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(共50张PPT)
第25课时　点、直线与圆的位置关系
第一部分　考点基础过关
第六章　圆
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
切线的判定 与性质 题21(2)， 3分 题21(1)， 4分 题18(1)， 4分 题18(2)，
4分
新课标要求
1.探索并掌握点与圆的位置关系.
2.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念.
3.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形.
4.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.
5.*探索并证明切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.
课 前 小 测
02
1.已知☉O的直径为9，OP＝5，则点P与☉O的位置关系是
(　　)
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.不能确定
2.已知☉O的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与☉O
的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
C
C
3.如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为__________.
50
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.点与圆的位置关系有3种：设☉O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
①d＜r 点P在☉O内；②d＝r 点P在☉O上；③d＞r 点P在☉O外.
点、直线与圆的位置关系
2.直线与圆的位置关系有3种：设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
特别提醒：r与d的大小关系决定点(或直线)与圆的位置关系.
直线与圆 交点个数 r与d的关系
相离 0 d＞r
相切 1 d＝r
相交 2 d＜r
【跟踪训练】
1.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，以点C为
圆心，BC长为半径作圆.下列结论正确的是(　　)
A.点A在圆内 B.点A在圆上
C.点A在圆外 D.点A和圆的位置关系不确定
C
核心笔记
1.切线的定义：直线与圆只有__________公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线.
2.切线的判定：
(1)与圆心的距离__________圆的半径的直线是圆的切线.
(2)经过半径的外端并且__________于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定与性质
一个
等于
垂直
3.切线的性质：(1)切线与圆有_________公共点.(2)切线与圆心的距离________半径的长.(3)切线垂直于__________的半径.
4.切线长定理：从圆外一点引圆的__________，它们的切线长_________，这一点和圆心的连线_________两条切线的夹角.
特别提醒：不知道直线与圆是否有公共点时用到的方法，简称“作垂直，证半径”；知道直线与圆有公共点时用到的方法，简称“连半径，证垂直”.
唯一
等于
过切点
两条切线
相等
平分
【跟踪训练】
2.如图，已知PA与☉O相切于点A，∠P＝22°，则∠POA＝
(　　)
A.55°
B.58°
C.68°
D.88°
C
3.如图，点P为☉O外一点，PA为☉O的切线，A为切点，PO交☉O于点B，∠P＝30°，OB＝4，则线段AP的长为(　　)
A.4
B.8
C.8
D.4
D
核心笔记
1.内切圆
(1)定义：与三角形各边都相切的圆叫做_________.内切圆的圆心是三角形三条__________的交点，这个交点叫做三角形的__________.
(2)性质：三角形的内心到三角形三边的__________.
三角形与圆
内切圆
角平分线
内心
距离相等
2.外接圆
(1)定义：经过三角形的_________可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形的_________________
_____的交点，这个交点叫做三角形的外心.
(2)性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的__________.
特别提醒：内心到三角形三边的距离相等；外心到三角形的三个顶点的距离相等.
三个顶点
三条边的垂直平
分线
距离相等
【跟踪训练】
4.如图，☉O的半径为1，△ABC内接于☉O，若∠A＝60°，
∠B＝75°，则AB的长为(　　)
A.2
B.
C.
D.2
B
5.如图，等边三角形内接于大☉O，小☉O是等边三角形的内
切圆，随意向大☉O内部区域抛一个小球，则小球落在小☉O
内部(阴影)区域的概率为(　　)
A. B.
C. D.
B
课 堂 精 讲
04
例1　如图，☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥
AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则
点P与☉O的位置关系是(　　)
A.点P在☉O上
B.点P在☉O内
C.点P在☉O外
D.无法确定
点、直线与圆的位置关系
C
变1　(2023·泸州统考一模)在平面直角坐标系xOy中，以点
(－3，4)为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是(　　)
A.相交
B.相离
C.相切
D.无法判断
C
常考题型：(1)利用三角形内切圆求角或线段长；(2)利用三角形外接圆求面积.
例2　如图，☉O是△ABC的内切圆，点D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝__________.
三角形与圆
110°
变2　如图，☉O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，
OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是_______.
π
例3　(2024·广州一模)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，☉O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD，则
∠ACD＝(　　)
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
切线的判定与性质
C
变3　(2024·广州模拟)如图，AC是☉O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是
(　　)
A.3
B.2
C.
