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(共40张PPT)
第6课时　分式方程及其应用
第一部分　考点基础过关
第二章　方程(组)与不等式(组)
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
分式方程及其解法 题16，6分 题17，7分 题17，7分 题7，3分
分式方程的应用 题19(1)，4分 题8，3分
新课标要求 1.能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 2.能解可化为一元一次方程的分式方程. 3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 课 前 小 测
02
1.下列关于x的方程中，属于分式方程的是(　　)
A. B.－3＝x2
C.－1＝0 D.
2.若关于x的方程无解，则m的值为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.0或2
D
D
3.下列方程中，解为x＝1的是(　　)
A.＝1 B.2－x＝2x－1
C.1－＝0 D.x2＝2
4.分式方程的解是__________.
5.解分式方程：.
解：x＝.
B
x＝2
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫做_______方程.
2.解分式方程：
(1)基本思路：将分式方程转化为整式方程.
(2)基本步骤：
①__________：在方程两边都乘以各分母的_____________，约去分母，将分式方程化为整式方程；
分式方程及其解法
分式
去分母
最小公倍数
②解这个整式方程；
③检验：把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是一个增根，应舍去；
④写出原方程的根.
概括：一化、二解、三检验.
3.增根问题可按如下步骤进行：
(1)通过让最简公分母为__________确定增根；
0
(2)化分式方程为__________方程；
(3)把增根代入__________方程即可求得相关字母的值.
4.分式方程增根与无解的区分：
(1)分式方程的增根与无解并非同一概念；
(2)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使原分式方程分母为0的根；
(3)分式方程无解的原因有两个：
①去分母后的整式方程无解；②整式方程的解使最简公分母
为0.
整式
整式
【跟踪训练】
1.下列关于x的方程：①＝10；②；
③＋1＝x；④，其中是分式方程的有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
2.将关于x的分式方程－2＝去分母后，所得整式方程正确的是(　　)
A.3(2－x)－2(x－2)＝5 B.3－2(x－2)＝－5
C.－3－2(x－2)＝5 D.3－2(x－2)＝5
3.已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为__________.
4.若关于x的方程＝1有增根，则m的值是__________.
B
－1
－
核心笔记
1.分式方程实际应用：
(1)审清题意，并__________；
(2)找出__________，并列出分式方程；
(3)解这个分式方程；
(4)检验根；
(5)写答案.
分式方程的应用
设未知数
等量关系
2.分式方程的应用题与整式方程的应用题类似，不同的是要注意检验(双检)：
(1)检验所求的解是否为所列分式方程的解(增根应舍去)；
(2)检验所求的解是否符合题意.
【跟踪训练】
5.甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件.
解：设乙每小时加工x个这种零件，则甲每小时加工(x＋2)个这种零件，
根据题意得，解得x＝8，经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意.
答：乙每小时加工8个这种零件.
课 堂 精 讲
04
例1　已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为
(　　)
A.3 B.－3
C.－1 D.1
变1　将方程－1＝去分母，两边同乘(x－1)后的式子
为(　　)
A.1－1＝－2x B.x－1－1＝－2x
C.1－(x－1)＝2x D.1－(x－1)＝－2x
解分式方程
B
D
例2　若关于x的分式方程＝2的解是正数，则m的取值范围是_______________.
变2　(2024·上海浦东新区期中)用换元法解方程＝5，设＝y，则得到关于y的整式方程为(　　)
A.2y2－5y－3＝0 B.6y2＋10y－1＝0
C.3y2＋5y－2＝0 D.y2－10y－6＝0
m＞4且m≠6
D
例3　(2024·深圳二模)解方程：＝0.
解：去分母得5(x－1)－(x＋1)＝0，去括号得5x－5－x－1＝0，移项，合并同类项得4x＝6，系数化为1得x＝，检验：将x＝代入x(x＋1)(x－1)中得×≠0，
则原分式方程的解为x＝.
分式方程的解法
变3　(2024·深圳宝安一模)解方程：＋1＝.
解：去分母得16＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)(x＋2)，去括号得16＋x2－4＝x2＋4x＋4，移项，合并同类项得－4x＝－8，系数化为1得x＝2，检验：当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0，∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　解方程：＝5＋.
满分：8分　　　　实得：
解：去分母得3＝5(x－1)－3x，………………2分
去括号得3＝5x－5－3x，………………………3分
移项，合并同类项得－2x＝－8，……………5分
系数化为1得x＝4，……………………………6分
检验：将x＝4代入(x－1)中得4－1＝3≠0，… 7分
则原分式方程的解为x＝4. ……………………8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：10分钟　正确率：　/6】
1.(2024·广东)方程的解为(　　)
A.x＝3 B.x＝－9
C.x＝9 D.x＝－3
C
2.(2023·深圳)某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x
吨，则所列方程正确的是(　　)
A. B.
C. D.
B
3.(2024·深圳二模)方程的解是__________.
4.(2024·广州)解方程：.
解：去分母得x＝6x－15，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x(2x－5)≠0，
故原方程的解为x＝3.
x＝
5.(2022·深圳)某学校打算购买甲、乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.
