资源简介

(共46张PPT)
第27课时　尺规作图
第一部分　考点基础过关
第七章　图形与变换
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
作角平分线 题6，3分
作线段的垂直平分线 题13，3分
作垂线
新课标要求
1.能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；过直线外一点作这条直线的平行线.
2.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.
3.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形.
4.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.
5.在尺规作图中，学生应了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.
课 前 小 测
02
1.如图，用尺规作∠HFG＝∠ABC，作图痕迹中弧MN是(　　)
D
A.以点F为圆心，以BE长为半径的弧
B.以点F为圆心，以DE长为半径的弧
C.以点G为圆心，以BE长为半径的弧
D.以点G为圆心，以DE长为半径的弧
2.如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①
是(　　)
B
A.以C为圆心，以CD长为半径的弧
B.以C为圆心，以大于CD长为半径的弧
C.以D为圆心，以CD长为半径的弧
D.以D为圆心，以大于CD长为半径的弧
3.观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是(　　)
A.PQ为∠APB的平分线
B.PA＝PB
C.点A，B到PQ的距离不相等
D.∠APQ＝∠BPQ
C
4.如图，是作一个角等于已知角的作图痕迹，判定∠A'O'B'＝
∠AOB的依据是(　　)
A.SSS B.SAS
C.AAS D.ASA
A
5.已知Rt△ABC，∠BCA＝90°，过点C作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形.观察图中尺规作图的痕迹，作
法正确的是(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
知 识 梳 理
03
核心笔记
基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过直线上一点作已知直线的垂线；(6)过直线外一点作已知直线的垂线：
特别提醒：要掌握每一种基本作图.
尺规作图
【跟踪训练】
1.如图，直线l1∥l2，点C，A分别在l1，l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝130°，则
∠1的度数为(　　)
A.15°
B.20°
C.25°
D.50°
C
2.如图，点C，A在OP上，小明利用尺规作出了如图所示的图
形，根据作图可知OB∥AE的根据是(　　)
A.两直线平行，同位角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.两直线平行，内错角相等
D.内错角相等，两直线平行
D
3.在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使△ACD∽△ABC，根据下列作图痕迹判断，正确的是
(　　)
C
4.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD＝DC，AD＝5，则BC的长
为__________.
10
课 堂 精 讲
04
例1　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射
线CE交AB于点F，则AF的长为(　　)
A.9 B.10
C.12 D.14
作已知直线的垂线
C
变1　在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，图1是老师画出的第一步，图2、图3分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是(　　)
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.都不正确
C
常考题型：(1)利用角平分线进行计算；(2)利用角平分线进行尺规作图.
例2　如图是一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E.若∠A＝
100°，则∠EBC的度数为(　　)
A.50° B.40°
C.30° D.80°
作角平分线
B
变2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)
(1)在斜边AB上找一点D，使AD＝AC.
(2)作∠BAC的平分线，交BC于点E，连接DE，并判断△BDE的形状.
解：(1)如答图，点D即为所求的点；
(2)如答图，AE即为所求.
△BDE是直角三角形.
例3　如图，在 ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交
BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是(　　)
A.AE＝CF
B.DE＝BF
C.OE＝OF
D.DE＝DC
作线段的垂直平分线
D
变3　如图，BD为矩形ABCD的对角线，完成如下操作，并解决问题：
(1)作BD的垂直平分线l.(不写作法，保留作图痕迹)
解：直线l如答图1所示；
(2)在直线l上确定两点M，N，使四边形BMDN为正方形，简要阐述作法，并说明理由.
解：正方形BMDN如答图2所示，设直线l与BD的交点为点O，以点O为圆心，BO的长度为半径画弧，交直线l于点M，N，连接BM，BN，DM，DN，∵BO＝DO＝MO＝NO且BD⊥MN，∴四边形BMDN是正方形.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准
示范题　(2023·浙江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)尺规作图：
①作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点D，交BC于点O；
②在直线MN上截取OE，使OE＝OD，连接CD，BE，CE.(保留作图痕迹)
答题模板与评分标准
解：①如答图，直线MN即为所求；……………3分
②如答图；……………………………………………4分
答题模板与评分标准
满分：8分　　　　实得：
(2)猜想：作图所得的四边形BECD是否为菱形 并说明理由.
