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(共15张PPT)
第二部分 专题突破
专题七　三种方法求与圆有关的阴影部分面积
模型解读：所求阴影部分的面积是规则图形，直接用扇形的面积公式求解.
方法一　公式法
【跟踪训练】
1.(2024·揭阳期末)如图，在☉O中，若∠ACB＝30°，OA
＝6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是(　　)
A.12π
B.6π
C.4π
D.2π
B
①直接和差法
模型解读：空白部分为规则图形或规则图形的一部分，此时采用整体作差法求解.
方法二　和差法
②构造和差法
模型解读：先设法将不规则阴影部分与空白部分组合或将阴影部分进行分割，构造规则图形，再进行面积和差计算.
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE S阴影＝S扇形AOB－S△AOB
S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD
【跟踪训练】
2.如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，
∠AOC＝60°，OC＝2，则阴影部分的面积是__________.
2π－2
3.(2024·深圳宝安二模)如图，在半径为4的扇形纸片AOB中，将其沿着直线l折叠，使得点A和点O重合.直线l与交于点
C，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.－4 B.－2
C.－4 D.3π－2
A
方法三　等积转化法
①直接等面积转化法(CD∥AB) ②平移转化法
③对称转化法
模型解读：通过对图形的变换，为利用公式或和差法求解创造条件.
④旋转转化法
【跟踪训练】
4.(2023·临县模拟)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在的直线l
与交于点C.若OA＝4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A.
B.－4
C.2
D.4
D
【综合训练】
1.(2024·深圳龙华模拟)如图，在边长为6的正方形ABCD中，
以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是__________.
9
2.(2024·赤峰模拟)如图，AB是☉O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交☉O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为__________.
2π－4
3.(2024·荆州模拟)如图，以边长为2的等边三角形ABC顶点A
为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交
AB，AC于点D，E，则图中阴影部分的面积是(　　)
A.
B.2－π
C.
D.
D
4.(2024·山西一模)如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折
叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，则图中阴影部分的
面积为(　　)
A.3π－3
B.3π－
C.2π－3
D.6π－
B
5.(2024·西宁一模)如图，等边三角形ABC内接于☉O，BC＝2，则图中阴影部分的面积是_____.
(共102张PPT)
第二部分 专题突破
专题八　题型专题突破
题型二　解答题突破
概率统计题
1.(2024·深圳福田二模)某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组：A.音乐；B.体育；C.美术；D.阅读；E.人工智能.(每名学生只能参加一个活动小组)为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了__________名学生；
②补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
③扇形统计图中圆心角α＝__________度.
400
解：②参加A组的学生人数为400×
15%＝60(人)，
参加C组的学生人数为400－60－
100－140－40＝60(人)，
补全条形图如答图.
54
(2)若该校有2 800名学生，估计该校参加D组(阅读)的学生人数.
解：2 800×＝980(人)，
答：估计该校参加D组(阅读)的学生人数为980人.
(3)学校组织老师对七、八年级的学生进行满意度打分，其分数如下：
年级 音乐 体育 美术 阅读 人工智能
七年级 8 7 7 7 9
八年级 7 8 8 9 8
若以1∶1∶1∶1∶1进行考核，__________年级的满意度(分数)更高；
若以2∶1∶1∶1∶3进行考核，__________年级的满意度(分数)更高.
八
七
2.(2024·深圳模拟)金橘是柳州市融安县的特产之一.某学校数学兴趣小组为了解金橘的产量情况，从金橘种植基地各随机抽取20株第二代“滑皮金橘”和第三代“脆蜜金橘”进行调查，每株挂果数用x表示，根据实际情况将挂果数分成4组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70.下面给出了部分信息：
“滑皮金橘”在B组中的每株挂果数分别为81，81，82，83，84，86，87，88.
“脆蜜金橘”每株挂果数分别为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81.
滑皮金橘、脆蜜金橘抽
取的挂果数统计表
品种 滑皮金橘 脆蜜金橘
平均数 80 80
中位数 85 83
众数 82 a
滑皮金橘抽取的挂果
数扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝__________，m＝__________.
83
40
(2)根据以上数据，你认为哪个品种的金橘挂果情况更好 请说明理由.(写出一条理由即可)
(3)该种植基地滑皮金橘、脆蜜金橘共有2 000株，请你估计该种植基地滑皮金橘、脆蜜金橘挂果数不低于90颗的有多少株.
