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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.3 二元一次方程
一元二次方程的概念 概念 等号两边都是 ，只含有一个 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程
一般 形式 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般形式
判定 标准 ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式； ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数； ③一元二次方程是二次方程，即方程中未知数的最高次数是2
解一元二次方程 解法 适用范围 步骤
直接 开方法 形式为 (a>0,b≥0)的一元二次方程 (1)两边分别开方，得， (2)两边同除以系数 得
因式 分解法 化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程 (1)将一元二次方程化成一般式； (2)将“=”左边的部分 ； (3)让各部分因式分别等于 ； (4)使各部分因式分别等于0的x的值即为方程的解.
配方法 适用于所有一元二次方程 (1)将一般形式的常数项移到“=”右边； (2)两边同时加上 的平方，得到形如 的一元二次方程； (3)利用直接开方法解方程
公式法 适用于所有一元二次方程 (1)将方程写成一般式 (2)分别写出a，b，c的值，代入求出根的判别式 的值； (3)将数据代入公式 0),得到方程的两个解x ,x .
一元二次方程根的判别式 根的判别式与根的个数的关系 设一元二次方程为 其根的判别式为 则根的判别式与根的个数关系如下： ①Δ>0 方程 有 的实数根 ②Δ=0 方程 有 的实数根 ③Δ<0 方程 . ④Δ≥0 方程 . 总结:一元二次方程根的判别式的作用 (1)不解方程判断情况. (2)依据根的情况字母的值或取值范围 (3)在二次函数中常判别式确定图象与交点的个数.
一元二次方程根与系数的关系 若 的两根是x ，x ，则有 (隐含的条件:Δ≥0) 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x ，x 是方程 的两个根，则 难点：一元二次方程根与系数的关系的应用 (1)验根：无需解方程，只利用根与系数的关系检验两个数是否为一元二次方程的两个根. (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数. (3)无需解方程，只利用根与系数的关系求关于x ，x (方程两根)的代数式的值.此时，常常涉及代数式的一些重要变形：
■考点一　一元二次方程的概念
◇典例1：下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2.若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（　　）
A． B．2 C． D．7
■考点二 一元二次方程的解法
◇典例2：按要求解下列关于的一元二次方程：
(1)（公式法）
(2)（因式分解法）
◆变式训练
1.解下列方程：
（1）
（2）
2.解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（公式法）
■考点三 一元二次方程的解求参数
◇典例3：已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则a的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
◆变式训练
1.若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（　　）
A．3 B．-3 C． D．2
2.如果是关于的方程的根，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
■考点四 一元二次方程根的判别式
◇典例1：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
◆变式训练
1.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A．36 B．9 C．6 D．3
2.关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围．
■考点五一元二次方程根与系数的关系
◇典例1：（2025九上·丰顺期末）若m，n是方程的两个根，则的值为　 　．
◆变式训练
1.（2025·成华模拟）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　．
2.已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
■考点六 根据实际问题列一元二次方程
◇典例1：由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
2.如图，矩形草坪（阴影部分）的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后的矩形草坪面积为．根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
■考点七 一元二次方程的实际应用
◇典例1：某花店购进一批鲜花，进价为每束50元．根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可售出30束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束．
（1）若店主希望每天的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？
（2）店主定了“每天的利润达到1200元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．
◆变式训练
1.李师傅今年初开了一家商店，九月份开始赢利，十月份的赢利是元，十二月份的赢利是元，且从十月到十二月，每月赢利的平均增长率都相同.
（1）求每月赢利的平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计明年一月份的赢利将达到多少元？
2.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米．
(1)矩形的面积为， 求出的长；
(2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
1．（2025·深圳模拟）若是一元二次方程的解，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
3．（2025·合江模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
4．（2025·连州模拟）一元二次方程的两根为，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是　 　.