解：四边形BECD是菱形，理由如下：………………5分
∵MN垂直平分BC，∴OB＝OC，BD＝CD，……6分
∵OD＝OE，∴四边形BECD是平行四边形， ……7分
又∵BD＝CD，∴四边形BECD是菱形. …………8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：10分钟 　正确率：　/8】
1.(2024·深圳罗湖模拟)如图，已知下列尺规作图：①作一个
角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平
分线，其中作法正确的是(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A
2.(2024·深圳)在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，
能判定射线AD平分∠BAC的是(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.只有①
B
3.(2020·广东)如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E，连接BE，BD，则∠EBD的度数为__________.
45°
4.如图，AC是菱形ABCD的对角线.
尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如答图，△ADE就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形.
5.(2024·广州)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°.
尺规作图：作AC边上的中线BO.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如答图所示，线段BO为AC边上的中线.
6.如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°.
尺规作图：过点D作AB边上的高DE.(保留作图痕迹，不要求写作法)
答图
解：如答图，DE即为所求作的高.
7.(2024·龙华模拟)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点.
(1)尺规作图：在△ABC内作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E.(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若＝2，求的值.
解：(1)如答图，∠ADE为所作；
(2)∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，∴＝2.
8.(2024·广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)尺规作图：作∠A的平分线AD交BC于点D.
(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半
径作☉D.求证：AB与☉D相切.
(1)解：如答图，AD即为所求；
(2)证明：如答图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∠DEA＝90°，
∴DE＝CD，
∴DE为☉D的半径，
∴AB与☉D相切.
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】
1.如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN与
AC相交于点D，则△BDC的周长为(　　)
A.8 B.10
C.11 D.13
A
2.(2020·深圳)如图，在△ABC中，AB＝AC.在AB，AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ.再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D.若BC＝6，则BD的长为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
B
3.(2024·内蒙古)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则
△ABD的面积是(　　)
A.8 B.16
C.12 D.24
B
4.(2021·深圳)如图，已知∠BAC＝60°，AD平分∠BAC且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为__________.
5＋5
5.(2024·广西)如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别
交AB，AC于点D，E.(保留作图痕迹，不写作
法，标明字母)
(2)在(1)所作的图中，连接BE，若AB＝8，
求BE的长.
解：(1)图形如答图所示；
(2)∵DE垂直平分线段AB，∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠A＝45°，∴∠BEA＝90°，
∵BD＝DA，∴DE＝DB＝DA＝AB＝4，
∴BE＝BD＝4.
(三)综合应用
【建议用时：5分钟　正确率：　/1】
(2024·深圳模拟)如图，已知△ABC，按
如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，
以大于AC的长为半径在AC两边作弧，
交于两点M，N；②作直线MN，分别交
AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB，
交MN于点E，连接AE，CD.
(1)求证：四边形ADCE是菱形.
(2)当∠ACB＝90°，AC＝16，△ADC的周长为36时，直接写
出四边形ADCE的面积为__________.
解：(1)根据作图过程可知：MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，AD＝CD，AO＝CO，MN⊥AC，∴∠EAC＝∠ECA，∵CE∥AB，∴∠ECA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠EAC，AO＝AO，∠AOD＝∠AOE＝90°，
∴△ADO≌△AEO(ASA)，∴AD＝AE，∴AD＝EC，
又AD∥EC，∴四边形ADCE是平行四边形，AE＝EC，
∴ ADCE是菱形.
96
(四)命题新方向
【新考法】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
(1)作☉O，使其与线段AB，CD分别相切于点E，F.(尺规作图，保留作图痕迹)
解：如答图所示，☉O即为所求；
(2)☉O与OD相交于点G，连接AG，若AG与☉O相切，求tan∠ACB的值.
解：如答图，
∵AB，AG与☉O分别相切于点E，G，且OG为半径，
∴OG⊥AG于点G，∠OAE＝∠OAG，∴∠AGB＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD＝2OA＝2OB，
∴OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBE＝∠OAG，
又∠OAE＋∠OBE＋∠OAG＝∠GAB＋∠GBA＝90°.