解：(2)滑皮金橘挂果情况较好.理由：因为滑皮金橘、脆蜜金橘的平均数都是80，滑皮金橘的中位数85比脆蜜金橘的中位数83的高，所以滑皮金橘挂果情况更好；
(3)滑皮金橘A组株数为20×(1－20%－20%－40%)＝4(株)， 2 000×＝500(株).
答：估计该种植基地滑皮金橘、脆蜜金橘挂果数不低于90颗的有500株.
3.(2024·深圳龙岗34校联考)某校学生的上学方式分为：A.步行；B.骑车；C.乘公共交通工具；D.乘私家车；E.其他.该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图：
(1)本次抽样调查的人数为__________，并补全频数直方图.
150
解：补全图形如答图；
(2)扇形统计图中“A.步行”上学方式所对的圆心角是_____度.
(3)若该校共有2 000名学生，估计该校“B.骑车”上学的人数约
是__________.
(4)该校数学兴趣小组成员结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议.例如：骑车上学的学生超过全校学生总人数的30%，建议学校合理安排自行车停车场地.请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议.
解：(4)为了节约和保护环境，请同学们尽量不要乘坐私家车(答案不唯一).
36
680
4.(2024·深圳宝安三模)2024年4月23日，深圳发布2024年首个暴雨红色预警信号.深圳市气象台专家介绍，暴雨红色预警是降水的最高级别预警，指3小时内降雨量将达到100毫米以上，或者已达100毫米以上且降雨可能持续.某校在学生中做了一次对“暴雨红色预警信号”知晓程度的抽样调查，调查结果分为四类：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解.根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图.
根据信息图回答下列问题：
(1)本次调查的人数为__________.
(2)将条形统计图补充完整.
解：(2)基本了解的人数是200×20%＝40(人)，
比较了解的人数是200－80－40－50＝30(人)，
补充完成的条形图统计图如答图1；
200
答图1
(3)2024年4月底，深圳发生多轮大暴雨，造成较重洪涝灾害.为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小智和小明积极报名参加.根据社区安排，志愿者被随机分到E组(信息登记)、F组(物资发放)、G组(垃圾清运)的其中一组.请用列表或画树状图的方法，求出小智和小明被分配到同一组的概率.
解：画树状图如答图2：
共有9种等可能的结果，其中小智
和小明被分配到同一组的结果有三种，
∴小智和小明被分配到同一组的概率为.
答图2
实际应用题
一、方程及不等式类应用
A.一次方程(组)
1.(2024·深圳龙华模拟)在城市创卫工作中为“保护好环境，拒绝冒黑烟”，武汉市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车.现计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195万元.
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元.
(2)若该公司购买A型和B型环保节能公交车共10辆，且总费用不超过360万元，则至少购进A型环保节能公交车多少辆
解：(1)设购买A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，
根据题意，得解得
答：购买A型公交车每辆30万元，B型公交车每辆45万元；
(2)设该公司购买A型公交车a辆，则购买B型公交车(10－a)辆，
根据题意，得30a＋45(10－a)≤360，解得a≥6，
∵a为整数，∴a最小为6，
答：至少购进A型环保节能公交车6辆.
B.分式方程
2.(2024·深圳龙华二模)快递行业的高速发展催生了“快递分拣机器人”.某快递公司准备引入甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲每小时分拣数量比乙多50件，且甲分拣1 000件与乙分拣800件所用时间相同.若设甲每小时分拣数量为x
件，则可列方程为(　　)
A. B.
C. D.
D
3.(2024·深圳宝安三模)中华文化源远流长，博大精深，诗词向来是以其阳春白雪式的唯美典雅，吸引了无数虔诚的追随者.《诗经》和《楚辞》是我国历史较为久远的著作.某书店的《诗经》单价是《楚辞》单价的，用720元购买《诗经》比购买《楚辞》多买6本.
(1)求两种图书的单价分别为多少元.
解：设《楚辞》的单价是x元，则《诗经》的单价是x元，
根据题意得＝6，解得x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x＝×40＝30.
答：《楚辞》的单价是40元，《诗经》的单价是30元；
(2)为筹备4月23日的“世界读书日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《楚辞》数量不少于《诗经》数量的一半，求两种图书分别购买多少本时费用最少.
解：设购买m本《诗经》，则购买(160－m)本《楚辞》，
根据题意得160－m≥m，解得m≤.
设购买这两种图书共花费w元，则w＝30m＋40(160－m)，∴w＝－10m＋6 400，
∵－10＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m≤，且m为正整数，
∴当m＝106时，w取得最小值，此时160－m＝160－106＝54.