D.6
C
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准
示范题　如图，AB是☉O的直径，点C是☉O上的一点(点C不与点A，B重合)，连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC＝AD，BE交CD的延长线于点E，且BE＝BC.
求证：BE是☉O的切线.
答题模板与评分标准
满分：4分　　　　实得：
证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，……………………1分
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠BDE，∴∠ACD＝∠BDE，
∵BE＝BC，∴∠BCD＝∠E，………………2分
∴∠BDE＋∠E＝90°，∴∠DBE＝180°－(∠BDE＋∠E)＝90°，
即OB⊥BE. ……………………………………3分
∵AB为☉O的直径，∴BE是☉O的切线. ……4分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】
1.如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40 m，YZ＝30 m，XZ＝50 m.若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26 m，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是(　　)
A.X，Y，Z B.X，Z
C.Y，Z D.Y
A
2.(2024·深圳盐田一模)如图所示，一圆弧过方格图的格点A，
B，C，试在方格图中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为
(－2，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是(　　)
A.(－1，2)
B.(1，－1)
C.(－1，1)
D.(2，1)
C
3.如图，已知△ABC，点D在边AB上，以BD为直径的☉O与边AC相切于点C，若AC＝4，AD＝2，则线段BC的长为_______.

4.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径
的长为__________.
2－2
5.如图，PA，PB，DE分别切☉O于点A，B，C，DE分别交
PA，PB于点D，E，已知点P到☉O的切线长为8 cm，那么
△PDE的周长为__________cm.
16
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/4】
1.如图，半径r＝2的☉M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，
当☉M与直线y＝x＋2相切时，圆心M的坐标为(　　)
A.(0，0)
B.(2，0)
C.(2，0)或(－6，0)
D.(－6，0)
C
2.如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，☉O的半径为2，当☉O与PB相切时，OP的长度为(　　)
A.3
B.4
C.2
D.2
B
3.(2022·深圳)如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为☉O切线，C为切点，CA＝CD，则
△ABC和△CDE的面积之比为(　　)
A.1∶3
B.1∶2
C.∶2
D.(－1)∶1
B
4.(2023·深圳)如图，在单位长度为1的正方形网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA长为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4(点C在A的上方)；
②连接OC，交☉O于点D；
③连接BD，与AC交于点E.
(1)求证：BD为☉O的切线.
解：作图如答图所示.
证明：如答图所示，∵AC是☉O的
切线，∴OA⊥AC，
∵OA＝3，AC＝4，
∴OC＝＝5，
∵OA＝3，AB＝2，∴OB＝OA＋
AB＝5，∴OB＝OC，
又∵OD＝OA＝3，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB(SAS)，
∴∠OAC＝∠ODB＝90°，∴OD⊥BD，
∵点D在☉O上，∴BD为☉O的切线；
(2)求AE的长度.
解：∵△AOC≌△DOB，∴BD＝AC＝4，
∵∠ABE＝∠DBO，∠BAE＝∠BDO，∴△BAE∽△BDO，∴，即，∴解得AE＝.
(三)综合应用
【建议用时：20分钟　正确率：　/2】
1.(2024·广东模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E，F分别在线段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF.求证：
(1)CF⊥FB.
证明：∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，∴AB∥EF，∴∠EFB＝∠ABF＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE＋∠DFE＝180°，∴2∠BFE＋2∠EFC＝180°，∴∠BFE＋∠EFC＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BF；
(2)以AD为直径的圆与BC相切.
证明：如答图，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于点H，则点O为以AD为直径的圆的圆心，∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，∵AB∥CD，∴OH∥AB∥CD，∵AB∥CD，AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形，
∴点H是BC的中点，即OH是梯形ABCD的中位
线，∴OH＝(AB＋CD)，
∵AB＝AF，CD＝DF，∴OH＝(AF＋DF)
＝AD＝OA＝OD，∴点H在☉O上，
∵OH⊥BC，OH为☉O的半径，∴以AD为直径的圆与BC相切.
2.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是☉O的直径，CO平分∠BCD.
(1)求证：直线CD与☉O相切.
证明：如答图1，过点O作OE⊥CD于点E，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝90°，即OB⊥BC.
∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD，
∴OB＝OE.
∵AB是☉O的直径，∴OE是☉O的半径，
∴直线CD与☉O相切；
(2)如图2，记(1)中的切点为点E，点P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2，求tan∠APE的值.