(1)求甲、乙两种类型笔记本的单价.
解：设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x＋1)元.
由题意得，解得x＝11，
经检验，x＝11是原方程的解，且符合题意.
∴乙类型的笔记本单价为11＋1＝12(元).
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
(2)该学校打算购买甲、乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
解：设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w元，则乙类型笔记本购买了(100－a)件.由题意得100－a≤3a.
∴a≥25.w＝11a＋12(100－a)＝11a＋1 200－12a＝－a＋1 200.
∵－1＜0，∴当a越大时w越小.
∴当a＝100时，w最小，最小值为－1×100＋1 200＝1 100(元).
答：最低费用为1 100元.
6.某服装店老板用4 000元购进了一批甲款T恤，用8 800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元.
(1)购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元
解：设甲款T恤单价为x元，则乙款T恤单价为(x＋5)元，
依题意得2·，解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，∴x＋5＝55.
答：甲款T恤单价为50元，乙款T恤单价为55元.
(2)老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售.经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4 200元.那么这段时间按
标价销售的乙款T恤至少要销售__________件.
40
(二)能力提升
【建议用时：10分钟　正确率：　/5】
1.在分式方程＝5中，设＝y，可得到关于y
的整式方程为(　　)
A.y2＋5y＋5＝0 B.y2－5y＋5＝0
C.y2＋5y＋1＝0 D.y2－5y＋1＝0
D
2.(2024·深圳龙华模拟)根据规划设计，某工程队准备修建一条长1 120米的盲道.由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计
划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为(　　)
A.＝2 B.＝2
C.＝2 D.＝2
A
3.(2024·深圳南山实验模拟)若分式方程＝1－的解为负数，则a的取值范围是(　　)
A.a＜－1且a≠－2
B.a＜0且a≠－2
C.a＜－2且a≠－3
D.a＜－1且a≠－3
D
4.一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流
航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时
间相等，则江水的流速为(　　)
A.5 km/h B.6 km/h
C.7 km/h D.8 km/h
5.某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数
是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天.设原计划每天加工零
件x个，可列方程为________________.
D
＝2
(三)综合应用
【建议用时：5分钟　正确率：　/1】
(2024·深圳宝安模拟)端午节吃粽子，是中国传统习俗.某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元
解：设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是(x＋2)元，
由题意得，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4 600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大 最大利润是多少
解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进(400－m)千克A粽子，
由题意得(10＋2)m＋10(400－m)≤4 600，
解得m≤300，
设总利润为w元，
由题意得w＝(20－12)m＋(16－10)(400－m)＝2m＋2 400，
∵2＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m＝300时，w取得最大值＝2×300＋2 400＝3 000.
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3 000元.
(四)命题新方向
【数学文化】《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”大意是请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，那么6 210文能买多少株椽 (椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题
意的方程是(　　)
A.＝3 B.＝3
C.3(x－1)＝ D.3(x－1)＝
C(共42张PPT)
第7课时　一元二次方程及其应用
第一部分　考点基础过关
第二章　方程(组)与不等式(组)
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
一元二次方程及其解法 题12，3分
一元二次方程根与系数的关系
新课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.
新课标要求
2.掌握等式的基本性质.
3.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
4.会用一元二次方程根的判别式判别，方程是否有实根及两个实根是否相等.
5.了解一元二次方程的根与系数的关系.
6.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
课 前 小 测
02
1.在下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
A.x2－＝x B.x2＋y2＝4
C.－1＝0 D.x(1－2x2)＝5x2
2.一元二次方程5x2－2x＋2＝0的一次项系数是(　　)
A.5 B.－2
C.2 D.0
3.一元二次方程x2－x＋4＝0的根的情况为(　　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
A
B
D
4.方程x2＝3x的解是(　　)
A.x＝3 B.x＝0
C.x1＝3，x2＝0 D.x1＝－3，x2＝0
5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台被感染.设每轮感染中平均每一台电脑会感
染x台其他电脑，由题意列方程应为(　　)
A.1＋2x＝100 B.x(1＋x)＝100
C.(1＋x)2＝100 D.1＋x＋x2＝100
C
C
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.一元二次方程的定义：只含有__________未知数的整式方程，并且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式：___________________(a，b，c是常数，a≠0).
3.常用解法与步骤：
(1)直接开平方法：形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程，由直接开平方可得x＝±或mx＋n＝±；
一元二次方程及其解法
一个
ax2＋bx＋c＝0
(2)配方法：将一元二次方程配成(x＋n)2＝p的形式，再利用直接开平方法求解；
(3)公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)；
(4)因式分解法：适用于容易变形为(x－a)(x－b)＝0形式的一元二次方程.
【跟踪训练】
1.用配方法解方程x2＋8x＋7＝0，则配方正确的是(　　)
A.(x＋4)2＝9 B.(x－4)2＝9
C.(x－8)2＝16 D.(x＋8)2＝57
2.一元二次方程x2－9＝0的根为(　　)
A.3 B.－3
C.3或－3 D.0
A
C
3.用公式法解方程4x2＋12x＋3＝0，得(　　)
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝
4.若2是方程x2－c＝0的一个根，则常数c＝__________，这个
方程的另一个根为__________.