∴∠OAE＝30°，∴∠ACB＝90°－∠OAE＝60°，∴tan∠ACB＝.(共45张PPT)
第28课时　视图与投影
第一部分　考点基础过关
第七章　图形与变换
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
正方体展开图 题1，3分
三视图 题2，3分 题2，3分
新课标要求 1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念. 2.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体. 3.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型. 4.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用. 课 前 小 测
02
1.如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是(　　)
A.圆柱 B.圆锥
C.三棱柱 D.正方体
C
2.葫芦在我国古代被看作吉祥之物.如图是一个工艺葫芦的示意
图，关于它的三视图说法正确的是(　　)
A.主视图与左视图相同
B.主视图与俯视图相同
C.左视图与俯视图相同
D.主视图、左视图与俯视图都相同
A
3.如图有4个几何体，下列关于它们三视图的说法正确的是
(　　)
A.图1的主视图与俯视图相同
B.图2的主视图与左视图相同
C.图3的左视图与俯视图相同
D.图4的主视图、左视图和俯视图都相同
D
4.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中与其他三
个几何体的左视图与俯视图不相同的是(　　)
B
5.某几何体的三视图如图，则该几何体为(　　)
B
6.如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是
(　　)
C
A.矩形 B.两条线段
C.等腰梯形 D.圆环
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.三视图：_________________________.
2.画物体的三视图的原则：(1)主视图与俯视图________对正，主视图与左视图_________平齐，左视图与俯视图的________相等；(2)在画图时，看得见部分的轮廓线画成实线，因被其
他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成__________.
三视图及基本几何体的三视图(圆柱、圆锥、球)
主视图、俯视图和左视图
长
高
宽
虚线
3.常见的几何体的视图：
特别提醒：画三视图要遵守画图原则.
常见的几何体 主视图 左视图 俯视图
球 __________ __________ __________
圆柱 __________ __________ __________
圆锥 ___________ ____________ ____________
圆
圆
圆
矩形
矩形
圆
等腰三角形
等腰三角形
带圆心的圆
【跟踪训练】
1.在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是(　　)
A.正方体 B.三棱柱
C.圆柱 D.圆锥
A
2.如图是某几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是
(　　)
B
A.球体
B.圆锥
C.圆柱
D.三棱锥
3.某物体如图所示，它的主视图是(　　)
C
核心笔记
1.圆柱的侧面展开图是_________，上下底面展开图是两个圆.
2.圆锥的展开图是扇形和一个__________.
3.直三棱柱的展开图是三个__________和两个三角形.
特别提醒：要分清不同图形的展开图.
圆柱、圆锥、直三棱柱的展开图
矩形
圆
矩形
【跟踪训练】
4.如图所示的三棱柱的展开图不可能是(　　)
D
5.如图是某几何体的展开图，该几何体是(　　)
A.长方体 B.圆柱
C.圆锥 D.三棱柱
B
核心笔记
1.平行投影：由__________形成的投影叫做平行投影.投影线垂直于投影面时产生的投影叫做正投影，正投影是一种特殊的平行投影.
2.中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做__________投影.
投影
平行光线
中心
特别提醒：平行投影的特点.
(1)物体在太阳光下形成的影子随物体与投影面的位置关系的改变而改变.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的__________、__________完全相同.
(2)不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小和方向都改变.
形状
大小
【跟踪训练】
6.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是(　　)
D
7.贵州省六盘水市人民广场中央的乌蒙铁塔是当地的标志性建筑.在晴天的日子里，从早到晚这段时间，乌蒙铁塔在太阳下
的影子长度是如何变化的 (　　)
A.保持不变
B.逐渐变长
C.先逐渐变短，后又逐渐变长
D.逐渐变短
C
课 堂 精 讲
04
例1　如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.6 m，桌面距离地面1 m，若灯泡O距离地面3 m，则地面上阴影部分的
面积为(　　)
A.0.64π m2
B.2.56π m2
C.1.44π m2
D.5.76π m2
投影
C
变1　如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(4，4)处，木杆AB两端的坐标分别为(0，2)，(6，2)，则木杆AB在x轴上的
影长CD为__________.
12
常考题型：(1)由展开图判断几何体；(2)几何体与展开图数据的互相转化.
例2　如图是某几何体的展开图，该几何体是(　　)
圆柱、圆锥、直三棱柱的展开图
C
A.圆柱 B.三棱柱
C.圆锥 D.球
变2　(2023·浙江杭州统考二模)已知圆锥的母线长为13 cm，
圆锥的高为12 cm，则这个圆锥的侧面积是_________cm2.