解：如答图2，连接OD，OE，
∵由(1)得，直线CD，AD，BC与☉O相切，
∴由切线长定理可得AD＝DE＝1，BC＝CE＝2，
∠ADO＝∠EDO，∠BCO＝∠ECO，
∴∠AOD＝∠EOD，CD＝3，
∵，∴∠APE＝∠AOE＝∠AOD.
∵AD∥BC，∴∠ADE＋∠BCE＝180°.
∴∠EDO＋∠ECO＝90°，∴∠DOC＝90°.
∵OE⊥DC，∠ODE＝∠CDO，∴△ODE∽△CDO，∴，即，∴OD＝，
∵在Rt△AOD中，AD＝1，∴AO＝，∴tan∠AOD＝，∴tan∠APE＝.
(四)命题新方向
【教材延伸】如图，在△ABC中，∠B＝90°，
AC＝10，作△ABC的内切圆☉O，分别与AB，
BC，AC相切于点D，E，F，设AD＝x，△ABC
的面积为S，则S关于x的函数图象大致为(　　)
A(共37张PPT)
第26课时　与圆有关的计算
第一部分　考点基础过关
第六章　圆
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
弧长 题21(3)，3分
扇形面积 题11，3分
新课标要求 会计算圆的弧长、扇形的面积. 课 前 小 测
02
1.已知扇形的圆心角为100°，半径为9，则扇形弧长为(　　)
A.2π B.3π
C.4π D.5π
2.已知扇形半径为12，弧长为6π，则扇形面积为(　　)
A.12π B.24π
C.36π D.40π
D
C
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.圆的弧长：l＝.
2.扇形面积：S扇形＝·πr2＝lr.
特别提醒：r为圆的半径；n为弧所对的圆心角的度数；l是扇形的弧长.
弧长与扇形面积
【跟踪训练】
1.一个扇形的面积是60π cm2，圆心角为150°，则此扇形的弧
长是(　　)
A.30π cm B.10π cm
C.15π cm D.20π cm
2.如图，已知点A，B，C依次在☉O上，∠C
＝40°，OA＝4，则的长为 _______.
B
π
核心笔记
1.正多边形的外接圆的圆心叫做它的__________.
2.正多边形每一边所对的__________叫做它的中心角，每个中
心角都等于 ________.
3.正多边形的中心到它一边的距离叫做它的__________.
正多边形与圆
中心
圆心角
边心距
4.正多边形的每个内角都等于 ____________，每个外角都等于
_________.
5.正多边形的周长＝________________；正多边形的面积＝
___________________.
边长×边数
×周长×边心距
【跟踪训练】
3.已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是(　　)
A.4 B.6 C.7 D.8
4.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”
主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，
如图，小华量得图中一边与对角线的夹角
∠ACB＝15°，可以算出这个正多边形的边数是(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
B
D
课 堂 精 讲
04
例1　如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，半径为6，则这个
正六边形的边心距OM和的长分别为(　　)
A.4，
B.3，π
C.2
D.3，2π
正多边形和圆
D
变1　如图，把圆六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，☉O的半径
是R，它的外切正六边形的边长为(　　)
A.R
B.R
C.2R
D.6R
A
常考题型：(1)直接和差法算阴影部分的面积；(2)将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，算阴影部分的面积.
例2　图1是一幅装饰挂画的轮廓，将其视为如图2的扇形环面(由扇形OAB挖去扇形OCD)，∠AOB＝108°，OC的长度是
10 cm，OA的长度是30 cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是__________cm2.
与扇形有关的阴影面积计算
240π
变2　如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为__________.
π
例3　如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮
上一点A旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩
擦，则重物上升了(　　)
A.5π cm
B.3π cm
C.2π cm
D.π cm
弧长和扇形面积
B
变3　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧
AD的长为(　　)
A.π
B.π
C.π
D.2π
C
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准
满分：6分　　　　实得：
示范题　一个扇形的弧长是8π cm，圆心角是144°，则此扇形的面积是多少
解：设此扇形的半径是R cm，则×2πR＝8π，
解得R＝10 cm，………………………………3分
∴此扇形的面积为：
lR＝×8π×10＝40π(cm2). …………………5分
答：此扇形的面积为40π cm2. ………………6分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟　正确率：　　/5】
1.扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为_______. (结果保留π)
π
2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，
BC＝4.分别以点B，C为圆心，线段BC长的一
半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，
F，则图中阴影部分的面积为__________.
