资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026九年级数学期末专项训练
专题08 圆易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
圆这一章概念多、定理多，图形变化丰富，确实有不少容易混淆和出错的地方。为了帮助你更清晰地掌握，现梳理了五大类易错点，并配上了具体的典型错因和避坑指南。
下面这个表格先帮你快速了解一下主要的易错点类型。
易错点大类 典型错因与避坑指南
基本概念理解不清 混淆弦与直径、弧与半圆；忽视“在同圆或等圆中”的前提；混淆三角形的内心（内切圆圆心）与外心（外接圆圆心）。
性质与定理应用失误 应用垂径定理时忽略“弦非直径”条件；求弦所对圆周角时漏解（应有两种情况）；证明切线时条件不全（需“过半径外端且垂直”）。
位置关系考虑不周 判断点、直线与圆位置时忽略距离比较；求解两平行弦间距时漏解（可能在圆心同侧或异侧）。
与切线相关的问题 混淆切线判定定理的题设与结论；计算切线长时概念不清（切线长是点到切点的线段长）。
混淆母线与高及底面半径 圆锥侧面展开误将高(h)当作侧面展开图的半径，或者将底面半径(r)当作扇形的半径。务必牢记核心关系：母线 (l) 是侧面展开图的半径；底面周长 (2πr) 是侧面展开图的弧长
基本概念理解不清
例1．（24-25九年级上·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等
C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等
典型错解
认为“相等的圆心角所对的弧相等”总是成立，选择A
认为“相等的圆心角所对的弦心距相等”总是成立，选择B
理解错误等弧定义，“度数相等的两条弧相等”选择C
避坑指南：
必须强调 “在同圆或等圆中” 这一前提条件。在不同大小的圆中，即使圆心角相等，所对的弧长也不相等
正确解法
【答案】D
【分析】本题考查了圆形角，弧，弦心距之间的关系，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弦心距相等，度数相等的两条弧相等，以及相等的圆心角所对的弧的度数相等逐个判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故A不正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦心距相等， B不正确，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，度数相等的两条弧相等，故C不正确，不符合题意；
D、相等的圆心角所对的弧的度数相等，故D正确，符合题意；
故选：D．
针对练习1
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧 B．半圆是弧
C．等弦对等圆心角 D．直径是最长的弦，半径是最短的弦
3．（24-25九年级上·江苏镇江期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等 B．长度相等的两条弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦
4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（ ）
A．所有半径都相等
B．过圆心的直线是圆的直径
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的两条弧是等弧
性质与定理应用失误
例2．（24-25·湖北襄阳·期末）半径长为的中，有一条弦的长为，则弦所对的圆周角度数等于 ．
典型错解
求一条弦所对的圆周角度数时，只得出一个解，注意一条弦所对的圆周角有两个。
避坑指南：
在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角有两种可能，它们互补。这两个圆周角位于弦的两侧。解题时一定要考虑两种情况进行分类讨论
正确解法
【答案】或
【分析】利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，再利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵，，

∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角度数等于或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角定理及圆内接四边形的性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．
针对练习2
1．（24-25九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧
2．（24-25九年级上·安徽·期末）下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的直线是圆的直径 B．平分弦的直径垂直于弦
C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）线段是的一条弦，的半径为4，，则弦所对的圆周角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则弦所对的圆周角等于（ ）
A． B．或 C． D．或
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在半径为的中，一条弦把另一条弦分为1和5，两条弦相交成，则的长为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角为 ．
3.位置关系考虑不周
例3．（24-25九年级上·山西临汾期末）一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
典型错解
判断点与圆的位置关系时，只考虑距离等于或小于半径的情况，忽略大于半径的情况
避坑指南：
设点到圆心距离为d，圆半径为r。若dr，点在圆外。解题时需全面比较d和r的大小
正确解法：
【答案】B
【分析】最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【详解】当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm；
故选B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，利用线段的和差得出直径是解题关键，分类讨论，以防遗漏．
针对练习3
1．（24-25九年级上·山东聊城·期末）已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知为外的一点，到上的点的最大距离为6，最小距离为2．若为内一条长为的弦，则点到的距离的最大值为 ．
4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）半径为13圆内的两条平行弦分别为10和24长，则两条平行弦之间距离是
5．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末），是的两条平行弦，的直径为，，，则，间的距离为 ．
6．（24-25九年级上·天津·期末）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ．
4.与切线相关的问题
例4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点．
(1)判断与半圆的位置关系，并说明理由．
(2)若，求．
典型错解
证明一条直线是圆的切线时，只证明直线与圆有公共点，或者只证明直线垂直于半径，但未说明该半径过公共点（切点）。
避坑指南：
切线判定定理有两个条件，必须同时满足： ①直线经过半径的（外）端点（即公共点是切点）；②直线垂直于这条半径。常通过连接圆心和公共点来构造半径，再证明垂直
正确解法
【答案】(1)与半圆相切，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）设半圆的圆心为，连接，，通过证明得到，再利用切线的判定定理即可得出结论；
（2）根据正方形的性质得到，推出是半圆的切线，根据切线长定理得到，设，根据勾股定理列出方程，求出的值即可解答．
【详解】（1）解：与半圆相切，理由如下：
如图，设半圆的圆心为，连接，，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
是半圆的半径，
与半圆相切；
（2）解：四边形是正方形，
，，
是半圆的直径，
是半圆的切线，
由（1）得，与半圆相切，
，
设，
，
，
，
解得，
．
针对练习4
