则，得到，求出的最大值，即可求解．
【详解】解：连接、、、，

在中，，
，
，
当取最大值时，最小，
，，
，
又，，
，
即、、共线，
为的切线，
，
，
，
，
，
设，则，
，
当时，最大，
的最大值为，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，路径最短问题，解题的关键是综合运用这些知识．
三、解答题
6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）“等弦”的探究．
(1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点O到，的距离相等．小红发现延长，交于点P，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明．
(2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）若，，，的半径为r，则r的取值范围是_______．
【答案】(1)证明见解析
(2)作图和文字说明见解析；
【分析】（1）证明小明发现的结论：过点作于点，作于点，连接，先根据垂径定理可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；证明小红发现的结论：连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）分别作的角平分线，两条角平分线交于点；过点作的垂线，垂直为点；在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，则即为所求．作的内切圆，与边分别相切于点，连接，利用圆的切线的性质和勾股定理求出的长，由此即可得．
【详解】（1）证明：①小明发现的结论：点到，的距离相等．
如图，过点作于点，作于点，连接，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点到，的距离相等．
②小红发现的结论：．
如图，连接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图，分别作的角平分线，两条角平分线交于点；过点作的垂线，垂直为点；在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，则即为所求．
如图，作的内切圆，与边分别相切于点，连接，
∴，，
∵，，，
∴，
解得，
设，
又∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
即，
解得，
即，
∴，，，
∵与各边都相交且所形成的弦的长度均相等，且的半径为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、角平分线的尺规作图等知识，较难的是题（2），正确找出两个临界位置是解题关键．
考点08弧长与扇形面积
、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答．
【详解】解：，
，
将绕点A逆时针旋转后得到，
，
，
．
故选：C．
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在边长为2的菱形中，对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画，若点恰好在上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由菱形的性质可得，，由点恰好在上可得，由此可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，由勾股定理可得，然后根据各部分之间的面积关系可得，由此即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
点恰好在上，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，求扇形面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，三线合一，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，正八边形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题结合正八边形，考查不规则图形面积的计算，核心素养主要表现为运算能力、几何直观． 把总面积转换成两个三角形和一个扇形面积之和即可算出答案．
【详解】
如图，连接．
根据圆和正八边形的对称性，可知题图中阴影部分的面积与如图所示的图形中阴影部分的面积相等．
易知，
则，且设交点为，则，
∵半径为2
故选：A
4．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是半圆的直径，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：连接，，如图，
∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点在上且垂直平分线段，为垂足，以为圆心，为半径作弧交于点，则阴影部分面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查扇形面积的计算，线段的中垂线，根据中垂线的性质以及直角三角形的边角关系可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可．掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键．
【详解】解：如图，连接，
是的中垂线，
，，
，，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
6．（24-25九年级下·湖北黄冈·开学考试）如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且．

(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及推论和扇形的面积公式是解题的关键，
（1）连接，利用圆周角定理可得，，从而可推出，证得为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得；
（2）连接、，由圆周角定理的推论可得，从得到，，再根据（1）中等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质得，进而可证得是等边三角形，故可得，再利用代入即可算出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
又，，
，
，
；
（2）解：连接、，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
.
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径即可解答．
【详解】解：的半径为3，点P在内，
，
的长可能是2．
故选：A．
2．如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理；由及互补关系，可求得，再圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：A．
3．已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，结合已知角度比例求解．
【详解】解：圆内接四边形对角互补，
，．
：：：：，设，，．
，
解得．
．
故选：B．
4．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立．
【详解】解：原命题为“若，则”，
根据反证法，需假设结论不成立，“”，
则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”．
故选：A．
5．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了圆锥侧面展开的扇形与底面圆之间的关系，掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形且扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
利用圆锥侧面展开的扇形的弧长等于底面圆的周长，再结合圆的周长公式列方程求解即可．
【详解】解：设底面圆半径为r，则，解得：，
所以这个圆锥底面圆的半径为6．
故选A．
6．如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，
连接，根据切线的性质及直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出
，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案.
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
即.
∵，
∴，
∴
在圆内接四边形中，，
∴.
故选：C.