5.解方程：x2－2x－3＝0.
解：原方程可变形为(x＋1)(x－3)＝0，
x＋1＝0，或x－3＝0，
∴x1＝－1，x2＝3.
A
4
－2
核心笔记
一元二次方程根的判别式：Δ＝b2－4ac.
(1)当Δ＞0 原方程有______________的实数根；
(2)当Δ＝0 原方程有__________的实数根；
(3)当Δ＜0 原方程__________实数根.
反之也成立.
特别提醒：Δ≥0 方程有实数根.
一元二次方程的根的判别式
两个不相等
两个相等
没有
【跟踪训练】
6.方程x2－3x－1＝0的根的情况是(　　)
A.没有实数根 B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
7.关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是(　　)
A.k＞－1 B.k≥－1
C.k≤1 D.k＜1
D
A
核心笔记
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
一元二次方程的根与系数的关系
【跟踪训练】
8.已知x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两根，则x1＋x2＋2x1x2的值为(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
D
核心笔记
1.列一元二次方程解应用题的“六字诀”
(1)__________：理解题意，明确未知量、已知量及它们之间的数量关系；
(2)__________：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
一元二次方程的实际应用
审
设
(3)_______：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程；
(4)_______：准确求出方程的解；
(5)_______：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题；
(6)_______：写出答案.
2.主要题型
(1)增长(下降)率问题：
设a为变化前的量，n为变化次数，b为变化后的量.
当x为平均增长率时，则a(1＋x)n＝b；当x为平均下降率时，则a(1－x)n＝b.
列
解
验
答
(2)销售利润问题：
利润＝售价－进价；总利润＝单件利润×销售量.
(3)循环问题：
①握手、单循环赛总次数：(n为人数或参赛队数)；
②互送礼物总份数：n(n－1)(n为人数).
(4)面积问题：
如图1，设阴影部分的宽为x，
则S空白＝_________________；
(a－2x)(b－2x)
如图2、图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝_____________.
(a－x)(b－x)
【跟踪训练】
9.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降
价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　　)
A.20% B.22%
C.25% D.28%
10.一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有(　　)
A.9人 B.10人
C.12人 D.15人
C
B
课 堂 精 讲
04
例1　若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋3＝0(a≠0)的一个根是x＝1，则代数式2021－a－b的值为__________.
变1　已知关于x的方程(m＋3)x2＋x＋m2＋2m－3＝0的一个根为0，另一个根不为0，则m的值为__________.
一元二次方程的根
2 024
1
常考题型：(1)利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；(2)利用根的判别式求字母的值或取值范围.
一元二次方程的根的判别式
例2　若关于x的方程2x2＋4x＋c＝0没有实数根，则c的值可能为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
变2　等腰三角形三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一
元二次方程x2－12x＋k＋2＝0的两根，则k的值为(　　)
A.30 B.34或30
C.36或30 D.34
D
D
例3　解一元二次方程：x2－6x＋2＝0.
解：移项得x2－6x＝－2，
配方得x2－6x＋32＝－2＋32，
(x－3)2＝7，
两边开平方得x－3＝±，
∴x1＝3＋，x2＝3－.
一元二次方程及其解法
变3　下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
2x2＋4x－8＝0.
解：二次系数化为1，得x2＋2x－4＝0，……第一步
移项，得x2＋2x＝4，……第二步
配方，得x2＋2x＋4＝4＋4，即(x＋2)2＝8，……第三步
由此，可得x＋2＝±2，……第四步
所以，x1＝－2＋2，x2＝－2－2.……第五步
(1)小明的解题过程中，从第__________步开始出现错误.
(2)请给出正确的解题过程.
解：二次项系数化为1，得x2＋2x－4＝0，
称项，得x2＋2x＝4，
配方，得x2＋2x＋1＝4＋1，即(x＋1)2＝5，由此，可得x＋1＝±，
所以x1＝－1＋，x2＝－1－.
三
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　解方程：x2－3x＋2＝0.
满分：5分　　　　实得：
解：原方程可变形为(x－1)(x－2)＝0，…………2分
x－1＝0，或x－2＝0，……………………………4分
∴x1＝1，x2＝2. ……………………………………5分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：8分钟　正确率：　/6】
1.(2024·深圳模拟)据报道，2020年至2022年深圳市居民年人
均可支配收入由6.49万元增长至7.27万元，设这两年人均可支
配收入的年平均增长率为x，可列方程为(　　)
A.6.49(1＋x)2＝7.27 B.6.49(1＋2x)＝7.27
C.6.49(1＋x2)＝7.27 D.7.27(1－x)2＝6.49
A
2.(2024·深圳宝安模拟)某品牌新能源汽车2021年的销售量为25万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了39万辆.如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为x，那么可列出的方程是(　　)
A.25(1＋2x)＝39 B.25(1＋2x)－25＝39
C.25(1＋x)2＝39 D.25(1＋x)2－25＝39
3.若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝__________.