1．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知为的直径，，和是的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作的切线，分别交于点M、N，连接．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求圆的半径长．
4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，中，，以为直径的交的延长线于点E，连接，是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的长．
5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求的长．
5.混淆母线与高及底面半径
例5．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C．
(1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接．
(2)在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C______、D______；
②的半径是______结果保留根号；
③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）．
典型错解
在计算时，误将高(h)当作侧面展开图的半径，或者将底面半径(r)当作扇形的半径.。
避坑指南：
务必牢记核心关系： 母线 (l) 是侧面展开图的半径；底面周长 (2πr) 是侧面展开图的弧长。在解决问题时，首先在图形上标出已知的 r, h, l，并优先利用 l = r + h 这个直角三角形求出未知量
正确解法
【答案】(1)见解析
(2)①，；②；③
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质和定理进行推理和计算是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线性质找出圆的圆心即可；
（2）①根据图形和已知点的位置写出坐标即可；根据勾股定理求出即可；求出，根据弧长公式求出弧的长，然后求出底面半径，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：①由（1）作图可知：，；
故答案为：，；
②的半径是：．
如图：
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
弧的长为，
设底面的半径为r，
则，解得：．
扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是
针对练习5
1．用半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是，则该圆锥的底面周长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
3．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面积为 ．
4．为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm．
5．如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是 ．
6．如图，在坐标系中，、、．
(1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________；
(2)这个圆的半径长为________；
(3)判断点与的位置关系：点在________（填内、外、上）
(4)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是________．
1．下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数共有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．下列说法中正确的是（ ）
直径是弦；长度相等的两条弧是等弧；
相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦
A． B． C． D．
3．圆O的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于（　　）度．
A． B． C．或 D．无法确定
4．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是 ．
5．圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是 ．
6．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切．
7．如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ．
8．如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证： 9．如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)取弦的中点E，连接，若，求的长．
10．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如．
(1)__________，__________，的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，）
2025-2026九年级数学期末专项训练
专题08 圆易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）（解析版）
圆这一章概念多、定理多，图形变化丰富，确实有不少容易混淆和出错的地方。为了帮助你更清晰地掌握，现梳理了五大类易错点，并配上了具体的典型错因和避坑指南。
下面这个表格先帮你快速了解一下主要的易错点类型。
易错点大类 典型错因与避坑指南
基本概念理解不清 混淆弦与直径、弧与半圆；忽视“在同圆或等圆中”的前提；混淆三角形的内心（内切圆圆心）与外心（外接圆圆心）。
性质与定理应用失误 应用垂径定理时忽略“弦非直径”条件；求弦所对圆周角时漏解（应有两种情况）；证明切线时条件不全（需“过半径外端且垂直”）。
位置关系考虑不周 判断点、直线与圆位置时忽略距离比较；求解两平行弦间距时漏解（可能在圆心同侧或异侧）。
与切线相关的问题 混淆切线判定定理的题设与结论；计算切线长时概念不清（切线长是点到切点的线段长）。
混淆母线与高及底面半径 圆锥侧面展开误将高(h)当作侧面展开图的半径，或者将底面半径(r)当作扇形的半径。务必牢记核心关系：母线 (l) 是侧面展开图的半径；底面周长 (2πr) 是侧面展开图的弧长
基本概念理解不清
例1．（24-25九年级上·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等
C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等
典型错解
认为“相等的圆心角所对的弧相等”总是成立，选择A
认为“相等的圆心角所对的弦心距相等”总是成立，选择B
理解错误等弧定义，“度数相等的两条弧相等”选择C
避坑指南：
必须强调 “在同圆或等圆中” 这一前提条件。在不同大小的圆中，即使圆心角相等，所对的弧长也不相等
正确解法
【答案】D
【分析】本题考查了圆形角，弧，弦心距之间的关系，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弦心距相等，度数相等的两条弧相等，以及相等的圆心角所对的弧的度数相等逐个判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故A不正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦心距相等， B不正确，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，度数相等的两条弧相等，故C不正确，不符合题意；
D、相等的圆心角所对的弧的度数相等，故D正确，符合题意；
故选：D．
针对练习1
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】过O点作半径，根据垂径定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后根据三角形三边的关系可得到．
【详解】解：如图，过O点作半径，则＝，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
2．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧 B．半圆是弧