7．（2025·深圳三模）若将方程进行配方，则该方程可变形为　 　．
8．（2025·船营模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为　 　．
9．（2025·潮阳模拟）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为　 　．
10．（2025九下·广州模拟）解方程： .
11．（2025·惠城模拟）已知，
（1）求的值；
（2）求的值．
12．（2025·深圳模拟）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为．
（1）起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）；
（2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长．
1．（2025·港南模拟）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2025·天河模拟）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·合江模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
5．（2025·连州模拟）一元二次方程的两根为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·顺德模拟）新定义：．若，则的值为　 　．
7．（2025·船营模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为　 　．
8．（2025·蓬江模拟）若一元二次方程有两个实数根，，则的值是　 　．
9．（2025·东莞模拟）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为　 　．
10．（2025·南沙模拟）已知．
（1）化简A；
（2）已知x满足，求A的值．
11．（2025·深圳模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题：
（1）降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
12．（2025·江门模拟）随着劳动教育的开展， 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆， 围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽 1米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
（2）可以围成的菜地面积最大是多少？
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第二章 方程与不等式
2.3 二元一次方程
一元二次方程的概念 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程
一般 形式 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般形式
判定 标准 ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式； ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数； ③一元二次方程是二次方程，即方程中未知数的最高次数是2
解一元二次方程 解法 适用范围 步骤
直接 开方法 形式为 (a>0,b≥0)的一元二次方程 (1)两边分别开方，得， (2)两边同除以系数 得
因式 分解法 化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程 (1)将一元二次方程化成一般式； (2)将“=”左边的部分因式分解； (3)让各部分因式分别等于0； (4)使各部分因式分别等于0的x的值即为方程的解.
配方法 适用于所有一元二次方程 (1)将一般形式的常数项移到“=”右边； (2)两边同时加上一次项系数一半的平方，得到形如 的一元二次方程； (3)利用直接开方法解方程
公式法 适用于所有一元二次方程 (1)将方程写成一般式 (2)分别写出a，b，c的值，代入求出根的判别式 的值； (3)将数据代入公式 0),得到方程的两个解x ,x .
一元二次方程根的判别式 根的判别式与根的个数的关系 设一元二次方程为 其根的判别式为 则根的判别式与根的个数关系如下： ①Δ>0 方程 有两个不相等的实数根 ②Δ=0 方程 有两个相等的实数根 ③Δ<0 方程 没有实数根. ④Δ≥0 方程 有两个实数根. 总结:一元二次方程根的判别式的作用 (1)不解方程判断情况. (2)依据根的情况字母的值或取值范围 (3)在二次函数中常判别式确定图象与交点的个数.
一元二次方程根与系数的关系 若 的两根是x ，x ，则有 (隐含的条件:Δ≥0) 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x ，x 是方程 的两个根，则 难点：一元二次方程根与系数的关系的应用 (1)验根：无需解方程，只利用根与系数的关系检验两个数是否为一元二次方程的两个根. (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数. (3)无需解方程，只利用根与系数的关系求关于x ，x (方程两根)的代数式的值.此时，常常涉及代数式的一些重要变形：
■考点一　一元二次方程的概念
◇典例1：下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、原方程化简得：，不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，需从未知数的个数、含未知数项的最高次数、方程是否为整式方程三个核心维度分析各选项。对于选项A，仅含一个未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，符合定义；选项B中含有分式，不属于整式方程，不符合要求；将选项C的方程展开化简后，二次项会抵消，得到一次方程，不含二次项；选项D含有x和y两个未知数，不符合“一元”的条件，通过这样的逐一分析就能判断出正确答案。
◆变式训练
1.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据方程是关于的一元二次方程得，
∴，
解得，
故选：D．
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
方程是一元二次方程，二次项系数不能为零，由此即可求解．
2.若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（　　）
A． B．2 C． D．7
【答案】A
【解析】【解答】解： 变形为3x2-2x+7=0，
此时 二次项系数是3 ，一次项系数为-2，
故答案为：A.