4.方程x2－4x＝0的实数解是___________________.
D
1
x1＝0，x2＝4
5.(2024·广州)关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不等的实数根.求m的取值范围.
解：根据题意得Δ＝(－2)2－4(4－m)＞0，解得m＞3.
6.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.
(1)y与x的函数关系式为___________________________.
y＝－2x＋80(20≤x≤28)
(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元
解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，销售量y本，根据题意得(x－20)y＝150，则(x－20)(－2x＋80)＝150，
整理得x2－60x＋875＝0，(x－25)(x－35)＝0，解得x1＝25，x2＝35，
∵20≤x≤28，∴x2＝35(不合题意舍去).
答：每本纪念册的销售单价是25元.
(二)能力提升
【建议用时：8分钟　正确率：　/4】
1.(2024·深圳福田模拟)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1
＝0有两个实数根，则－()2的化简结果是(　　)
A.－1 B.1
C.－1－2k D.2k－3
A
2.直线y＝x＋a不经过第二象限，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0实数解的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.1或2
3.(2024·深圳龙岗一模)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，则m的值不可能是(　　)
A.2 B.1
C.－1 D.－2
D
A
4.(2024·深圳模拟)某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本.为了吸引消费者，商家决定采取降价措施.经试销统计发现，画册售价每降低1元时，平均每天能多售出10本.设这种画册每本降价x元.
(1)平均每天的销售量为_______________本.(用含x的代数式表示)
(10x＋100)
(2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2 240元，且要求每本售价不低于55元，每本画册应降价多少元
解：根据题意，得(60－40－x)(10x＋100)＝2 240，
解得x1＝4，x2＝6，
因为60－6＝54＜55，
所以x2＝6(不符合题意，舍去)，
答：每本画册应降价4元.
(三)综合应用
【建议用时：5分钟　正确率：　/1】　　　　
【易错题】上数学课时，张老师在讲完因式分解(a±b)2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值.同学们经过交流、讨论，最后得出如下解答方法：
解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2)2＋1，
∵(x＋2)2≥0，
∴当x＝－2时，(x＋2)2的值最小，最小值是0，
∴(x＋2)2＋1≥1，
∴当(x＋2)2＝0时，(x＋2)2＋1的值最小，最小值是1，
∴x2＋4x＋5的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题.
(1)知识再现：当x＝__________时，代数式x2－6x＋10的最小值是__________.
(2)知识运用：若y＝－x2＋2x－5，当x＝__________时，y有最__________值(填“大”或“小”)，这个值是__________.
3
1
1
大
－4
(3)知识拓展：若－x2＋3x＋y＋8＝0，求x＋y的最小值.
解：∵－x2＋3x＋y＋8＝0，
∴y＝x2－3x－8，
∴x＋y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，
∵(x－1)2≥0，
∴(x－1)2－9≥－9，即x＋y≥－9.
∴当x＝1时，x＋y取最小值为－9.
(四)命题新方向
【教材拓展】我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，
即不存在一个实数的平方等于－1.如果我们规定一个新数“i”，
使它满足i2＝－1(x2＝－1有一个根为i)，并且进一步规定：一
切实数都可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和
运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝－i，i4
＝(i2)2＝1，…，那么i2 025＝__________.
i(共52张PPT)
第5课时　一次方程(组)及其应用
第一部分　考点基础过关
第二章　方程(组)与不等式(组)
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
一次方程(组) 及其解法 题7，3分 题9，3分
一次方程(组) 的应用 题7，3分 题9，3分 题19(1)，4分 题17，4分
新课标要求
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.
2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程.
3.掌握消元法，能解二元一次方程组.
4.*能解简单的三元一次方程组.
课 前 小 测
02
1.下列方程组中，解为的是(　　)
A. B.
C. D.
2.如果m＝n，那么下列等式一定成立的是(　　)
A.m－3＝n＋3 B.3m＋2＝3n＋2
C.5m＝－5n D.
B
B
3.某学校今年艺术单项比赛共有a人参加，比赛的人数比去年
增加20%还多3人，则去年参加比赛的人数为(　　)
A.
B.
C.(1＋20%)a－3
D.(1＋20%)a＋3
A
4.为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗.其中男生每人种3棵，
女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人.根据题意，所列
方程组正确的是(　　)
A. B.
C. D.
B
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍______.即如果a＝b，那么a±c＝__________.
2.性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即
(1)如果a＝b，那么ac＝__________；
(2)如果a＝b，c≠0，那么.
特别提醒：等式两边不可以除以0，0作分母无意义.
等式的基本性质
相等
b±c
bc
【跟踪训练】
1.下列等式的基本性质运用错误的是(　　)
A.如果，那么a＝b
B.若－a＝－b，则2－a＝2－b
C.若ac＝bc，则a＝b
D.若(m2＋1)a＝(m2＋1)b，则a＝b
2.若5x＝2，则x的值为(　　)
A. B.
C.5 D.－
C
A
核心笔记
1.定义：在一个方程中，只含有__________未知数(元)，并且未知数的次数都是________，这样的方程叫做一元一次方程.