C．等弦对等圆心角 D．直径是最长的弦，半径是最短的弦
【答案】B
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，逐项判断可得答案．
【详解】解：A．等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就一定能够重合，故此选项不符合题意；
B．半圆是弧，故此选项符合题意；
C．在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，故此选项不符合题意；
D．直径是最长的弦，半径不是弦，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的认识，在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角的关系．解题的关键是掌握弧、半圆和弦的定义，弦、弧、圆心角的关系．
3．（24-25九年级上·江苏镇江期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等 B．长度相等的两条弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦
【答案】D
【分析】根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可．
【详解】解：A、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误，不合题意；
B、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故错误，不合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不合题意；
D、直径是同一圆中最长的弦，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了垂径定理，等弧等知识，熟练掌握垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质是解题的关键．
4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
【答案】C
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．
【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；
C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；
D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（ ）
A．所有半径都相等
B．过圆心的直线是圆的直径
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的两条弧是等弧
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧），熟练掌握这些概念的定义及限制条件是解题的关键．
根据圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧）的定义，逐一分析每个选项的正误．
【详解】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，A选项错误；
直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，B选项错误；
圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确；
等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，D选项错误．
故选：C．
性质与定理应用失误
例2．（24-25·湖北襄阳·期末）半径长为的中，有一条弦的长为，则弦所对的圆周角度数等于 ．
典型错解
求一条弦所对的圆周角度数时，只得出一个解，注意一条弦所对的圆周角有两个。
避坑指南：
在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角有两种可能，它们互补。这两个圆周角位于弦的两侧。解题时一定要考虑两种情况进行分类讨论
正确解法
【答案】或
【分析】利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，再利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵，，

∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角度数等于或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角定理及圆内接四边形的性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．
针对练习2
1．（24-25九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可．
【详解】解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直），故原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直线不一定过圆心（只有平分弦的垂直直线才过圆心），故原说法错误，不符合题意；
C、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确，符合题意；
D、平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（当弦为直径时，弧平分不一定成立），故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·安徽·期末）下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的直线是圆的直径 B．平分弦的直径垂直于弦
C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧
【答案】C
【分析】本题考查了圆的认识，熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义，垂径定理对A选项和B选项进行判断根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断．
【详解】解：A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项不符合题意；
C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意；
D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）线段是的一条弦，的半径为4，，则弦所对的圆周角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握一条弦所对的圆周角有两种情况是解答本题的关键．连结，，先根据勾股定理的逆定理得到，再根据圆周角的顶点在优弧和劣弧上两种情况，分别求出弦所对的圆周角的度数即可．
【详解】解：如图，连结，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形, ，
当圆周角的顶点在优弧上时， ，
当圆周角的顶点在劣弧上时，，
∴，
∴，
综上，弦所对的圆周角的度数为或．
故选C．
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则弦所对的圆周角等于（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，
根据题意画出图形，然后利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】如图弦把圆分成度数的比为的两条弧，
∴，，
∴，
故选：D．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在半径为的中，一条弦把另一条弦分为1和5，两条弦相交成，则的长为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，
分两种情况：
先作，，连接，根据垂径定理得，可得，再根据勾股定理求出，即可说明是等腰直角三角形，然后求出，接下来结合题意得，进而求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得；
仿照上述做法：可得，根据，可得，进而求出，再根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理求，此题可解.