【分析】将 一元二次方程 整理成一般式，从而确定一次项系数.
■考点二 一元二次方程的解法
◇典例2：按要求解下列关于的一元二次方程：
(1)（公式法）
(2)（因式分解法）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
∴，，，
∴，
∴，
解得：
（2）
因式分解得
移项得，
提取公因式得，
即，
解得
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
◆变式训练
1.解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（x+4）2=0
（2）解：
移项得，，
因式分解得，（x-2）（2x-6）=0，
∴x-2=0或2x-6=0，
解得：x1=2，x2=3.
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可得出答案；
（2）先移项，再因式分解即可得出答案．
2.解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（公式法）
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，，
，
，
∴，．
【解析】【分析】(1)本题考察用配方法解一元二次方程，配方法的核心是将方程化为完全平方式。首先将方程的二次项系数化为1，把常数项移到等号右边，得到；然后在等式两边加上一次项系数一半的平方，即加上1，将左边化为，右边变为；最后通过直接开平方法，求出方程的两个根。
(2)本题考察用公式法解一元二次方程，公式法需先确定方程的一般形式和各项系数。先将方程整理为一般形式，明确a = 3、b = -4、c = -2；再计算判别式，判断方程根的情况；最后将a、b、c和的值代入求根公式，化简后得到方程的两个根。
■考点三 一元二次方程的解求参数
◇典例3：已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则a的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为 ，
∴ ， ，
则a的值为： ．
故答案为：D．
【分析】将x=0代入方程可得a2-1=0，由一元二次方程的定义，可得a-1≠0，从而求出a的值.
◆变式训练
1.若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（　　）
A．3 B．-3 C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：将是代入方程
得
m2=9
m=±3
∵m+3≠0
∴m≠-3
∴m=3
故答案为：A．
【分析】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，据此将x=1代入原方程可得关于字母m的方程，求解得出m=±3，进而根据一元二次方程的定义可得m+3≠0，求解确定m的值.
2.如果是关于的方程的根，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的根，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据方程根的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=0代入原方程可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
■考点四 一元二次方程根的判别式
◇典例1：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得且．
故答案为：C．
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．本题结合上述条件可以列出不等式组，然后求k即可。
◆变式训练
1.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A．36 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
故选B
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
2.关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围．
【答案】（1）证明：关于x的一元二次方程，
∴
∵
，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵
∵
∴
解得：，
∵方程只有一个根小于0，
∴，
解得：．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
■考点五一元二次方程根与系数的关系
◇典例1：（2025九上·丰顺期末）若m，n是方程的两个根，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，．
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）以及代数式的化简求值。对于一元二次方程（a≠0），韦达定理指出两根之和，两根之积。在方程中，a=1，b=-3，c=-5，因此m + n = 3，mn = -5。将所求代数式通分，变形为，再将m + n和mn的值整体代入，即可计算出结果。
◆变式训练
1.（2025·成华模拟）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　．
【答案】14
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
2.已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
【答案】（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
■考点六 根据实际问题列一元二次方程
◇典例1：由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：第一天票房约5亿元，增长率为x，
∴第二天票房约5（1＋x）亿元，第三天票房约5（1＋x）2亿元．
依题意得：5＋5（1＋x）＋5（1＋x）2 =20．
故选：D．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约5（1＋x）亿元、第三天票房约5（1＋x）2亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
◆变式训练
1.《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
2.如图，矩形草坪（阴影部分）的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后的矩形草坪面积为．根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故答案为：C．
【分析】根据“将该草坪的长和宽各增加，扩建后的矩形草坪面积为 ”列方程即可得出答案．
■考点七 一元二次方程的实际应用
◇典例1：某花店购进一批鲜花，进价为每束50元．根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可售出30束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束．
（1）若店主希望每天的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？
（2）店主定了“每天的利润达到1200元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．
【答案】（1）解：设售价每束下降元，则每天可售出束，根据题意：
，
整理得：，
解得：或，
尽量减少库存，
，
答：每束鲜花应降价10元；
（2）解：设售价每束下降元，
根据题意：，
整理得：，
，
方程无解，
不能达到这个“小目标”．
【解析】【分析】（1）设售价每束下降元，则每天可售出束，根据利润公式，利润=（售价-进价）×销量，列出一元二次方程，得到x的两个值，因要尽量减少库存，所以取x=10；
同（1）的思路，将利润设成1200，列出一元二次方程，根据判别式发现，方程无解，故无法达到目标．
◆变式训练
1.李师傅今年初开了一家商店，九月份开始赢利，十月份的赢利是元，十二月份的赢利是元，且从十月到十二月，每月赢利的平均增长率都相同.
