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北师大版选择性必修一第三章空间向量与立体几何
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则与共线的一个单位向量( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是
A. B.
C. D.
4.已知点，，，，若平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知是 所在的平面外一点，，，有下列结论：是平面的一个法向量其中，正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四面体中，是的重心，是上一点，且，连接并延长交于点，若，则，，的值分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的有( )
A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底
B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C. ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面
D. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
10.正三棱柱中，，则
A. 与底面所成的角的正弦值为
B. 与底面所成的角的正弦值为
C. 与侧面所成的角的正弦值为
D. 与侧面所成的角的正弦值为
11.如图，在四面体中，下列说法正确的是( )
A. 若，则可知
B. 若为的重心，则
C. 若，，则
D. 若四面体的各棱长都为，，分别为，的中点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线的方向向量为，直线上有两点，，则两直线的位置关系是 ．
13.如图所示，已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为______．
14.已知如图，、、互相垂直，且长度相等，为中点，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，，分别是空间四边形的边，的中点试判断向量与向量，是否共面．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值．
17.本小题分
已知向量，，点，．
求
在直线上，是否存在一点，使得为原点若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面与底面所成的角的大小为，底面为直角梯形，问：
在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
证明：平面；
求直线到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.垂直
13.
14.
15. 【解】根据图形可以得到
，
由已知得，
．
所以得，
即．
故向量与向量，共面．
16.证明：连接并延长交于，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
．
联结，点，，，共面，故存在实数，
满足，
即，
因此，
由空间向量基本定理知，，
故，为定值．
17.【解】，
故．
令，
所以
，
若，则，
所以，解得．
因此存在点，使得，
此时点的坐标为．
18. 【解】由题意可得两两垂直，且中，即为与底面所成的角，则．
以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．
存在．理由：设，则，．
因为平面，所以且，所以，所以．
即为棱的中点时，平面．
存在．理由：设，则．
因为，所以
因为是平面的一个法向量，，平面，所以．
所以．
所以，代入式得，则点的坐标为．
所以是的中点，即为的中点时，平面．
19.Ⅰ证明：，，
四边形 为平行四边形，
，
面，面，
平面E.
Ⅱ解：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，，，
平面，
直线到平面的距离即为点到平面的距离，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
，
直线到平面的距离为；
Ⅲ解：平面的一个法向量为，
由Ⅱ知平面的一个法向量为．
设平面与平面夹角为，
则，
由图可知夹角为锐角，故平面与平面夹角的余弦值．

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