【详解】解：如图所示，过点O作，交于点F，过点O作，交于点E，连接，
可知，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，，
∴；
如图所示，过点O作，交于点F，过点O作，交于点E，连接，
可知，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
即，
解得.
在中，，
∴.
所以的长为或.
故选：C.
6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角为 ．
【答案】或/或
【分析】分两种情况：当圆周角所对的弧是劣弧时，当圆周角所对的弧是优弧时，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：当圆周角所对的弧是劣弧时，
则这条弦所对的圆周角为：，
当圆周角所对的弧是优弧时，
则这条弦所对的圆周角为：，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆周角，分类讨论思想解决问题是解题的关键．
3.位置关系考虑不周
例3．（24-25九年级上·山西临汾期末）一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
典型错解
判断点与圆的位置关系时，只考虑距离等于或小于半径的情况，忽略大于半径的情况
避坑指南：
设点到圆心距离为d，圆半径为r。若dr，点在圆外。解题时需全面比较d和r的大小
正确解法：
【答案】B
【分析】最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【详解】当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm；
故选B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，利用线段的和差得出直径是解题关键，分类讨论，以防遗漏．
针对练习3
1．（24-25九年级上·山东聊城·期末）已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交
【答案】C
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．设点到直线的距离为，根据垂线段最短，可得，根据直线与圆的位置关系即可得答案．
【详解】解：设点到直线的距离为，
∵点在直线上，且，
∴，（垂线段最短），
∵的半径为，
∴当时，直线与相交；
当时，直线与相切；
∴直线与的位置关系是相交或相切．
故选：C．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大距离的和等于圆的直径是解题关键．由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的直径．
【详解】解：设最小距离为m，最大距离为n，
由根与系数的关系得，
是内一点，
点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径，
即圆的直径是12，圆的半径是
故答案为：6
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知为外的一点，到上的点的最大距离为6，最小距离为2．若为内一条长为的弦，则点到的距离的最大值为 ．
【答案】5
【分析】由题意设直线交于，，则，，，当线段线段于时，点到直线的距离最大.
【详解】解：如图，由题意设直线交于，，则，，，
当线段线段于时，点到直线的距离最大，
在中，，，PD⊥AB，
∴AH==，
，
，
点到直线的最大距离为5，
故答案为：5.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）半径为13圆内的两条平行弦分别为10和24长，则两条平行弦之间距离是
【答案】17或7
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：有两种情况：①如图，当和在的两旁时，

过作于，交于，连接，，
，
，
由垂径定理得：，，
，
由勾股定理得：，
同理，
，
②当和在的同旁时，同理得．

故答案为：17或7．
5．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末），是的两条平行弦，的直径为，，，则，间的距离为 ．
【答案】1cm或7cm/7cm或1cm
【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理得出cm，cm，分两种情况，当两条弦在圆心两侧时：当两条弦在圆心同侧时：分别在直角三角形中根据勾股定理计算即可．
【详解】解：过圆心O作MN⊥AB于N，交CD于M，连结OB，OD，
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD，
如图，当两条弦在圆心两侧时：
AB、CD是⊙O的两条平行弦，
∵ON⊥AB，AB为弦，
则根据垂径定理可得：cm，
∵OM⊥CD，CD为弦，
则根据垂径定理可得：cm，
在中，cm；
在中，cm；
∴cm，
当两条弦位于圆心同侧时，
∵ON⊥AB，AB为弦，
则根据垂径定理可得：cm，
∵OM⊥CD，CD为弦，
则根据垂径定理可得：cm，
在中，cm；
在中，cm；
∴cm，
故答案为：7cm或1cm．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键．
6．（24-25九年级上·天津·期末）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ．
【答案】相交或相切
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系．设圆心到直线的距离为，圆的半径为．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．反之亦然．熟练掌握是解题的关键．
圆心到直线上某一点的距离为，表明圆心到直线的距离可能小于或等于，结合圆的半径，判断直线与圆的位置关系．
【详解】∵圆的半径，圆心到直线上某一点的距离为，
∴圆心到直线的距离d满足，
∴，
∴直线和圆的位置关系是相交或相切．
故答案为：相交或相切．
4.与切线相关的问题
例4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点．
(1)判断与半圆的位置关系，并说明理由．
(2)若，求．
典型错解
证明一条直线是圆的切线时，只证明直线与圆有公共点，或者只证明直线垂直于半径，但未说明该半径过公共点（切点）。
避坑指南：
切线判定定理有两个条件，必须同时满足： ①直线经过半径的（外）端点（即公共点是切点）；②直线垂直于这条半径。常通过连接圆心和公共点来构造半径，再证明垂直
正确解法
【答案】(1)与半圆相切，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）设半圆的圆心为，连接，，通过证明得到，再利用切线的判定定理即可得出结论；
（2）根据正方形的性质得到，推出是半圆的切线，根据切线长定理得到，设，根据勾股定理列出方程，求出的值即可解答．
【详解】（1）解：与半圆相切，理由如下：
如图，设半圆的圆心为，连接，，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
是半圆的半径，
与半圆相切；
（2）解：四边形是正方形，
，，
是半圆的直径，
是半圆的切线，
由（1）得，与半圆相切，
，
设，
，
，
，
解得，
．
针对练习4
1．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知为的直径，，和是的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作的切线，分别交于点M、N，连接．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，由切线长定理可得，则可证明，进而推出，由勾股定理可得，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∵都是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ．
