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广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高二下学期3月阶段考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·江门月考）数列1，，，，…的一个通项公式为
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·江门月考）已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·江门月考）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（　　）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
4．（2025高二下·江门月考）已知，的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．（2025高二下·江门月考）下列各式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高二下·江门月考）已知函数，则（　　）
A． B． C．3 D．15
7．（2025高二下·江门月考）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（　　）
A．174 B．184 C．188 D．190
8．（2025高二下·江门月考）已知函数 的导函数 是偶函数，若方程 在区间 (其中 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高二下·江门月考）关于函数，以下说法正确的有（　　）
A． B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递增
10．（2025高二下·江门月考）若函数在区间上不是单调函数，则实数的可能取值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高二下·江门月考）已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则的值有3种情况
C．若数列满足，则
D．若为奇数，则（）
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·江门月考）在等比数列中，是方程的根，则的值为　 　．
13．（2025高二下·江门月考）已知数列满足，且，则　 　．
14．（2025高二下·江门月考）已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值集合是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·江门月考）已知函数，
（1）若数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）求曲线在点处的切线方程．
16．（2025高二下·江门月考）已知等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值．
17．（2025高二下·江门月考）已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围．
18．（2025高二下·江门月考）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有．
（1）设，证明：为等差数列；
（2）设，为数列的前项和，为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围．
19．（2025高二下·江门月考）设函数（a为非零常数）
（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）讨论函数的单调性.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】归纳推理；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列…可化为，
所以该数列的一个通项公式为.
故答案为：A.
【分析】把数列化为，再根据各项特点，从而得出数列1，，，，…的一个通项公式.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的首项和公差分别为和，
由题意可得，联立解得.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列通项公式和等差数列前项和公式，从而联立方程组得出数列的公差的值.
3．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
4．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据导数的定义与极限的运算，从而可得的值．
5．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，故C错误；
对于D：因为，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据导数的运算法则、基本初等函数求导公式和复合函数求导公式，从而找出正确的式子.
6．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，
，
，解得
，
.
故答案为：A.
【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算，从而得出导函数，再由代入法得出导函数的值.
7．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设此数列为，则
所以，
所以，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合累加法和等差数列前n项和公式得出数列的通项公式，再利用代入法和数列的通项公式得出数列第19项的值.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ， ，
导函数 的对称轴为直线 ，由于该函数为偶函数，则 ，
，令 ，即 ，得 .
问题转化为当直线 与函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值范围．
，令 ，得 ，列表如下：
极大值
所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值， ，
又 ， ，显然， ，如下图所示：
结合图象可知，当 时，即当 时，直线 与函数 在区间 上有两个交点，因此，实数 的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】由导函数为偶函数，得出 ，由 ，得出 ，将问题转化为当直线 与函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值范围，然后作出函数 在区间 上的图象，利用数形结合思想求出实数 的取值范围．
9．【答案】A,D
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，该函数的定义域为，
则.
对于A，因为，故A对；
对于B、C、D，由，可得，
由，可得，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，故B、C错、D对.
故答案为：AD.
【分析】先求导得出，再代值计算可判断选项A；利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的单调递增区间和单调递减区间，则可判断选项B、选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
则，
由可得；
由可得或，
所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，
所以，函数的极大值点为，极小值点为，
因为函数在区间上不是单调函数，
则该函数在区间内存在极值点，
所以或，解得或，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：CD.
【分析】利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再分析可知函数区间内存在极值点，从而可得关于实数的不等式组，进而解不等式组得出实数的取值范围.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，则该数列为，
则，，
又因为，所以，故A错误；
对于B，因为，若为偶数，则，所以或；
若为奇数，则，所以，因此的值会出现3种情况，故B正确；
对于C，由数列满足，则得出数列是周期为2的数列，所以，
当为偶数时，，则，解得或，无正数解；
当为奇数时，，则，解得，因此或都满足，故C错误；
对于D，若为奇数，则为偶数，
与为奇数矛盾，因此为偶数，
则，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据已知条件求出数列前几项，从而探讨数列的周期性，进而得出的值，则判断出选项A；按的奇偶性求出的值，则判断出选项B；由的奇偶性结合周期性求出，则判断出选项C；利用反证法的思想推理判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：在等比数列中，是方程的根，
则，，则，
由等比数列性质可知，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以的值为.