2.一般形式：ax＋b＝0(a≠0).
3.解法步骤：
(1)去分母：方程中未知数系数有分母时，给方程两边都乘以各分母的_____________.
特别提醒：不要漏乘不含分母的项.
一元一次方程及其解法
一个
1
最小公倍数
(2)去括号：若方程中有括号时，先去括号.
特别提醒：括号前是负号时，去括号后括号内各项均要__________.
(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边.
特别提醒：移项要变号.
(4)合并同类项：把方程化成ax＝－b(a≠0)的形式.
(5)系数化为1：方程两边都除以未知数的__________，得到方程的解是x＝－.
变号
系数
【跟踪训练】
3.下列各式是一元一次方程的是(　　)
A.2x＝5＋3y B.y2＝y＋4
C.3x＋2＝1－x D.x＋＝2
4.若关于x的方程(m－1)x|m|－2＝0是一元一次方程，则m＝__________.
C
－1
5.解关于x的一元一次方程：－1＝.
解：去分母得3(4x－3)－15＝5(2x－2)，
去括号得12x－9－15＝10x－10，
移项得12x－10x＝24－10，
合并同类项得2x＝14，
方程两边同除以2得x＝7.
核心笔记
1.含有__________未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
2.把具有__________________的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
3.使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组的两个方程的__________，叫做二元一次方程组的解.
二元一次方程(组)及其解法
两个
两个相同未知数
公共解
4.解二元一次方程组的基本方法：
(1)代入消元法；
(2)加减消元法.
【跟踪训练】
6.下列四组数中，不是二元一次方程2x＋y＝4的解的是(　　)
A. B.
C. D.
D
7.已知二元一次方程2x＋y＝2，用含x的代数式表示y，正确的是(　　)
A.x＝ B.x＝
C.y＝2－2x D.y＝2＋2x
8.已知关于x，y的二元一次方程组则x＋y＝__________.
C
1
9.解二元一次方程组：
解：
①×2得2x－2y＝2…③，
②＋③得5x＝10，解得x＝2，
把x＝2代入①中得2－y＝1，解得y＝1，
∴原方程组的解为
核心笔记
1.列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审题；(2)__________；(3)__________；(4)__________；
(5)检验；(6)作答.
2.解应用题常见的类型
(1)工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间；
(2)行程问题：路程＝速度×时间；
二元一次方程组的应用
设未知数
列方程
解方程
相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
追及问题：
①同地异时：前者走的路程＝追者走的路程
②异地同时：前者走的路程＋两地间的路程＝追者走的路程
(3)流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水；
(4)打折销售问题：
①售价＝标价×折扣；②销售额＝售价×销量；③利润＝售价－进价；④利润率＝×100%.
【跟踪训练】
10.如图，由七个完全一样的小长方形组成大
长方形ABCD，CD＝7，大长方形ABCD的周
长为__________.
11.已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为20 km/h，下坡时速度为35 km/h，车从甲地开往乙地需9 h，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5 h，求甲、乙两地间的公路长.
解：甲、乙两地间的公路长210 km.
34
课 堂 精 讲
04
例1　下列方程的变形中，错误的是(　　)
A.由7x＝6x－1，得7x－6x＝1
B.由－x＝9，得x＝－27
C.由5x＝10，得x＝2
D.由3x＝6－x，得3x＋x＝6
等式的基本性质
A
变1　下列运用等式的基本性质进行变形正确的有(　　)
①如果x－c＝y－c，那么x＝y；②如果x＋c＝y＋c，那么x＝y；③如果x＝y，那么；④如果x＝y，那么.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
常考题型：(1)解一元一次方程；(2)解二元一次方程组.
例2　方程2－，去分母后变成(　　)
A.12－2(2x－4)＝x B.12－2x－4＝x
C.2－2(2x－4)＝x D.2－2x－4＝x
一次方程(组)及其解法
A
变2　如果方程组的解与方程组的解
相同，则a，b的值是(　　)
A. B.
C. D.
A
例3　解方程组时，下列消元方法错误的是
(　　)
A.①×3－②×2，消去a
B.由②得b＝4－3a③，把③代入①中消去b
C.①＋②×2，消去b
D.由②×2－①，消去b
C
变3　关于x，y的方程组的解也是方程3x＋2y
＝17的解，则m的值为(　　)
A.3 B.1
C.－1 D.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　已知方程组①－②，得(　　)
A.3y＝6 B.y＝6
C.2x＝6 D.3y＝12
B
A
变4　解一元一次方程：－2.
解：去分母得2(2x－1)＝2x＋1－2×6，
去括号得4x－2＝2x＋1－12，
移项得4x－2x＝1－12＋2，
合并同类项得2x＝－9，
系数化为1得x＝－.
例5　已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售.若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元；若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元.甲、乙两种商品的定价分别为多少
解：设甲种商品的定价为x元，则乙种商品的定价为y元，
根据题意得
解得
答：甲、乙两种商品的定价分别为150元、50元.