（1）求每月赢利的平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计明年一月份的赢利将达到多少元？
【答案】（1）设每月赢利的平均增长率为
根据题意得：
解得：，（不合题意，舍去）
所以，每月赢利的平均增长率为；
（2）由题（1）的结果可得，明年一月盈利为(元)
所以，预计明年一月份的赢利将达到元.
【解析】【分析】（1）因为从十月到十二月每月赢利的平均增长率都相同，设其为x。根据“本月盈利=上月盈利×(1 + 增长率)”这一规律，十月份赢利3000元，那么十一月份赢利就是3000(1+x)元，十二月份在十一月份的基础上继续以相同增长率增长，所以十二月份赢利为3000(1+x)(1+x)=3000(1+x)2元。又已知十二月份的赢利是3630元，所以可列出方程3000(1+x)2=3630，求解这个方程就能得到增长率x的值，同时要舍去不符合实际情况（增长率不能为负）的值；
（2）已知十二月份的赢利以及每月的平均增长率，根据“明年一月盈利=十二月盈利×(1+增长率)”，就可以计算出明年一月份的赢利。
2.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米．
(1)矩形的面积为， 求出的长；
(2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设矩形的一边长为，
则：，
由题意，得：，
解得：，
当时，，不合题意，舍去；
，
∴的长为 6 米；
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得：，
整理，得：，
∴一元二次方程没有实数根，
∴矩形的面积不能为．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准确的列出方程，是解题的关键．
（1）根据题意，求出的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论．
1．（2025·深圳模拟）若是一元二次方程的解，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的解，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】将代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
2．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
3．（2025·合江模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故答案为：A．
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
4．（2025·连州模拟）一元二次方程的两根为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴
∴
．
故选：B．
【分析】若是的两个实数根，则，据此代值计算即可得到答案．
5．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x
代入平均增长率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案为： A.
【分析】：根据平均增长率的计算公式，结合题目中的已知条件已知该公司 5 月产值（即初始量a）为2500万元；月均增长率为x；从 5 月到 7 月经过了2个月，即增长次数n = 2；7 月产值（即增长后的量b）将增至9100万元。可以列出方程。
6．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是　 　.
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
7．（2025·深圳三模）若将方程进行配方，则该方程可变形为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：将进行配方得，具体步骤如下：
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程配方的方法，加上一次项系数的一半的平方，在减去一次项系数一半的平方可得.
8．（2025·船营模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】本题总体考察一元二次方程根的判别式与根的关系，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质。对于方程，其中，，根据判别式公式，列出方程，即，求解该方程可得。
9．（2025·潮阳模拟）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：该种药品平均每场降价的百分率为，
根据题意得，
解得或，
由于是平均每次降价的百分率，所以，
故舍去，
即．
故答案为：。
【分析】设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为元可以表示出两次降价后的价格， 结合现在仅卖元/瓶，建立等量关系：，然后再解方程，接着再根据x的取值范围，对x的值进行取舍，即可求解。
10．（2025九下·广州模拟）解方程： .
【答案】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故原方程的根为 .