65π
例3　由四个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的
主视图是(　　)
常见几何体的三视图
D
变3　如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体可能是(　　)
C
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准
示范题　(2023·金华市婺城区模拟)如图1是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体.
(1)已知该几何体的主视图如图2所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图.
图1
图2
解：如答图所
示：
…………3分
答题模板与评分标准
满分：6分　　　　实得：
(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体.
解：保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭3个小立方体.故答案为3. ………………………………………6分
3
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/6】
1.下列哪个图形是正方体的展开图 (　　)
B
2.(2021·深圳)如图所示的是一个正方体的展开图，把展开图
折叠成正方体，和“富”字相对的字是(　　)
A.强 B.明
C.文 D.主
C
3.如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是(　　)
A.圆锥 B.圆柱
C.棱锥 D.棱柱
A
4.(2024·广州越秀区校级二模)如图是一个几何体的三视图，
则该几何体的展开图可以是(　　)
B
5.(2024·广州天河区校级一模)如图是某个几何体的展开图，
该几何体是(　　)
A.三棱柱 B.三棱锥
C.四棱柱 D.圆柱
A
6.(2024·深圳龙岗区校级模拟)为弘扬“中国航天精神”，每
年的4月24日被设为“中国航天日”，如图是一个正方体的展
开图，将它折叠成正方体后，“国”字对面的字是(　　)
A.航 B.天
C.精 D.神
C
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】
1.如图所示六棱柱的左视图是(　　)
A
2.(2020·深圳)分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和
俯视图完全相同的是(　　)
3.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是(　　)
D
A
4.如图所示的几何体的左视图是(　　)
B
(三)综合应用
【建议用时：5分钟　正确率：　/1】
5个棱长为1个单位的正方体组成如图1的几何体.
(1)该几何体的体积是________(立方单位)，表面积是________ (平方单位).
图1
5
22
5.如图所示是一个由若干个相同的正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是
(　　)
A.5
B.6
C.11
D.13
A
(2)在图2中的正方形网格中画出该几何体的主视图和左视图.
图2
解：作图如答图.
【教材拓展】如图，大楼ABCD(可以看作
不透明的长方体)的四周都是空旷的水平
地面.地面上有甲、乙两人，他们现在分
别位于点M和点N处，点M，N均在AD的
中垂线上，且点M，N到大楼的距离分别为60米和20米，又已知AB长40米，AD长120米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲.若乙在大楼的外面地带行走，直到看到甲(甲保持不
动)，则他行走的最短距离为_______________米.
(40＋20)(共59张PPT)
第29课时　图形的对称、平移与旋转
第一部分　考点基础过关
第七章　图形与变换
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
轴对称图形与中心对称图形 题2，3分 题1，3分
图形的翻折 题15，3分 题8，3分
图形的旋转 题14，3分 题14，3分 题13，3分
题20(2)①，3分
新课标要求
1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形.
3.理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
新课标要求
5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转问题.探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
6.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
7.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
新课标要求
8.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
9.通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.
10.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.
11.运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.
课 前 小 测
02
1.下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中
既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
C
A B
C D
2.如图，其中图②是由图①怎样移动得到的 (　　)
A.平移 B.旋转
C.轴对称 D.平移与轴对称的组合
B
3.如图，若图形A经过平移与下方图形拼成一个长方形，则正
确的平移方式是(　　)
A.向右平移4格，再向下平移4格
B.向右平移6格，再向下平移5格
C.向右平移4格，再向下平移3格
D.向右平移5格，再向下平移3格
A
4.下列说法正确的是(　　)
A.关于某条直线对称的两个图形一定可以通过平移得到
B.旋转得到的两个图形的对应点所连线段互相平行
C.平移得到的两个图形对应线段互相平行(或在同一条直线上)
D.平移与旋转的不同点是：平移改变图形的位置，旋转改变图形的大小
5.用数学的方式理解“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”和“坐地日行八万里”(只考虑地球的自转)，其中蕴含的图形运
动是(　　)
A.平移和旋转 B.对称和旋转
C.对称和平移 D.旋转和平移
C
A
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.轴对称：如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形关于这条直线成__________.两个图形的对应点叫做__________.
2.轴对称图形：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做__________.
轴对称与轴对称图形
轴对称
对称点
对称轴
3.轴对称的性质：对称点的连线被对称轴__________、对应线段__________、对应线段或延长线段的交点在__________、成轴对称的两个图形__________.