答：当购买106本《诗经》、54本《楚辞》时，总费用最少.
二、三角函数的应用
1.(2024·武汉模拟)某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路.如图，C点周围180 m范围内为文物保护区，在MN上点A处测得C在A的北偏东60°方向上，从A向东走500 m到达B处，测得C在B的北偏西45°方向上，则MN是否穿过文物保护区 为什么
解：不穿过.理由如下：
由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝500，
设C到AB的距离为h m，如答图，过点C作CD⊥AB于点D，
则CD＝h m，tan 30°＝，tan 45°＝，
∴AD＝h m，BD＝h m，
∵AD＋BD＝AB＝500 m，∴h＋h＝500，
解得h＝250(－1)≈183，
∵h＞180，∴MN不穿过文物保护区.
2.(2024·青岛)“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高.从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制订了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题.
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为
BE，使CE＝1 m，并将原来
的滑梯CF改为EG(图中所有
点均在同一平面内，点B，
C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上)
(
)
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8 m；
【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；
【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°
解决问题 调整后的滑梯会多占多长的一段地面(即求FG的长)
解：如答图所示，过点E作EH⊥AG于H，则四边形CDHE是矩形，
∴DH＝CE＝1 m，EH＝CD＝1.8 m，
在Rt△CDF中，∠CDF＝90°，∠CFD＝42°，∴tan∠CFD＝，
∴DF＝≈＝2(m)，
在Rt△EHG中，∠EHG＝90°，∠EGH＝32°，
∴tan∠EGH＝，∴HG＝≈＝2.88(m)，
∴FG＝DH＋GH－DF＝1＋2.88－2＝1.88(m)，
答：调整后的滑梯会多占长1.88 m的一段地面.
与圆有关的证明与计算
1.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在☉O上，∠PBC＝∠C.
(1)求证：CB∥PD.
证明：∵∠P＝∠C，∠PBC＝∠C，
∴∠P＝∠PBC， ∴CB∥PD；
(2)若BC＝12，BE＝8，求☉O的半径.
解：如答图所示，连接CO，
设OC＝OB＝x，则OE＝OB－BE＝(x－8)，
在Rt△COE中，由勾股定理得CE2＝CO2－OE2，
在Rt△CBE中，由勾股定理得CE2＝BC2－BE2，
∴x2－(x－8)2＝122－82，解得x＝9，
∴☉O的半径为9.
2.(2024·深圳盐田二模)如图，点P是☉O的直径BA延长线上一点，AO＝AP，OP绕点P逆时针旋转60°，点O旋转到点C，连接CO交☉O于点D，连接DP.
(1)判断直线PD与☉O的位置关系，并说明理由.
解：PD是☉O的切线，理由如下：
连接AD，如答图所示，
根据题意得∠OPC＝60°，PO＝PC，
∴△OCP是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵AO＝OD，∴△AOD是等边三角形，
∴∠DAO＝∠ADO＝60°，AO＝AD，
∵AO＝AP，∴AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP，
∵∠DAO＝∠APD＋∠ADP，∴∠ADP＝30°，
∴∠PDO＝∠ADP＋∠ADO＝90°，∴PD⊥OD，
∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线；
(2)若AB＝2，求阴影部分的面积.
解：∵AB＝2，∴AO＝DO＝1，∴OP＝2AO＝2，
∴DP＝，
∴S△ODP＝DP·OD＝××1＝，
∵S扇形OAD＝，∴阴影部分的面积＝S△ODP－
S扇形OAD＝.
3.(2024·深圳光明二模)如图，过圆外一点P作☉O的切线，切点为A，AB是☉O的直径.连接PO，过点A作PO的垂线，垂足为D，同时交☉O于点C，连接BC，PC.
(1)求证：PC是☉O的切线.
(2)若BC＝2，OB＝OD，则切线PA的长为__________.
3
证明：连接OC，如答图，∵PA为☉O的切线，A为切点，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OC，PO⊥CA，∴∠AOD＝∠COD，
在△PAO和△PCO中，
∴△PAO≌△PCO(SAS)，∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
∵OC是☉O的半径，∴直线PC为☉O的切线.
4.(2024·深圳龙华二模)如图，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E.
(1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件，使直线DE为☉O的切线，并说明理由.
解：增加条件：AB＝AC.