4－π
3.(2024·深圳福田二模)如图，点A，B，C在半径为3的☉O
上，∠ACB＝30°，则的长为(　　)
A.3
B.
C.π
D.
C
4.(2024·深圳南山二模)将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为(　　)
A.
B.
C.
D.π
A
5.(2024·深圳)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为__________.
4π
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/6】
1.(2024·包头)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，
连接BD.若BD⊥OC，则的长为(　　)
A. B.
C. D.π
B
2.如图，☉O的圆心O与正方形的中心重合，已知☉O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(　　)
A.
B.2
C.4＋2
D.4－2
D
3.如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，若CD＝CE，
则图中阴影部分面积为(　　)
A. B.
C. D.
B
4.(2024·佛山三模改编)如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为
两个正六边形的中心，则tan∠O2AC的值为(　　)
A.
B.2
C.
D.3
C
5.(2024·东莞三模)如图所示的是90°的扇形纸片OAB，半径为2.将这张扇形纸片沿CD折叠，使点B与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为________.

6.(2024·深圳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连接OB，以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E.
(1)求证：BC＝BD.
证明：如答图，连接OD，
∵BD是☉O的切线，点D为切点，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL)，∴BC＝BD；
(2)若OB＝OA，AE＝2，①求半圆O的半径；②求图中阴影部分的面积.
解：①∵OB＝OA，∴∠OBD＝∠A，∵Rt△ODB≌Rt△OCB，∴∠OBD＝∠OBC，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，又∵∠OBD＋∠OBC＋∠A＝90°，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，
在Rt△ODA中，sin∠A＝，∴OD＝OA，
∵OD＝OE，∴OE＝OA，∴OE＝AE＝2，∴半圆O的半径为2；
②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，∴AD＝＝2，
∴S△OAD＝OD·AD＝×2×2＝2，
∵∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∴S阴影＝S△ODA－S扇形ODE＝2＝2.
(三)综合应用
【建议用时：10分钟　正确率：　/1】
(2024·深圳龙华模拟)在如图所示的网格
中，每个小正方形的边长都为1，每个小
正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个
顶点均在格点上，以点A为圆心的与
BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F.
(1)求△ABC三边的长.
解：AB＝＝2，
AC＝＝2，
BC＝＝4；
(2)求图中由线段EB，BC，CF及所围成的阴影部分的面积.
解：由(1)得，AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，如答图，连接AD，AD＝＝2，
∴S阴影＝S△ABC－S扇形AEF＝AB·AC－π·AD2＝20－5π.
(四)命题新方向
【跨学科】(2024·深圳二模)苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，人们发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其
平面示意图，则∠1的度数为(　　)
A.130°
B.120°
C.110°
D.60°
B(共58张PPT)
第24课时　圆的有关概念和性质
第一部分　考点基础过关
第六章　圆
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
圆心角、圆周角定理及推论 题19，8分 题10，3分 题13，3分 题13，3分
垂径定理
新课标要求
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念.
2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
4.了解三角形的内心与外心.
5.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
课 前 小 测
02
1.在半径为6的圆中，弦AB的长度不可能是(　　)
A.4 B.5
C.10 D.14
2.下列说法中，正确的是(　　)
A.同心圆的面积相等
B.周长相等的圆是等圆
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.平分弧的弦一定经过圆心
D
B
3.如图，点A，B，C在☉O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB为
(　　)
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
D
4.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD于点E，
则下列结论不一定正确的是(　　)
A.CD＝2ED
B.
C.OE＝BE
D.OA＝OB
C
5.如图，AB是☉O的直径，四边形ABCD内接于☉O，若AD＝DC＝CB，则∠A的度数为__________°.
60
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.圆：平面上到__________的距离等于__________的所有点组成的图形.
2.弦：连接圆上任意两点间的__________叫做弦，经过______ _____叫做直径.
圆中的有关概念及性质
定点
定长
线段
圆心
的弦
3.圆弧：圆上任意_______________叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做__________.大于半圆的弧叫做__________；小于半圆的弧叫做__________.
4.能够重合的两个圆叫做__________.在同圆或等圆中，能够__________的弧叫等弧.