故答案为：.
【分析】根据韦达定理和等比数列的以及等比中项公式，再结合等比数列的通项公式得出的值，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对两边同时取倒数，所以，则，
所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，
所以，所以．
故答案为：.
【分析】对两边同时取倒数，从而得到，结合等差数列的定义判断出数列是以为首项，4为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
14．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，则，
因为，所以化为，
即，即，
故当时，函数是单调递减函数，
又因为，
所以函数是偶函数，
由偶函数的对称性可知函数是上的单调递增函数，
故不等式可化为.
故答案为：．
【分析】先构造函数，再利用导数判断函数的单调性，再结合奇偶性定义判断出函数为偶函数，再借助函数的单调性将不等式等价转化为，从而解绝对值不等式得出满足的实数x的取值范围．
15．【答案】（1）解：因为，数列的前项和，
当时，；
当且时，，
又因为满足，
故对任意的，.
（2）解：因为，则，
所以，，，
因此，曲线在点处的切线方程为，
即.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由题意和代入法得出，再由和检验法，从而可得数列的通项公式.
（2）利用已知条件和导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出曲线在点处的切线方程．
（1）因为，数列的前项和，
当时，，
当且时，.
满足，故对任意的，.
（2）因为，则，所以，，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
16．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
由题意可得，解得，则，
即数列的通项公式为；
（2）解：由（1）可得，
则，
由，得，解得，
则满足的正整数的值为10．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1） 设数列的公比为，由题意列关于的方程组，求解即可得数列的通项公式；
（2）由（1） ，利用裂项相消法求和，再根据求解即可.
（1）设数列的公比为，则，解得，则，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以．
由，得，解得，
所以满足的正整数的值为10．
17．【答案】（1）解：因为函数，
则，
又因为，
则，
解得．
（2）解：因为函数在上是减函数，
所以对恒成立，
所以，
令，
由，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故只需
故的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导，再令，从而求出的值.
（2）由题意可知在上恒成立，利用参变分离结合导数求最值的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围.
（1）已知函数，则，
因为，则，解得．
（2）因为函数在上是减函数，
所以对恒成立，
所以，
令，
则由得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故只需
故的取值范围是．
18．【答案】（1）证明：因为数列满足：，
且对于任意正整数，均有．
又因为等式两边同时除以，
可得，
因为，则，且，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）解：由（1）可得，
所以，，
则，
，
则，
上述两个等式作差可得：
，
所以，，
因为对任意的恒成立，即，
参变分离可得，
令，则，
所以，
当时，，即，
当且时，，即数列从第二项开始单调递减，
所以，数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由已知等式变形得出，再结合等差数列的定义证出为首项为，公差为的等差数列.
（2）利用等差数列的前n项和公式可得，利用错位相减法可得，由结合参变分离得出，令，再分析数列的单调性，从而确定数列的最大项的值，进而得出实数的取值范围.
（1）数列满足：，且对于任意正整数，均有．
等式两边同时除以可得，
因为，则，且，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，，
，
，
则，
上述两个等式作差可得
，
所以，，
因为对任意的恒成立，即，
参变分离可得，令，则，
，
当时，，即，
当且时，，即数列从第二项开始单调递减，
所以，数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
19．【答案】（1）解：因为函数，
求导得：，则，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
则，即，
又因为，则.
（2）解：因为函数的定义域为，
则，
当时，恒有，当且仅当且取等号，
则函数在上单调递增，
当时，由，解得，，
当时，即当时，
当或时，；当时，，
因此函数在，上单调递增，
在上单调递减，
当时，即当时，
当时，；当时，，
因此函数在上单调递减，
在上单调递增，
所以当时，则单调递减区间是，
单调递增区间是；
综上所述：当时，则单调递增区间是，，单调递减区间是；
当时，则单调递增区间是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，由代入法得出切点坐标，根据点斜式得出曲线在点处的切线，再由曲线在点处的切线经过点，从而得出实数a的值.
（2）先求出函数定义域，再利用分类讨论的方法和导数判断函数的单调性的方法，从而讨论出函数的单调性.