证明：连接OD，AD，如答图，
∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠ADB＝90°，∴BD＝CD，
∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
即OD⊥DE，
∵OD为☉O的半径，∴DE为☉O的切线；
(2)在(1)的条件下，若DE＝6，tan∠ADE＝，求☉O的半径.
解：在Rt△ADE中，DE＝6，tan∠ADE＝，
∴AE＝DEtan∠ADE＝6×＝4，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＋∠EDC＝90°，
∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＋∠C＝90°，∴∠C＝∠ADE，
∴EC＝＝9，∴AC＝AE＋EC＝4＋9＝13，
由(1)知AB＝AC＝13，∴AO＝OB＝，即☉O的半径为.
5.(2024·深圳南山二模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点.
(1)求证：AB是☉O的切线.
(2)若sin B＝，☉O的半径为3，则AC＝__________.
6
证明：如答图，连接OD，则∠BOD＝2∠BCD，
∵∠BCD＝∠A,即2∠BCD＝∠A,∴∠BOD＝∠A，
∵∠ACB＝90°,∴∠B＋∠BOD＝∠B＋∠A＝90°,∴∠ODB＝90°,
∴OD⊥AB，∵OD为☉O的半径，∴直线AB是☉O的切线.
答图
6.(2024·深圳福田三模)如图1，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，点D为的中点，连接AD，CD，过点C作CE∥AD交AB于点E，连接DE，DB.
(1)证明：DC＝DE.
证明：设CE，BD交于点G，如答图所示，
∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，∴∠EGB＝∠ADB＝90°，
∴∠EGB＝∠CGB＝90°，
∵点D为的中点，∴，∴∠EBG＝∠CBG，
又∵BG＝BG，∴△CBG≌△EBG(ASA)，∴EG＝CG，
又∵DG＝DG，∠DGE＝∠DGC，∴△DGE≌△DGC(SAS)，∴DE＝DC；
(2)如图2，过点D作☉O的切线交EC的延长线于
点F，若AD＝，且，求EF的长.
解：如答图所示，连接OD交EC于点H，连接OC，
∵，∴∠AOC＝90°，又D为的中点，
∴∠AOD＝∠COD＝45°，∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝＝67.5°，
同理可得，∠ODC＝∠OCD＝＝67.5°，
∵EC∥AD，∴∠DHF＝∠ADO＝67.5°；∴DC＝CF，∠DCE＝45°；
由(1)知，DC＝DE，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△DCE是等腰直角三角形，
∵，AD＝，∴DE＝DC＝CF＝AD＝；
在等腰直角三角形DCE中，EC＝＝2，∴EF＝EC＋CF＝2＋.
函数探究与综合应用
一、函数综合应用
1.(2023·深圳)蔬菜大棚是一种
具有出色的保温性能的框架覆
膜结构，它的出现使得人们可
以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大
棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间(如图1).如图2，某个温室大棚的横截面可以看作由矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3 m，BC＝4 m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
请回答下列问题：
(1)如图2，若抛物线AED的顶点E的坐标为(0，4)，则抛物线的表达式为_____________.
y＝－x2＋4
(2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个排气装置正方形LFGT，正方形SMNR，若FL＝NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长.
解：∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，
FL＝NR＝0.75 m，∴FG＝MN＝FL＝NR＝
0.75 m，如答图，延长LF交BC于点H，延长
RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABHF
均为矩形，∴FH＝AB＝3 m，FN＝HJ，∴HL＝HF＋FL＝3.75 m，∵y＝－x2＋4，当y＝3.75时，3.75＝－x2＋4，解得x＝±1，∴H(－1，0)，J(1，0)，∴FN＝HJ＝2 m，∴GM＝FN－FG－MN＝0.5 m；
(3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长.
解：∵BC＝4 m，OE垂直平分BC，∴OB＝OC＝2 m，∴B(－2，0)，C(2，0)，且A(－2，3)，
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，则解得∴y＝－x＋，
∵太阳光为平行光线，设过点K平行于AC的光线的表达式为y＝－x＋m，
由题意，得y＝－x＋m与抛物线相切，联立
整理得x2－3x＋4m－16＝0，
则Δ＝(－3)2－4(4m－16)＝0，解得m＝，∴y＝－x＋，当y＝0时，x＝，∴K，
∵B(－2，0)，∴BK＝2＋ m.
2.(2024·深圳南山二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点B的坐标为(3，0)，点P是抛物线上一个动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
解：把点B，点C的坐标代入表达式，得
解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)点P在直线CB上方运动，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大 请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值.