【解析】【分析】利用因式分解法求解即可.
11．（2025·惠城模拟）已知，
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴
．
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）由题意得，再化简代数式，整体代入即可求出答案.
12．（2025·深圳模拟）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为．
（1）起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）；
（2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长．
【答案】（1）；
（2）解∶ 设原正方形空地的边长为．
可列方程为：，
解得：，舍去
答：原正方形空地的边长为．
【解析】【解答】解：（1）根据设原正方形空地的边长为，可用x表示出起飞区的边的长.
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列出的代数式；
（2）根据“ 起飞区的面积为”列出方程求解．
（1）解：根据题意，起飞区的边的长为，
故答案为：；
（2）解∶ 根据题意可得：，即，
解得：，舍去
答：原正方形空地的边长为．
1．（2025·港南模拟）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
2．（2025·天河模拟）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
∴k的取值范围为，
则的值可以是0．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
3．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x
代入平均增长率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案为： A.
【分析】：根据平均增长率的计算公式，结合题目中的已知条件已知该公司 5 月产值（即初始量a）为2500万元；月均增长率为x；从 5 月到 7 月经过了2个月，即增长次数n = 2；7 月产值（即增长后的量b）将增至9100万元。可以列出方程。
4．（2025·合江模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故答案为：A．
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
5．（2025·连州模拟）一元二次方程的两根为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴
∴
．
故选：B．
【分析】若是的两个实数根，则，据此代值计算即可得到答案．
6．（2025·顺德模拟）新定义：．若，则的值为　 　．
【答案】3或-1
【解析】【解答】解：，，
，即，
，
解得：或，
故答案为：3或-1．
【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程，把“x-1”看成一个整体，此题缺一次项，故利用直接开平方法求解该方程即可得出x的值.
7．（2025·船营模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】本题总体考察一元二次方程根的判别式与根的关系，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质。对于方程，其中，，根据判别式公式，列出方程，即，求解该方程可得。
8．（2025·蓬江模拟）若一元二次方程有两个实数根，，则的值是　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵有两个实数根，，
∴，，
∴
故答案为：8。
【分析】根据韦达定理，分别求出和的值；然后再根据，然后再代入数据即可求解。
9．（2025·东莞模拟）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：方程的解为、，
，，
∴．
故答案为：6．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数“，”可得a+b与ab的值，然后根据新定义运算法则列出式子，再整体代入计算可得答案.
10．（2025·南沙模拟）已知．
（1）化简A；
（2）已知x满足，求A的值．
【答案】（1）解：
（2）解：，
∴，
解得：，，
∵分式有意义，
∴，，
∴当时，
原式。
【解析】【分析】（1）先对括号里面的分式进行通分运算，然后再对除号后面的分式根据完全平方公式进行分解，最后再将除法换算成乘法，然后再进行约分运算化简即可。
（2）先对进行分解，然后解出x的值，再根据（1）中的分式，根据分式有意义的条件，对x进行取舍，然后再将x的值代入化简后的式子中，即可求解。
11．（2025·深圳模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题：
（1）降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）
（2）解：设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
【解析】【解答】（1）解： 降价元后的月销售量为件
故答案为：
【分析】（1）该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，则降价元后的月销售量为件．
设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程，解方程即可求出答案.
12．（2025·江门模拟）随着劳动教育的开展， 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆， 围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽 1米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
（2）可以围成的菜地面积最大是多少？
【答案】（1）解：设，则，依题意，得：
，
即，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：菜园的面积能达到时的长为．
（2）解：设菜园的面积为，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为147．
答：菜园的最大面积是．
【解析】【分析】设，则，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设菜园的面积为，根据题意建立函数关系式，根据二次函数性质即可求出答案.
（1）设，则，依题意，得：
，
即，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：菜园的面积能达到时的长为．
（2）设菜园的面积为，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为147．
答：菜园的最大面积是．
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