4.常见的轴对称图形：线段、直线、角、_____________、__________、__________、正方形、正n边形、圆.
特别提醒：轴对称与轴对称图形是不同的两个概念.
垂直平分
相等
对称轴上
全等
等腰三角形
矩形
菱形
【跟踪训练】
1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，
可以看作轴对称图形的是(　　)
爱 国
A B
敬 业
C D
D
2.下面既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A B
C D
D
3.下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其
中是轴对称图形的是(　　)
D
A B
C D
核心笔记
1.中心对称：把一个图形绕着一点旋转__________后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形成__________，这个点叫做__________，旋转前后重合的点叫做__________.
2.中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转__________后，能与其自身重合，那么这个图形叫做__________图形，这个点叫做__________.
中心对称和中心对称图形
180°
中心对称
对称中心
对称点
180°
中心对称
对称中心
3.中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心__________；成中心对称的两个图形__________.
4.常见的中心对称图形：线段、直线、______________、__________、菱形、__________、正n边形(n为偶数)、圆.
特别提醒：中心对称与中心对称图形是不同的两个概念.
对称中心
垂直平分
全等
平行四边形
矩形
正方形
【跟踪训练】
4.下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称
图形的是(　　)
A B
C D
A
5.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A B
C D
D
6.在平面直角坐标系中，点A(a，1)与点B(－2，b)关于原点成中心对称，则a＋b的值为__________.
1
核心笔记
1.定义：在平面内，将一个图形沿某个__________移动一定的__________，这样的图形运动称为__________.
2.性质：
(1)对应线段________(或共线)且相等，对应点连线__________且平行(或共线)；
(2)平移前后的图形形状和大小都__________发生变化(两个图
形__________).
特别提醒：平移要注意平移的方向和距离.
图形的平移
方向
距离
平移
平行
相等
没有
全等
【跟踪训练】
7.如图，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到对应的△A'B'C'.若
B'C＝2 cm，则BC'的长是__________.
8.点M(2，－1)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位
长度，得到的点的坐标是__________.
4 cm
(－1，1)
核心笔记
1.定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个______转动一定角度的图形运动称为旋转.这个定点称为_________，转动的角称为__________.
2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离__________；
(2)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_______；
(3)旋转前后的图形__________.
特别提醒：特别地，当旋转角是180°时，图形的旋转就成了中心对称.
图形的旋转
方向
旋转中心
旋转角
相等
旋转角
全等
【跟踪训练】
9.如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB'C'D'，∠B＝∠β.当AC平分∠B'AC'时，∠α与∠β满足的数量关系是
(　　)
A.∠α＝2∠β
B.2∠α＝3∠β
C.4∠α＋∠β＝180°
D.3∠α＋2∠β＝180°
C
课 堂 精 讲
04
例1　如图，△ABC沿BC方向平移后的图象为△DEF，
已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
变1　如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，是平移重合图形的是
(　　)
A.平行四边形 B.等腰梯形
C.正六边形 D.圆
图形的平移
C
A
常考题型：(1)轴对称图形的概念；(2)轴对称的应用.
例2　爱思考的博涵同学发现在下列几种著名的数学曲线中，
有一种既是轴对称图形又是中心对称图.这种曲线是(　　)
图形的对称
D
A.笛卡儿爱心曲线
C.费马螺线曲线
B.蝴蝶曲线
D.科赫曲线
变2　如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE＋PB的最小值为__________.
6
例3　如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF.
(1)EF的长为_____.
图形的旋转

(2)求sin∠CEF的值.
解：如答图，过点F作FG⊥BC，交BC于点G，设CG＝y，则GE＝3－y，
∵FC＝4，FE＝，
∴FG2＝FC2－CG2＝FE2－EG2，
即16－y2＝17－(3－y)2，解得y＝，
∴FG＝，
∴sin∠CEF＝.
变3　如图，点A在射线Ox上，OA＝a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0＜n≤360)到OA'，那么点A'的位置可以用(a，n°)表示.
(1)按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A'的位置可以表示
为__________.
(3，37°)
(2)在(1)的条件下，已知点B的位置用(3，74°)表示，连接A'A，A'B.求证：A'A＝A'B.