解：如答图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P(x，－x2＋2x＋3)，设直线BC的函数关系式为y＝mx＋n，
则解得得直线BC的表达式为y＝－x＋3，
则Q(x，－x＋3)，∴S△CPB＝S△BPQ＋S△CPQ＝QP·BO＝×(－x2＋3x)×3＝－，
当x＝时，△BPC的面积最大，此时，点P的坐标为，
△BPC的面积的最大值为；
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到△P'OC，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在点P，使四边形POP'C为菱形，
如答图2，设P(x，－x2＋2x＋3)，连接
PP'交CO于点E，
若四边形POP'C是菱形，则PC＝PO，
PE⊥CO，OE＝CE＝，∴－x2＋2x＋3
＝，解得x1＝，x2＝，
∴点P的坐标为或.
二、函数探究
1.(2021·深圳)探究：是否存在新矩形，分别使其周长和面积都为原矩形的2倍、、k倍
(1)若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面
积都为边长为2的正方形的2倍 __________(填“存在”或“不存在”).
不存在
(2)继续探究，是否存在一个矩形，使其周长
和面积都为长为3、宽为2的矩形的2倍
同学们有以下思路：
设新矩形长和宽分别为x，y，则依题意x＋y
＝10，xy＝12，联立
得x2－10x＋12＝0，再探究根的情况.
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的；如图，也可用反比例函数y＝与一次函数y＝－x＋10证明，那么，
①是否存在一个新矩形，其周长和面积为原矩形的2倍
__________；
②请探究是否有一新矩形周长和面积都为原矩形的，若存在，用图象表达；
③请直接写出存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的k倍时，k的取值范围：__________.
存在
k≥
解：②设新矩形的长和宽为x，y，则依题意
x＋y＝，xy＝3，联立得x2－x＋3＝0，
因为Δ＜0，此方程无解，
故这样的新矩形不存在；
如答图，从图象来看，y＝－x＋和
y＝在第一象限无交点，故不存在.
2.(2024·深圳)为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD的读数为y，抛物线的顶点为C.
(1)Ⅰ.列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
Ⅱ.描点：请将表格中的(x，y)描在图2中；
Ⅲ.连线：请用平滑的曲线在图2中连接上述
点，直接写出y与x的关系式：__________.
y＝x2
解：描点，连线，函数图象如答图所示；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点为C.该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度AB、竖直跨度CD，记AB＝m，CD＝n.为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图
象平移，使得顶点C与原点O重合，此时
抛物线表达式为y＝ax2.
①此时点B'的坐标为_________；
②将点B'坐标代入y＝ax2中，解得a＝_____(用含m，n的式子表示)；
方案二：设C点坐标为(h，k).
①此时点B的坐标为__________________；
②将点B坐标代入y＝a(x－h)2＋k中，解得a＝_______(用含m，n的式子表示).




(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB＝4，且AB∥x轴，二次函数C1：y1＝2(x＋h)2＋k和C2：y2＝a(x＋h)2＋b的图象都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值.
解：根据题意，C1和C2的对称轴为直线x＝－h，则A(－h－2，8＋k)，B(－h＋2，8＋k)，C1的顶点坐标为P(－h，k)，∴C1的顶点距线段AB的距离为＝8，∴C2的顶点距线段AB的距离为10－8＝2，∴C2的顶点坐标为Q(－h，10＋k)或Q(－h，6＋k)，①当C2的顶点坐标为Q(－h，10＋k)时，y2＝a(x＋h)2＋10＋k，将A(－h－2，8＋k)代入得4a＋10＋k＝8＋k，解得a＝－；②当C2的顶点坐标为Q(－h，6＋k)时，y2＝a(x＋h)2＋6＋k，将A(－h－2，8＋k)代入得4a＋6＋k＝8＋k，解得a＝.综上，a的值为或－.
项目式学习
1.(2024·深圳)
背景 缤纷618，优惠送大家 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码.某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车 素材 为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起.右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1 m，每增加一辆购物车，车身总长增加0.2 m
问题解决 任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6 m，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求共有多少种运输方案(每种电梯至少使用1次)
解：任务1：∵一辆购物车车身长1 m，每增加一辆购物车，车身增加0.2 m，
∴L＝0.2(n－1)＋1＝(0.2n＋0.8)m.
任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为2.6 m，且一次可以运输两列购物车，令2.6≥0.2n＋0.8，解得n≤9，9×2＝18(辆)，
∴一次性最多可以运输18辆购物车.