（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
1 / 1广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高二下学期3月阶段考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·江门月考）数列1，，，，…的一个通项公式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】归纳推理；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列…可化为，
所以该数列的一个通项公式为.
故答案为：A.
【分析】把数列化为，再根据各项特点，从而得出数列1，，，，…的一个通项公式.
2．（2025高二下·江门月考）已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的首项和公差分别为和，
由题意可得，联立解得.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列通项公式和等差数列前项和公式，从而联立方程组得出数列的公差的值.
3．（2025高二下·江门月考）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（　　）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
4．（2025高二下·江门月考）已知，的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据导数的定义与极限的运算，从而可得的值．
5．（2025高二下·江门月考）下列各式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，故C错误；
对于D：因为，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据导数的运算法则、基本初等函数求导公式和复合函数求导公式，从而找出正确的式子.
6．（2025高二下·江门月考）已知函数，则（　　）
A． B． C．3 D．15
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，
，
，解得
，
.
故答案为：A.
【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算，从而得出导函数，再由代入法得出导函数的值.
7．（2025高二下·江门月考）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（　　）
A．174 B．184 C．188 D．190
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设此数列为，则
所以，
所以，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合累加法和等差数列前n项和公式得出数列的通项公式，再利用代入法和数列的通项公式得出数列第19项的值.
8．（2025高二下·江门月考）已知函数 的导函数 是偶函数，若方程 在区间 (其中 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ， ，
导函数 的对称轴为直线 ，由于该函数为偶函数，则 ，
，令 ，即 ，得 .
问题转化为当直线 与函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值范围．
，令 ，得 ，列表如下：
极大值
所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值， ，
又 ， ，显然， ，如下图所示：
结合图象可知，当 时，即当 时，直线 与函数 在区间 上有两个交点，因此，实数 的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】由导函数为偶函数，得出 ，由 ，得出 ，将问题转化为当直线 与函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值范围，然后作出函数 在区间 上的图象，利用数形结合思想求出实数 的取值范围．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高二下·江门月考）关于函数，以下说法正确的有（　　）
A． B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递增
【答案】A,D
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，该函数的定义域为，
则.
对于A，因为，故A对；
对于B、C、D，由，可得，
由，可得，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，故B、C错、D对.
故答案为：AD.
【分析】先求导得出，再代值计算可判断选项A；利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的单调递增区间和单调递减区间，则可判断选项B、选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二下·江门月考）若函数在区间上不是单调函数，则实数的可能取值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
则，
由可得；
由可得或，
所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，
所以，函数的极大值点为，极小值点为，
因为函数在区间上不是单调函数，
则该函数在区间内存在极值点，
所以或，解得或，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：CD.
【分析】利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再分析可知函数区间内存在极值点，从而可得关于实数的不等式组，进而解不等式组得出实数的取值范围.
11．（2025高二下·江门月考）已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则的值有3种情况
C．若数列满足，则
D．若为奇数，则（）
【答案】B,D
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，则该数列为，
则，，
又因为，所以，故A错误；
对于B，因为，若为偶数，则，所以或；
若为奇数，则，所以，因此的值会出现3种情况，故B正确；
对于C，由数列满足，则得出数列是周期为2的数列，所以，
当为偶数时，，则，解得或，无正数解；
当为奇数时，，则，解得，因此或都满足，故C错误；
对于D，若为奇数，则为偶数，
与为奇数矛盾，因此为偶数，
则，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据已知条件求出数列前几项，从而探讨数列的周期性，进而得出的值，则判断出选项A；按的奇偶性求出的值，则判断出选项B；由的奇偶性结合周期性求出，则判断出选项C；利用反证法的思想推理判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·江门月考）在等比数列中，是方程的根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：在等比数列中，是方程的根，
则，，则，
由等比数列性质可知，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以的值为.
故答案为：.
【分析】根据韦达定理和等比数列的以及等比中项公式，再结合等比数列的通项公式得出的值，从而得出的值.
13．（2025高二下·江门月考）已知数列满足，且，则　 　．
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对两边同时取倒数，所以，则，
所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，
所以，所以．
故答案为：.