证明：如答图，
∵A'(3，37°)，B(3，74°)，
∴∠AOA'＝37°，∠AOB＝74°，OA＝OB＝3，
∴∠A'OB＝∠AOB－∠AOA'＝74°－37°＝37°，
∵OA'＝OA'，
∴△AOA'≌△BOA'(SAS)，
∴A'A＝A'B.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准
示范题　在综合实践课上，同学们以“图形的平移与旋转”为主题开展数学活动.如图1，先将一张等边三角形纸片ABC对折后剪开，得到两个互相重合的△ABD和△EFD，点E与点A重合，点B与点F重合，然后将△EFD绕点D顺时针旋转，使点F落在边AB上，如图2，连接EC.判断四边形BFEC的形状，并说明理由.
答题模板与评分标准
满分：6分　　　　实得：
解：四边形BFEC为平行四边形，理由如下：……1分
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝60°，AB＝BC，由题意知，FD＝BD，
∴△BFD为等边三角形，…………………………3分
∴∠FDB＝60°，
∵∠EFD＝60°，∴EF∥BC，……………………5分
∵EF＝AB＝BC，∴四边形BFEC为平行四边形. 6分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟　正确率：　　/7】
1.(2024·深圳)下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形
的是(　　)
A B
C D
C
2.(2020·深圳)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的
是(　　)
B
A B
C D
3.(2023·陕西商洛八年级上册期中)下列图形中，不是轴对称
图形的是(　　)
B
A B
C D
4.下列图形中是中心对称图形的是(　　)
C
A B
C D
5.(2023·深圳)下列图形中，为轴对称图形的是(　　)
D
A B
C D
6.(2024·广州天河区模拟)下列图形绕某点旋转90°后，不能
与原来图形重合的是(　　)
A B
C D
D
7.(2021·深圳)如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位.
(1)以直线m为对称轴作四边形
ABCD的对称图形.
(2)求四边形ABCD的面积.
解：(1)如答图所示，四边形A'B'C'D' 即为所求；
(2)四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝×4×1＋×4×3＝8.
(二)能力提升
【建议用时：10分钟 　正确率：　/8】
1.(2024·烟台)如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何
体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体
的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走(　　)
A.①
B.②
C.③
D.④
A
2.下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是
中心对称图形的是(　　)
D
A B
C D
3.下列图形中，能由图形a通过平移得到的是(　　)
B
A B
C D
4.将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到
的图形是(　　)
A B
C D
B
5.(2024·广州模拟改编)如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为(1，0)，以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2 025次旋转结束时，点F的对应点F2 025的坐标为
(　　)
A.(－，－1) B.(1，－)
C.(，－1) D.(－1，)
D
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC，ED交于点F.若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是(用含α的代数式
表示)(　　)
A.90°＋α B.90°－α
C.180°－α D.α
C
7.如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，以下结论：①BC＝B'C'，②AC∥C'B'，③C'B'⊥BB'，④∠ABB'＝∠ACC'，正确的有(　　)
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
B
8.如图，△ABC的边BC长为4 cm.将△ABC平移2 cm得到
△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为________cm2.
8
(三)综合应用
【建议用时：10分钟　正确率：　/1】
如图1，△ABC中，∠A＝∠B＝45°.
(1)求证：AB＝AC.
证明：∵∠A＝∠B＝45°，∴AC＝BC，∠C＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，即AB2＝2AC2，
∴AB＝AC；
(2)如图2，点D是射线AB上的一个动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE.求证：BC＋BD＝BE.
证明：∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝BC，AD＝AB＋BD，∴BE＝AB＋BD＝BC＋BD；
(3)在(2)的条件下，若CA＝CB＝4，在点D移动的过程中，当∠DEB＝30°时，求BD的长.
解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CBE＝∠A＝45°，AD＝BE，∴∠ABE＝90°，
∵∠DEB＝30°，∴DE＝2BD，∴BE＝BD，
如答图1，当D在B的左边时，
∴AD＝BE＝AB－BD＝BC－BD，
∴BD＝BC－BD，∵AC＝BC＝4，解得BD＝2－2.
如答图2，当D在B的右边时，∵∠DEB＝30°，∴BE＝BD，
由(2)可得BE＝BD＝BC＋BD，
解得BD＝2＋2.
综上所述：BD的长为2－2或2＋2.
(四)命题新方向
【新考法】如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在AC上，且CD＝2，点E在AB上(不与点A，B重合)，连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落在等边△ABC的边上
时，AE的长为_______________.
2或10－2

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