二元一次方程组的应用
变5　解方程组：
解：
①＋②得3x＝9，∴x＝3，
把x＝3代入①得y＝4，
∴这个方程组的解是
变6　用二元一次方程组解决问题：
A、B两地相距12 km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶.已知10分钟后两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍.求甲、乙二人的骑行速度.
解：设甲的骑行速度为x km/h，乙的骑行速度为y km/h，
依题意得
解得
答：甲的骑行速度为24 km/h，乙的骑行速度为48 km/h.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　某商场用25 000元购进全运会吉祥物的摆件和挂件，售完后共获利11 700元.其中摆件每件进价40元，售价58元；挂件每件进价30元，售价45元.请分别求出该商场购进摆件和挂件的数量.(用二元一次方程组解决问题)
满分：6分　　　　实得：
解：设该商场购进摆件x件，挂件y件. …………………1分
根据题意，列方程组……………………3分
解得……………………………………………5分
答：该商场购进摆件400件，挂件300件. ………………6分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：10分钟　正确率：　/6】
1.(2022·深圳)张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草.他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数.设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正
确的是(　　)
A. B.
C. D.
C
2.(2024·深圳)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，
那么就空出一间房.设该店有客房x间，房客y人，则可列方程
组为(　　)
A. B.
C. D.
A
3.(2024·深圳龙华模拟)二元一次方程组的解
为_______________

4.(2023·深圳)某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
(1)求A，B玩具的单价.
解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为(x＋25)元，
由题意得2(x＋25)＋x＝200，解得x＝50，
则B玩具单价为x＋25＝75(元).
答：A，B玩具的单价分别为50元，75元；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20 000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具
解：设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个，
由题意可得50y＋75×2y≤20 000，解得y≤100，
∴最多购置100个A玩具.
5.(2024·深圳模拟)已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值.
解：由题意得，关于x，y的方程组与的相同解，就是方程组的解，解得
代入原方程组得解得a＝－4，b＝12.
6.解方程组：
解：将①代入②得，x＋(x－4)＝6，解得x＝5，
将x＝5代入①得，y＝1，
∴方程组的解为
(二)能力提升
【建议用时：10分钟　正确率：　/7】
1.若方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋3＝0是一元一次方程，则k的值
是(　　)
A.±1 B.－1
C.1 D.以上都不对
C
2.一批学生夏令营住某校学生宿舍楼，如果一间房住6人，那
么有6人无房可住；如果一间房住8人，那么就空出一间房.若
设该校学生宿舍楼有房x间，则列出关于x的一元一次方程正确的是(　　)
A.6x－6＝8(x－1) B.6x＋6＝8x－1
C.6x＋6＝8(x－1) D.6x－6＝8x－1
C
3.关于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解为x＝1，则a＋m的值为(　　)
A.9 B.8
C.5 D.4
4.点Q的横坐标为一元一次方程3x＋7＝32－2x的解，纵坐标为a＋b的值，其中a，b满足二元一次方程组则点Q关于y轴的对称点Q'的坐标为________________.
C
(－5，－4)
5.关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＞2，写出a的一个整数值：_________________.
6.若＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2 025的值为__________.
6(答案不唯一)
－1
7.工业园区某服装厂加工A，B两款款式的学生服共100件，加工A款学生服的成本为每件80元，加工B款学生服的成本为每件100元，加工两款学生服的成本共用去9 200元.
(1)A，B两款学生服各加工多少件
解：设A款学生服加工x件，B款学生服加工(100－x)件，根据题意可得
80x＋100(100－x)＝9 200，解得x＝40，则100－x＝60件.
答：A款学生服加工40件，B款学生服加工60件；
(2)服装厂将这批学生服送到市场部销售，A款学生服的售价为200元，B款学生服的售价为220元，在销售过程中发现A款学生服的销量不好，A款学生服卖出一定数量后，服装厂决定余下的部分按原价的八折出售，两款学生服全部卖出后，共获利10 520元，则A款学生服卖出多少件后打折销售
解：设A款学生服卖出a件时开始打八折销售，根据题意可得
a·(200－80)＋(220－100)×60＋(40－a)·(200×80%－80)＝10 520，
整理得40a＝120，解得a＝3.
答：A款学生服卖出3件时开始打八折销售.
(三)综合应用
【建议用时：5分钟　正确率：　/1】
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何 ”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚.问兽、鸟各有多少
设兽有x头，鸟有y只，可列方程组为____________________

(四)命题新方向
【教材拓展】定义F(x，y)＝，如F(3，2)＝.若
F(2，3)＝1，F(3，1)＝，且关于x的方程F(x，k)＋F(x＋1，2x)＝2无解，则实数k的值为__________.
2或4(共48张PPT)
第8课时　一元一次不等式(组)及其应用
第一部分　考点基础过关
第二章　方程(组)与不等式(组)
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
一元一次不等式
一元一次不等式组 题3，3分 题6，3分 题15，6分
一元一次不等式的应用 题19(2)， 4分 题19(2)， 4分 题17(3)， 3分 题17，4分
新课标要求
1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质.