特别提醒：弧长相等的弧不一定是等弧.
两点间的部分
半圆
优弧
劣弧
等圆
互相重合
【跟踪训练】
1.AB是☉O最长的弦，若AB＝8，则☉O的半径长为(　　)
A.8 B.7
C.6 D.4
2.如图，AB为☉O的直径，弦CD交AB于点E，，
∠CDB＝30°，AC＝2，则OE的长为(　　)
A. B.
C.1 D.2
D
C
3.如图，点A，B，C，D在☉O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC
＝30°，则BC的长为(　　)
A.4
B.8
C.4
D.4
A
核心笔记
1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦________，所对的弦心距(圆心到弦的距离)________.
2.推论：在同圆或等圆中，_____________，那么其他各组量也分别相等.
特别提醒：运用这个定理时，一定要记住前提条件“在同圆或等圆中”.
弧、弦、圆心角的关系
相等
相等
相等
一组量相等
【跟踪训练】
4.如图，AB，CD是☉O的两条直径，点E是劣弧的中点，
连接BC，DE.若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为(　　)
A.22° 　　　　　
B.32°
C.34° 　　　　　
D.44°
C
核心笔记
1.垂径定理：垂直于弦的直径__________这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论1：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且_________所对的两条弧.
弦的垂直平分线经过__________，并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的__________，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
垂径定理及其推论
平分
垂直
平分弦
圆心
直径
3.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧__________.
4.推论3：过圆心、平分弦(非直径)、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项.
特别提醒：平分弦(非直径)的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
相等
【跟踪训练】
5.如图，CD是☉O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝
12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(　　)
A.36
B.24
C.18
D.72
A
6.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知☉O的直径就是铁球的直径，AB是☉O的弦，CD切☉O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，若CD＝16 cm，
AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为(　　)
A.10 cm
B.15 cm
C.20 cm
D.24 cm
C
核心笔记
1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__________.
2.推论1：同弧或等弧所对的圆周角__________.
3.推论2：半圆(或直径)所对的__________是直角，90°的圆周角所对的弦是__________.
特别提醒：同弧或等弧所对的圆周角相等，而不是同弦或等弦.
圆心角、圆周角之间的关系
一半
相等
圆周角
直径
【跟踪训练】
7.如图，△ABC内接于☉O，CD是☉O的直径，∠ACD＝40°，
则∠B＝(　　)
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
C
核心笔记
1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在__________圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
2.性质：圆内接四边形的对角__________.
特别提醒：圆内接四边形对角互补且任意一个外角等于它的内对角.
圆的内接四边形
同一个
互补
【跟踪训练】
8.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠AOC＝160°，
则∠ABC的度数是(　　)
A.80°
B.100°
C.140°
D.160°
B
课 堂 精 讲
04
例1　如图，∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角，若
∠DCE＝72°，那么∠BOD为__________°.
圆内接多边形求度数
144
变1　如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O，且有公共顶点A，则∠BOH为__________°.
12
常考题型：(1)利用圆周角定理求角；(2)利用圆周角定理的推论求角.
例2　如图，点A，B，C是☉O上的三点，若∠C＝35°，则
∠ABO是(　　)
A.35° B.55°
C.60° D.70°
求圆周角度数
B
变2　如图，BD是☉O的直径，点A，C在圆上，∠A＝50°，
∠DBC是(　　)
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
C
例3　“摩天轮”一直以来深受人们喜爱，
它既能提供高空赏景的独特体验，又承载着
浪漫温馨的情感.如果某摩天轮主体(如图)的
直径AC为88米，最高点A距地面100米，匀
速运行一圈所需的时间是18分钟.但受周边建筑物影响，如果
乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么摩天轮运行
一圈中最佳观景的时长为__________分钟.
垂径定理结合勾股定理
12
变3　(2024·广州天河区一模)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴交于A，B两点，弦CD⊥AB，AC与
y轴相交于点P，若点A的坐标为(4a，0)，且AP＝2PC.则CD的
长为(　　)
A.4a B.6a
C.2a D.4a
D
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准
示范题　已知四边形ABCD内接于☉O，对
角线BD是☉O的直径.
(1)如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求
证：CA平分∠BCD.
证明：∵OA⊥BD，∴，
∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；……………………………………2分
答题模板与评分标准
(2)如图2，点E为☉O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥A B.若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长.