【答案】9
【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可．
【详解】解：如图，连接，作于点H，则，
分别与扇形相切于点A，E，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
解得：．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求圆的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)圆的半径长为3
【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，切线长定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，即可求证；
（2）设的半径为R，则，由勾股定理列出方程解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
，
∵，
∵，
，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：设的半径为R，则，
∵，，，
由勾股定理得，
解得：，
∴的半径长为3．
4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，中，，以为直径的交的延长线于点E，连接，是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）连接，根据圆的切线得到，而，再由互余关系即可证明，则；
（2）设的半径为.在中，由勾股定理得；在中，由勾股定理得，再由，得到方程，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∴.
又∵，
∴.
在中，，即，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为.
在中，，
即.
在中，，
即.
∵，
∴，
解得.
在中，
∴．
5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论；
（2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
，
∴是的切线；
（2）解：连接．
∵为半径，
∴是的切线，
∴，
，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键。
5.混淆母线与高及底面半径
例5．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C．
(1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接．
(2)在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C______、D______；
②的半径是______结果保留根号；
③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）．
典型错解
在计算时，误将高(h)当作侧面展开图的半径，或者将底面半径(r)当作扇形的半径.。
避坑指南：
务必牢记核心关系： 母线 (l) 是侧面展开图的半径；底面周长 (2πr) 是侧面展开图的弧长。在解决问题时，首先在图形上标出已知的 r, h, l，并优先利用 l = r + h 这个直角三角形求出未知量
正确解法
【答案】(1)见解析
(2)①，；②；③
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质和定理进行推理和计算是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线性质找出圆的圆心即可；
（2）①根据图形和已知点的位置写出坐标即可；根据勾股定理求出即可；求出，根据弧长公式求出弧的长，然后求出底面半径，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：①由（1）作图可知：，；
故答案为：，；
②的半径是：．
如图：
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
弧的长为，
设底面的半径为r，
则，解得：．
扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是
针对练习5
1．用半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是，则该圆锥的底面周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、勾股定理，扇形半径作为圆锥母线，与圆锥高和底面半径构成直角三角形，利用勾股定理求底面半径，再求底面周长．
【详解】解：如下图所示，
圆锥母线，高，
底面半径满足，
即，
解得：，
底面周长．
故选：D．
2．如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径；涉及正方形性质、扇形弧长公式、圆锥侧面展开图性质等知识点．
【详解】解：∵正方形中，，
∴扇形的圆心角，
已知扇形半径，圆心角，
据扇形弧长公式，可得弧长，
设圆锥底面半径为，圆锥底面圆周长，
又因为圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长，
所以，
解方程可得，
故选：B．
3．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查弧长公式，求出圆锥底面半径是解答的关键．根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此求出底面半径，再计算底面积．
【详解】解：扇形的弧长为，
设圆锥底面半径为，则，解得．
因此，圆锥的底面积为．
故答案为：．
4．为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm．
【答案】
【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是熟练掌握圆锥及其侧面展开图中相关量之间的关系．根据圆锥底面周长等于扇形弧长建立方程求解即可．
【详解】解：设扇形纸板的半径为，
扇形的圆心角为，圆锥的底面半径是，
根据圆锥底面周长等于扇形弧长可得，，
解得，．
答：这个扇形纸板的半径是．
故答案为：．
5．如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，正方形的性质，勾股定理，设圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，即，进而求出正方形的对角线长，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设圆锥底面圆的半径为，
由题意，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，,
∴，
∴，
故答案为：．
6．如图，在坐标系中，、、．
(1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________；
(2)这个圆的半径长为________；
(3)判断点与的位置关系：点在________（填内、外、上）
(4)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是________．
【答案】(1)
(2)
(3)外
(4)