2.掌握数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
3.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
课 前 小 测
02
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)
A.x2＋3＞x B.－3＞0
C.2x－3＞2y D.3a＞－3
2.在平面直角坐标系中，P(m，4)在第二象限，则m的取值范围为(　　)
A.m＞0 B.m＜0
C.m≤0 D.m≥0
D
B
3.活动课上，老师将43个苹果分给各小组，每组8个，还有剩
余；每组9个，却又不够，则活动小组有(　　)
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
A
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.概念：用不等号(＞，＜，≥，≤，≠)连接而成的式子叫做不等式.
2.不等式的基本性质：
(1)性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整
式，不等号的方向__________.
若a＞b，则a±c__________b±c.
不等式的有关概念与性质
不变
＞
(2)性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的
方向__________.
若a＞b，c＞0，则ac__________bc，_________ .
(3)性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的
方向__________.
若a＞b，c＜0，则ac__________bc，_________ .
特别提醒：不等式具有传递性.
不变
＞
＞
改变
＜
＜
【跟踪训练】
1.已知a＜b，下列式子不一定成立的是(　　)
A.a－1＜b－1 B.－2a＞－2b
C.2a＋1＜2b＋1 D.ma＞mb
2.关于x的一元一次不等式x＜m的所有解都是2x＋1≤5的解，
那么m的取值范围是(　　)
A.m＜2 B.m≤2
C.m＞3 D.m≥3
D
B
核心笔记
1.概念：只含有__________未知数，并且未知数的最高次数是__________的不等式，叫做一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的步骤：__________、__________、__________、_____________、_____________.
特别提醒：不等式的两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向一定要改变.
一元一次不等式
一个
1
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化成1
3.一元一次不等式的解集在数轴上的表示：
(1)大于向右画，小于向左画；(2)有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈.
【跟踪训练】
3.一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式的解集为(　　)
A.x＜2 B.x≤2
C.x＞2 D.x≥2
A
4.不等式2x－2≥0的解集在数轴上表示正确的选项是(　　)
B
A B
C D
5.解不等式：－1＞0.
解：去分母得x－1－3＞0，
移项得x＞4.
核心笔记
1.概念：几个含有同一个未知数的_________________合在一起就组成了一元一次不等式组.
一般地，两个不等式的解集的__________，叫做由它们组成的不等式组的解集.
2.解一元一次不等式组的步骤：
(1)分别求出不等式组中______________的解集；
(2)找出它们的公共部分，就得到不等式组的解集.
一元一次不等式组
一元一次不等式
公共部分
每个不等式
【跟踪训练】
6.不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是
(　　)
A B
C D
C
7.一元一次不等式组的解集为(　　)
A.x＜2
B.x≥1
C.x＞1
D.1≤x＜2
D
核心笔记
解应用题常见词语及符号的对应关系：
(1)一般题目中含有“超过”“超出”“大于”用“＞”表示；
(2)“低于”“小于”用“＜”表示；
(3)“不大于”“至多”“最多”“不超过”用“≤”表示；
(4)“至少”“不低于”“不小于”用“≥”表示.
一元一次不等式(组)的应用
【跟踪训练】
8.某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该
商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，
则至多可打__________折.
9.有两条纸带，较长的一条为23 cm，较短的一条为15 cm.把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是(　　)
A.6 cm B.7 cm
C.8 cm D.9 cm
7
B
课 堂 精 讲
04
例1　下列说法正确的是(　　)
A.若a＞b，则－a＞－b
B.若a＞b，则a－2＜b－2
C.若a＞b，且c≠0，则ac＞bc
D.若ac2＞bc2，则a＞b
不等式的性质
D
变1　如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A，B对应的实数分别是a，b，下列结论一定成立的是(　　)
A.a＋b＜0
B.b－a＜0
C.2a＞2b
D.a＋2＜b＋2
D
常考题型：(1)求一元一次不等式的解集；(2)用一元一次不等式解决实际问题.
例2　若关于x的不等式mx－3＞0的解集为x＜－3，则m的值是
(　　)
A.m＝－1 B.m＜0
C.m＝1 D.m＞0
一元一次不等式
A
变2　若关于x的不等式3x－m＜4有且只有2个正整数解，则m
的取值范围是(　　)
A.0＜m≤2 B.0≤m＜2
C.2＜m≤5 D.2≤m＜5
例3　某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内(含18分钟)到达，已知他每分钟走90米.若跑步每分钟可跑210米，则这人完成这段路程，至少要跑多少分钟 设要跑x分钟，则列出的
不等式为(　　)
A.210x＋90(18－x)＞2.1 B.90x＋210(18－x)≤2 100
C.210x＋90(18－x)≥2.1 D.210x＋90(18－x)≥2 100
C
D
变3　规定max{m，n}(m≠n)表示m，n中较大的数，若
max＝2，则x的取值范围是(　　)
A.x≤17
B.x＜17
C.x＞23
D.x＜23
B
例4　不等式组的解集是(　　)
A.1≤x＜2
B.x≤1
C.x＞2
D.1＜x≤2
一元一次不等式组
A
变4　解不等式组：并写出它的所有整
数解.