任务3：设用扶手电梯运输x次，则用直立电梯运输(5－x)次，
∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，可列方程为24x＋18(5－x)≥100，解得x≥，
∵x为整数，且x≥1，5－x≥1，即1≤x≤4，∴x＝2，3，4，
方案一：用直立电梯运输3次，用扶手电梯运输2次；
方案二：用直立电梯运输2次，用扶手电梯运输3次；
方案三：用直立电梯运输1次，用扶手电梯运输4次.
答：共有三种方案.
2.(2024·深圳福田二模)根据以下素材，探索完成任务.
背景 如何设计喷泉安全通道
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到(穿梭过程中人的高度变化忽略不计)
素材1 某音乐喷泉喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水，形状都是抛物线或抛物线的一部分，且抛物线的形状都相同，最高点高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧
素材2 图1是当喷头在地面上时(喷头最低)，其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM＝4 m，水柱最高点离地面3 m. 图2是某一时刻时，水柱形状的示意图.OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度
素材3 如图3，安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域
问题解决 任务1 确定喷泉形状 在图1中，以点O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式
问题解决 任务2 确定喷泉跨度的最小值 若喷水管OA最高可伸长到2.25 m，求出喷泉跨度OB的最小值
任务3 设计通道位置及儿童的身高上限 现在需要一条宽为2 m的安全通道CD，为了确保进入安全通道CD的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为__________m(精确到0.1 m)
1.3
解：任务1：∵点O坐标为(0，0)，点M坐标为(4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线的最高点为3，∴顶点坐标为(2，3)，设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋3，过点(0，0)，解得a＝－，∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3.
任务2：当喷水管OA最高可伸长到2.25 m时，设此时的抛物线的函数表达式为y＝－(x－m)2＋3，
当x＝0时，y＝2.25，解得m＝1，
由y＝0，得－(x－1)2＋3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)，
∴OB＝3 m.
3.(2023·深圳宝安校级三模)【项目式学习】
项目背景：遮阳伞也叫做太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤造成损伤.同时遮阳伞下的地面上会出现影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，兴趣实践小组通过实地反复测量实验得出以下具体数据，并画出了遮阳伞在太阳光线下的示意图.
成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果.
项目主题 遮阳伞下的影子
项目素材 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表：

时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00
太阳光线与地面的夹角α/度 90 80 65 50 35 20
参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，≈1.4，≈1.7
示意图
测量 数据 如图，某款遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，CF为悬托支杆，F为PD的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为△PDE，DP，DE为伞体支架，且DP＝DE，测量得到AC＝2.8米，PD＝2米，CF＝1米，∠DPE＝15°
项目结果 “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组”
中午12：00时，太阳光线与地面垂直，将点P的位置进行适当调整，使PE∥AB，遮阳效果最佳 下午14：00时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳 下午17：00时，…
项目反思 … 请同学们分析成果展示并完成任务：
任务一：填空.如图1，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆CF与伞体支架DE的关系是_______________________.
任务二：请你参照“创新小组”的项目结果进行计算.(注意：计算结果均精确到0.1米)
①如图2，求立柱上的滑动调节点P离地面AB的距离约为多少米；
②如图3，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子BQ的长.
CF＝DE，CF∥DE
解：任务二：①如答图1所示，过点F作FG⊥AC于点G，过点P作PK∥AB交BE于点K，
则∠ABE＝∠EKP＝65°，
∠PEK＝∠CPK＝90°，
∴∠EPK＝90°－65°＝25°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠FPC＝90°－25°－15°＝50°，
∵F为PD的中点，∴PF＝PD＝1米，
∴CF＝PF＝1米，FG⊥AC，
∴PC＝2PG，在Rt△PGF中，PG＝PF·cos∠CPF＝1·cos 50°≈0.64(米)，
∴PC＝2×0.64＝1.28(米)，
又∵AC＝2.8米，∴PA＝2.8－1.28≈1.5(米).
答：立柱上的滑动调节点P离地面AB的距离约1.5米；
②如答图2所示，过点D作DN⊥PE于点N，
∵DP＝DE，DN⊥PE，∴PE＝2PN，
∵PD＝2米，∠DPE＝15°，
∴PN＝2·cos 15°≈1.94(米)，
∴PE＝2×1.94＝3.88(米)，
∵∠ABE＝∠EKP＝65°，
∠PEK＝∠CPK＝90°，
∴PK＝≈4.3(米)，
∵PQ∥BK，PK∥BQ，
∴四边形PQBK是平行四边形，
∴BQ＝PK＝4.3米.