【分析】对两边同时取倒数，从而得到，结合等差数列的定义判断出数列是以为首项，4为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
14．（2025高二下·江门月考）已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值集合是　 　．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，则，
因为，所以化为，
即，即，
故当时，函数是单调递减函数，
又因为，
所以函数是偶函数，
由偶函数的对称性可知函数是上的单调递增函数，
故不等式可化为.
故答案为：．
【分析】先构造函数，再利用导数判断函数的单调性，再结合奇偶性定义判断出函数为偶函数，再借助函数的单调性将不等式等价转化为，从而解绝对值不等式得出满足的实数x的取值范围．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·江门月考）已知函数，
（1）若数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）求曲线在点处的切线方程．
【答案】（1）解：因为，数列的前项和，
当时，；
当且时，，
又因为满足，
故对任意的，.
（2）解：因为，则，
所以，，，
因此，曲线在点处的切线方程为，
即.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由题意和代入法得出，再由和检验法，从而可得数列的通项公式.
（2）利用已知条件和导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出曲线在点处的切线方程．
（1）因为，数列的前项和，
当时，，
当且时，.
满足，故对任意的，.
（2）因为，则，所以，，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
16．（2025高二下·江门月考）已知等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值．
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
由题意可得，解得，则，
即数列的通项公式为；
（2）解：由（1）可得，
则，
由，得，解得，
则满足的正整数的值为10．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1） 设数列的公比为，由题意列关于的方程组，求解即可得数列的通项公式；
（2）由（1） ，利用裂项相消法求和，再根据求解即可.
（1）设数列的公比为，则，解得，则，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以．
由，得，解得，
所以满足的正整数的值为10．
17．（2025高二下·江门月考）已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数，
则，
又因为，
则，
解得．
（2）解：因为函数在上是减函数，
所以对恒成立，
所以，
令，
由，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故只需
故的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导，再令，从而求出的值.
（2）由题意可知在上恒成立，利用参变分离结合导数求最值的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围.
（1）已知函数，则，
因为，则，解得．
（2）因为函数在上是减函数，
所以对恒成立，
所以，
令，
则由得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故只需
故的取值范围是．
18．（2025高二下·江门月考）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有．
（1）设，证明：为等差数列；
（2）设，为数列的前项和，为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）证明：因为数列满足：，
且对于任意正整数，均有．
又因为等式两边同时除以，
可得，
因为，则，且，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）解：由（1）可得，
所以，，
则，
，
则，
上述两个等式作差可得：
，
所以，，
因为对任意的恒成立，即，
参变分离可得，
令，则，
所以，
当时，，即，
当且时，，即数列从第二项开始单调递减，
所以，数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由已知等式变形得出，再结合等差数列的定义证出为首项为，公差为的等差数列.
（2）利用等差数列的前n项和公式可得，利用错位相减法可得，由结合参变分离得出，令，再分析数列的单调性，从而确定数列的最大项的值，进而得出实数的取值范围.
（1）数列满足：，且对于任意正整数，均有．
等式两边同时除以可得，
因为，则，且，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，，
，
，
则，
上述两个等式作差可得
，
所以，，
因为对任意的恒成立，即，
参变分离可得，令，则，
，
当时，，即，
当且时，，即数列从第二项开始单调递减，
所以，数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
19．（2025高二下·江门月考）设函数（a为非零常数）
（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）解：因为函数，
求导得：，则，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
则，即，
又因为，则.
（2）解：因为函数的定义域为，
则，
当时，恒有，当且仅当且取等号，
则函数在上单调递增，
当时，由，解得，，
当时，即当时，
当或时，；当时，，
因此函数在，上单调递增，
在上单调递减，
当时，即当时，
当时，；当时，，
因此函数在上单调递减，
在上单调递增，
所以当时，则单调递减区间是，
单调递增区间是；
综上所述：当时，则单调递增区间是，，单调递减区间是；
当时，则单调递增区间是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，由代入法得出切点坐标，根据点斜式得出曲线在点处的切线，再由曲线在点处的切线经过点，从而得出实数a的值.
（2）先求出函数定义域，再利用分类讨论的方法和导数判断函数的单调性的方法，从而讨论出函数的单调性.
（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
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