解：解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x＜3，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，原不等式组的解集是－1＜x＜3，∴整数解为0，1，2.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　解一元一次不等式组：
满分：8分　　　　实得：
解：
解不等式①，得x＞－1，……………………3分
解不等式②，得x＞－，……………………6分
所以原不等式组的解集为x＞－1. …………8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：8分钟　正确率：　/6】
1.(2021·深圳)不等式x＋1＞2的解集在数轴上表示为(　　)
A B
C D
D
2.(2022·深圳)一元一次不等式组的解集为(　　)
D
A B
C D
3.(2024·深圳一模)某商品进价4元，标价5元出售，商家准备
打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打_________
折.
4.(2024·广东)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是__________.
8.8
x≥3
5.(2024·深圳龙岗模拟)解不等式组：
解：
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤2.
6.某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元.
(1)若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元
解：设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，
则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是(x＋0.5)元，
依题意得，
解得x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意.
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米
解：A，B两地间的路程为26÷0.26＝100(千米).
设用电行驶m千米，则用油行驶(100－m)千米，
依题意得0.26m＋(0.26＋0.5)(100－m)≤39，解得m≥74.
答：至少需用电行驶74千米.
(二)能力提升
【建议用时：10分钟 　正确率：　/5】
1.(2024·安徽)已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，
则下列判断正确的是(　　)
A.－＜a＜0 B.＜b＜1
C.－2＜2a＋4b＜1 D.－1＜4a＋2b＜0
C
2.若某不等式组的解集为1＜x≤4，则该解集在数轴上表示正
确的是(　　)
A
A B
C D
3.(2024·内蒙古)对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a＋3b，
如5※2＝5＋3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一
个正整数解时，m的取值范围是_______________.
0≤m≤
4.(2024·武汉)求不等式组的整数解.
解：解不等式①得，x＞－2，解不等式②得，x≤1，
故此不等式组的解集为－2＜x≤1，故不等式组的整数解为－1，0，1.
5.(2024·深圳模拟)2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售.B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元.
(1)A，B两种吉祥物每个售价各是多少
解：设A种吉祥物每个售价是a元，则B种吉祥物每个售价是(a＋2)元.根据题意，得20a＋30(a＋2)＝360，解得a＝6，6＋2＝8(元)，∴A种吉祥物每个售价是6元，B种吉祥物每个售价是8元；
(2)某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为
新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案：
方案一：每个均按原售价的8折优惠；
方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价
的5折优惠.
爱心团队选择哪种方案购买更合算
解：设购买数量为x个，按方案一购买需要y1元，按方案二购
买需要y2元.根据题意，y1＝0.8×6x＝4.8x，y2＝6×30＋0.5×
6(x－30)＝3x＋90.
y1－y2＝4.8x－(3x＋90)＝1.8x－90，∵x＞50，∴1.8x－90＞0，
∴y1＞y2，
∴爱心团队选择方案二购买更合算；
(3)若购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少 最少花费是多少
解：设购买A种吉祥物m个，则购买B种吉祥物(60－m)个.
根据题意，得m≤3(60－m)，解得m≤45.
设购买A，B两种龙年吉祥物共花费W元，则W＝6m＋8(60－m)＝－2m＋480，
∵－2＜0，∴W随m的增大而减小，
∵m≤45，∴当m＝45时，W取最小值，W最小＝－2×45＋480＝390，
∴购买45个A种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元.
(三)综合应用
【建议用时：8分钟　正确率：　/1】
【创新题】阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数.如M{－1，2，3}＝；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a}＝解决下列问题：
(1)min ＝_________，若min{2，2x＋2，4－2x}＝2，则x的范围为____________.
(2)①如果M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，求x；
解：依题意，M{2，x＋1，2x}＝＝x＋1，
∴x＋1＝min{2，x＋1，2x}，即x＋1是2、x＋1、2x中最小的一个，
∴∴x＝1；

0≤x≤1
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么____________(填a，b，c的大小关系)”，证明你发现的
结论；
证明：∵M{a，b，c}＝min{a，b，c}，∴不妨设＝a，∴b＋c＝2a，
∴整理得解得c≤b，b≤c，
∴b＝c，将b＝c代入b＋c＝2a得c＝a，∴a＝b＝c.
a＝b＝c
③运用②的结论，填空：
若M{2x＋y＋2，x＋2y，2x－y}＝min{2x＋y＋2，x＋2y，2x－y}，则x＋y＝__________.
－4
(四)命题新方向
【数学文化】高斯是德国著名数学家，被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.用其名字命名的“高斯函数”：函数y＝[x]，也称为取整函数，即[x]表示不大于x的最大整数，如[－2.5]＝－3，[3.14]＝3.根据这个定义：
(1)[－＋1]＝__________.
(2)若＝2 022，则x的取值范围是________________.
－2
4 043≤x＜4 045

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