答：伞体在地面上留下的影子BQ的长为4.3米.
4.(2024·深圳宝安二模)滨城学校九年级(3)班的项目式学习团队计划在某摩天轮上测量一座写字楼的高度.
素材一：如图1，该摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上.拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内.
素材二：自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器(如图2).
素材三：若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米.该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表.(观测误差忽略不计)
任务一：初步探究，获取基础数据.
(1)如图3，连接AO，BO，则∠AOB＝__________°.
1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况
45
(2)求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度.(结果保留根号)
解：如答图1，过点B作BE⊥AO于点E，则∠BEO＝90°，∵∠AOB＝45°，OB＝60米，∴OE＝OB·cos 45°＝30米，∵点A为最高128米，OA＝60米，∴点O高度为68米，∴点B高度为(68＋30)米.
任务二：推理分析，估算实际高度.
(3)根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN.(结果用四舍五入法取整数，≈1.41)
解：如答图2，连接OB，OC，BC，过点D作DG⊥BC于点G，由题意，得∠COB＝90°，OB＝OC＝60米，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴BC＝60米，由题意，得DG＝5BG，则CG＝DG＝2BG，∴BC＝3BG＝60，解得BG＝20米，
∴DN＝68＋30－20＝68＋10≈82(米).
答：写字楼的实际高度DN约为82米.
几何综合探究
1.(2024·深圳福田二模)
(1)问题探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE.
①判断DQ与AE的数量关系：DQ________AE；
②推断：的值为__________.(无需证明)
＝
1
(2)类比探究：如图2，在矩形ABCD中，.将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O，试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由.
解：结论：.理由：如答图1，过点G作GM⊥AB于点M.
∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠AFO＝90°，∠AFO＋∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD＝BC，
∴；
(3)拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值.
解：如答图2，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点A作AE⊥EF，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝10，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB(SSS)，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＋∠CDF＝90°，且∠ADE＋∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，
∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，
∵DC2＝CF2＋DF2，∴25＝CF2＋(10－2CF)2，
∴CF＝5(不合题意，舍去)，CF＝3，∴BF＝BC＋CF＝8，
由(2)的结论可知：.
(4)拓展应用2：如图2，在(2)的条件下，连接CP，若，
GF＝2，则CP＝ _____.
2.(2024·深圳宝安区三模)如图1，四边形ABCD，CEGF都是矩形，点G在AC上，且，AB＝6，AD＝8，小李将矩形CEGF绕点C顺时针转α°(0≤α≤360)，如图2所示.
(1)他发现的值始终不变，请你帮他计算出的值为 _____.
(2)在旋转过程中，当点B，E，F在同一条直线上时，求AG的长度是多少.
解：如答图1，当点E在线段BF上时，连接CG，过点C作CJ⊥EF于点J.
∵S△CEF＝·EC·CF＝·EF·CJ，
∴CJ＝，
∴EJ＝，
BJ＝，
∴BE＝BJ－EJ＝，
∵∠ACB＝∠GCE，∴∠BCE＝∠ACG，
∵，∴△ACG∽△BCE，∴，
∴AG＝×()＝－4.
如答图2中，当点E在BF的延长线上时，
同法可得BE＝BJ＋EJ＝，
∴AG＝BE＝()＝＋4，
综上所述，AG的长为－4或＋4.
3.(2024·深圳)垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”.
(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF＝，CE＝2，则AE＝__________；AB＝ ________.
1
(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB＝BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由.
解：AF＝CD，理由如下：
根据题意，在垂中平行四边形ABCD中，AF⊥BD，且F为BC的中点，∴AD＝BC＝2BF，∠AEB＝90°.
又∵AD∥BC，∴△AED∽△FEB，∴＝2.
设BE＝a，则DE＝2a，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝BE＋ED＝a＋2a＝3a，
∴AE＝＝2a，EF＝a，
∴AF＝AE＋EF＝2a＋a＝3a，∵AB＝CD，∴，∴AF＝CD；
(3)①如图3所示，在△ABC中，BE＝5，CE＝2AE＝12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上(温馨提示：不限作图工具)；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出
PE的值： _____________.