解：延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N，如答图，
答题模板与评分标准
满分：8分　　　　实得：
∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵BD是☉O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，……………………6分
∴AE＝CD＝3，∴BC＝＝3. ……………………………………………………8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟　正确率：　　/6】
1.(2024·深圳模拟)如图，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°，
则∠D为(　　)
A.20°
B.40°
C.50°
D.80°
B
2.如图，AB是☉O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC
的平分线交AC于点D，CD＝1，则☉O的直径为(　　)
A.
B.2
C.1
D.2
B
3.(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若
AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为__________m.
1.3
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12.若以点C为圆心，
CA的长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AB＝________.
24
5.(2023·深圳)如图，在☉O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的平分线与☉O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝__________°.
35
6.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝
5 cm，则圆形镜面的直径为__________cm.
13
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】
1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径
的☉O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为(　　)
A.1 B.
C.2 D.
B
2.如图，在☉O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC为(　　)
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
D
3.如图，四边形ABCD内接于☉O，AC，BD为对角线，BD经
过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC为(　　)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
4.如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC
＝4，则☉O的半径为(　　)
A.2
B.3
C.2
D.
D
5.(2024·深圳)如图，在△ABD中，AB＝BD，☉O为△ABD的外接圆，BE为☉O的切线，AC为☉O的直径，连接DC并延长交BE于点E.
(1)求证：DE⊥BE.
证明：连接BO并延长交AD于点H，连接OD，
如答图,∵AB＝BD,OA＝OD∴BO垂直平分AD，
∴∠BHD＝90°，∵BE为☉O的切线，
∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°.
∵AC为☉O的直径，∴∠ADC＝90°，
∴四边形BEDH为矩形，∴∠E＝90°，∴BE⊥DE；
(2)若AB＝5，BE＝5，求☉O的半径.
解：∵BO垂直平分AD，∴AH＝DH＝AD，
∵四边形BEDH为矩形，∴DH＝BE＝5，
在Rt△BDH中，∵BD＝AB＝5，DH＝5，∴BH＝＝5，
设☉O的半径为r，则OH＝5－r，OD＝r，
在Rt△ODH中，(5－r)2＋52＝r2，解得r＝3，即☉O的半径为3.
(三)综合应用
【建议用时：10分钟　正确率：　/1】
(2022·深圳)一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4.
(1)如图1，CM为一条拉线，M在OB上，
OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度.
解：∵DF＝0.8，OM＝1.6，DF∥OB，
∴DF为△COM的中位线，∴D为CO的中点，
∵CO＝AO＝4，∴CD＝2；
(2)如图2，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度.
解：如答图1，过点N作ND⊥OH，交OH
于点D，∵∠OHN＝45°，
∴△NHD为等腰直角三角形，即ND＝
DH，
又∵tan∠COH＝，∴tan∠NOD＝，
∴tan∠NOD＝，
∴ND∶OD＝3∶4，设ND＝3x＝DH，则OD＝4x，∵OD＋DH＝OH，
∴3x＋4x＝4，解得x＝，∴ND＝，OD＝，
∴在Rt△NOD中，ON＝；
(3)如图3，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线，交半圆O于点N，在点M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长.
解：如答图2，当点M与
点O重合时，点N也与点
O重合.
如答图3，当点M运动至
点A时，点N运动至点T，
故点N路径长为OB＋.
∵∠THO＝∠AHO，∠AHO＝∠OAH，∠HOM＝50°，
∴∠OHA＝∠OAH＝65°，
∴∠THO＝65°，∠TOH＝50°，
∴∠BOT＝80°，∴＝2π×4×π，
∴N点的运动路径长为OB＋＝4＋π.
(四)命题新方向
【跨学科】综合与实践
问题情境：在我国古代一些出土实物上能反映出一些几何作图方法.如图1、图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心.
问题解决：(1)请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代是如何通过几何作图确定圆心O的.如图3，点A，B，C在☉O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如答图1所示，点O即为所求作；
类比迁移：(2)小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O.如图4，点A，B，C在☉O上，AB⊥AC，请作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如答图2所示，点O即为所求作；
拓展探究：(3)小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5，点A，B，C是☉O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法)请写出你确定圆心的理由：___________________________.
解：如答图3所示，点O即为所求作.
垂直平分弦的直线经过圆心

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