【分析】（1）先确定圆心点M在直线上，设点M的坐标为，根据半径相等列方程求解即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）先计算，再根据点与圆的位置关系判断即可；
（4）根据勾股定理的逆定理证明，然后利用扇形的弧长公式求出扇形的弧长，再根据此弧长即圆锥底面圆的周长列方程求解即可．
【详解】（1）解：、，
的垂直平分线是直线，
圆心点M在直线上，
设点M的坐标为，
则，
，
解得，
圆心的坐标为．
故答案为：．
（2）解：，，
，
这个圆的半径长为．
故答案为：．
（3）解：，，
，
，
点在外．
故答案为：外．
（4）解：连结，，
，，
，
，
，
，
扇形的弧长为，
将扇形围成一个圆锥的底面圆的周长为，
设这个底面圆的半径为r，
则，
，
即该圆锥的底面圆的半径是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，两点间的距离公式，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，圆锥侧面展开图的相关计算，熟练掌握点与圆的位置关系及圆锥侧面展开图的相关计算是解决问题的关键．
1．下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数共有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系以及垂径定理，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理一一判断即可．
【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；
③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，正确；
④能够重合的弧称为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故原说法错误；
⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误．
∴正确的只有③，共1个．
故选：D．
2．下列说法中正确的是（ ）
直径是弦；长度相等的两条弧是等弧；
相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论，根据圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵直径是经过圆心的弦，
∴正确，符合题意；
∵等弧需在同一个圆或等圆中长度相等才成立，
∴错误，不符合题意；
∵相等的圆心角所对的弧相等需在同一个圆或等圆中，
∴错误，不符合题意；
∵平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），
∴错误，不符合题意；
故选：．
3．圆O的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于（　　）度．
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．如图，连接、，先证明为等边三角形得到，利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
【详解】解：如图，连接、，和为弦所对的圆周角，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
弦所对的圆周角的度数为或．
故选：C．
4．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是 ．
【答案】或
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．
，
，
，．
，
，，
，即此时与间的距离是；
②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．
，
，
，．
，
，，
，即此时与间的距离是．
综上可知与间的距离是或．
故答案为：或．
5．圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径，
【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，
∴，
故答案为：2．
6．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切．
【答案】2或3
【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【详解】解：当点到的距离为时，与相切，
开始时点到的距离为5，
当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切，
或，
即与直线在2秒或3秒时相切．
故答案为：2或3．
7．如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键，
利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，
∴，，
∵的周长为2，即，
∴，
∵，
∴.
故答案为：．
8．如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定．
（1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解；
（2）由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，点E是的内心，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)取弦的中点E，连接，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了三角形的内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据三角形的内心的性质以及角平分线的性质可得，由圆周角定理可得，则，根据角的和差以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明结论；
（2）先说明，然后证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）如图：延长到M，使得，连接，易得点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，由圆周角定理可得，根据勾股定理可得，再根据、线段的和差以及等量代换即可解答．
【详解】（1）解：∵点I是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，解得：．
（3）解：如图：延长到M，使得，连接，
∵，
∴，
∴点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，
∴是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
10．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如．
(1)__________，__________，的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】(1)，，
(2)约为
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图1，
由，得，
∴，
如图2，
∵，
∴作于D，则，，
∴，则，
∴
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：，，；
（2）解：∵圆锥的底面直径，
∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，
则，解得，
，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