7．如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆周角定理，切线的性质，直角三角形两锐角互余，连接，求出，再根据圆周角定理即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵与相切于点．，
∴，，
∴，
故选C．
8．如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是．
【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作，
点的坐标为，
，，
，
点，点关于原点对称，
，
，
，
，
当最大时最大，
当点、、共线时有最大值，
的半径为，
的最大值是，
的最大值是．
故选：B．
9．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ）
A．17 B．19 C．20 D．22
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、，
∴四边形是正方形，
由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∵是的内切圆，
设的半径为，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
10．如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
，，
，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，点在上，若，则 °．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．
【详解】
故答案为：60
12．如图，是的直径，D在弦的延长线上，，的延长线交于点E，若，则的度数为 ．
【答案】/25度
【分析】本题考查圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和线段垂直平分线的性质是解答的关键．
根据圆周角定理求出，，进而求出是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出，最后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图，连接AC，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，，
，，，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
14．如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，圆的定义，勾股定理．由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得，再根据，得到，进而求出，根据题意得到，即，可求 ，得到，再由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：，，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
15．如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求．
【详解】解：∵，G是EF的中点，则有，
则点在以圆心，1为半径的圆在长方形内的弧上运动．
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于点，
由两点之间线段最短，此时的值最小，
则的最小值=
且，
则的最小值．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了最短路径问题，点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题．
三、解答题(共8小题，共75分)
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点对称的；
(2)请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点，，即可，再利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求，
，
点A到经过的路径长．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题的关键是正确得出对应点的位置．
17．（8分）已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线．
(1)求证：直线与相切；
(2)若半径为，．连接，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）要证明直线l与相切，需依据切线的判定定理（经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线），通过连接，利用内心性质、弧与角的关系及平行线性质推导；
（2）要证明，需连接，结合内心角平分线性质、弧与角的对应关系，通过角的等量代换证明，进而利用等腰三角形判定得出结论．
【详解】（1）解：连接，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵直线，
∴，
∴直线与相切．
（2）连接，
由（1）得，，
∵所对的圆周角为，，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了切线的判定定理，三角形的内心、圆周角定理，等腰三角形的判定，灵活运用圆的性质（弧、角、弦的关系）、三角形内心性质及切线判定定理是解题关键
18．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据：
测量主题 测量碗口的直径
测量工具 一张矩形纸条和刻度尺
测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图及测量示意图
测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动
测量数据 ，，纸条宽度．
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
【答案】直径为
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答．
【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置．
过O点作交于点E，延长交于点F．连接
由矩形纸条可得，
∵
∴，即E，O，F三点共线,
∵纸条宽度．
∴
∵，，，
∴，
设，
则，
则
∵半径相等，
∴
∴
解得，
∴,
答：碗口直径为
19．(9分)如图，为的直径，弦于点，是弧上一点；延长，交于点，连结，，与交于点．
(1)若，用含的代数式表示；
(2)如图2，连结，，若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用垂径定理得即可求解；
（2）由得，再通过圆周角定理的推论证得即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）证明：，且由（1）得，
，
，
，且由（1）得，
，
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握与圆相关的定理知识是解题关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为．
(1)将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标；
(2)将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，，
【分析】本题平移作图，画旋转图形，弧长公式等知识，数形结合是解题的关键．
（1）根据平移的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点的坐标，即可求解；
（2）根据旋转的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点点的坐标，再根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求，，
点在旋转过程中经过的路径长
为．
21．（9分）请阅读下面的材料，并解答问题．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论：
如果，那么；
如果，那么．
数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究．
证明：，
，即，
，
，
在中，，
……
请解答以下问题：
(1)请完成所给材料的证明过程；
(2)请证明结论（2）；
(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论；
（2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明；
（3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：，
，即，
，
，
在中，，
，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，设交于点M，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
由（1）中结论可得，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键．
22．（12分）综合探究
如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明．
（2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得．
（3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得．
【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
；
（2）解：由（1）可知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）解：连接，如图，
∵，且以为直径
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定．
23．（13分）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______；
探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系；
拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______．
【答案】（）等腰直角，；（）；（）或．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理，旋转的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据旋转的性质得到为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出、、的数量关系；
（）延长交于，连接、、，根据圆周角定理得到，由（）的结论解答；
（）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，根据（）（）的结论计算，得到答案．
【详解】解：（）由旋转变换的性质可知，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：等腰直角，；
（）如图，延长交于，连接，，
∵是直径，
∴，，
由（）可知：，
又，
∴，
∴；
（）如图，当点在直线的左侧时，连接、，
∵，，点为的中点，
∴，，
∵，点为中点，
∴，
∴，
∵，，，
由勾股定理得，，
由（）得，，
∴，
解得，，
如图，当点在直线的右侧时，连接、，
同理可知：，
∵，，
∴，
由勾股定理可求得：，
由（）的结论可知，，
故答案为：或．
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