或
解：①第一种情况：如答图1，作BC的平行线AD，
使AD＝BC，连接CD，则四边形ABCD为平行四边形；延长BE交AD于点F，∵BC∥AD，∴△AEF∽△CEB，
∴，∵AD＝BC，CE＝2AE，∴，即AF＝BC＝AD，∴F为AD的中点.故如答图1所示，四边形
ABCD即为所求的垂中平行四边形；
第二种情况：如答图2，作∠ABC的平分线，取CH＝CB交∠ABC的平分线于点H，
延长CH交BE的延长线于点D，在射线BA上取
AF＝AB，连接DF，故A为BF的中点.
同理可证明AB＝CD，
则BF＝AB＋AF＝2AB＝CD，则四边形BCDF是平行四边形.故如答图2所示，四边形BCDF即为所求的垂中平行四边形；
第三种情况：如答图3，作AD∥BC，交BE的延长线于点D，连接CD，作BC的垂直平分线，在DA延长线上取点F，使AF＝AD，连接BF，则A为DF的中点，
同理可证明AD＝BC，从而DF＝BC，
故四边形BCDF是平行四边形.
故如答图3所示，四边形BCDF即为所求的垂中平行四边形.(共19张PPT)
第二部分 专题突破
专题五　五大常考相似模型
【模型分析】
模型特点：“A字型”有公共角∠A相等，再加上另一组对应角相等或夹住∠A的两边对应成比例，即可证明三角形相似.当题中未明确相似三角形对应顶点时，需分类讨论.“射影定理型”是母子型的特例，根据同角的余角相等，可证得三组三角形相似.
模型一　A字型
结论：①△ECB∽△BCA推出，所以BC2＝CE·AC.
②△EBA∽△BCA推出，所以AB2＝AE·AC.
③△ECB∽△EBA推出，所以BE2＝CE·AE.
【跟踪训练】
1.(2024·深圳龙岗期末)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，则下列条件中：①∠B＝∠AED；②DE∥BC；
③；④AD·BC＝DE·AC能使得以A，D，E为顶点的
三角形与△ABC相似的条件有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
2.(2024·深圳福田期末)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E.
(1)求证：△CDE∽△CBA.
证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∠CDE＝90°＝∠B.
又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA；
(2)若AB＝6，BC＝8，E是BC的中点，求DE的长.
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，
∵E是BC的中点，∴CE＝BC＝4.
∵△CDE∽△CBA，∴，即，∴DE＝＝2.4.
【模型分析】
模型特点：有一对对顶角相等，再加上题目给出或自己求得的另一组角相等，能够证明三角形相似.
模型二　8字型
【跟踪训练】
3.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF.若∠FEO＝45°，则的值为_____.

4.如图，在△ABC中，点E为线段AC上一点，且AE∶CE＝
1∶2，过点C作CD∥AB，交BE的延长线于点D.若△BEC的面
积为10，则△ECD的面积为(　　)
A.10
B.15
C.20
D.25
C
【模型分析】
模型特点：已有两个直角相等，再利用同角的余角相等可证另一对锐角相等，即可证明三角形相似.
常见图形背景：
模型三　一线三垂直型
【跟踪训练】
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E
处，折痕为AF，若点E是CD的中点，则CF的长为 _____.
6.如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F.
(1)求证：△AED∽△BFE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°，
∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠BEF＋∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，∴△AED∽△BFE；
(2)若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长.
解：∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝5.由(1)知△AED∽△BFE，
∴，即，∴BF＝.
【模型分析】
模型特点：三个等角在同一直线上，如图中，∠1＝∠2＝∠3，可根据三角形内角和定理及补角的性质得另一组等角，从而得三角形相似.
解题思路：有边相等证全等；无边相等证相似.
模型四　一线三等角型
【跟踪训练】
7.如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝60°，AB＝6，BD＝2，则CE的长等于_____.

8.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE，有∠ADE＝45°.
(1)证明：△BDA∽△CED.
(2)若BC＝6，当AE＝ED时，BD＝__________.
(1)证明：∵∠AED＝∠C＋∠EDC＝45°＋∠EDC，
而∠ADC＝∠ADE＋∠EDC.
∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝45°＋∠EDC，
∴∠AED＝∠ADC.
∴∠DEC＝∠ADB(等角的补角相等).
而∠B＝∠C＝45°，∴△BDA∽△CED.
3
【模型分析】
模型特点：从一个顶点出发，散发出来的四条线段对应成比例，然后夹角相等，则有三角形相似.
手拉手模型，也叫做旋转模型，即凡是一个图形绕某个顶点旋转，就会出现手拉手模型.
模型五　手拉手模型
【跟踪训练】
9.如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线交AD于点F，如果AB＝3，BC＝4，那么DF的长是_____.

10.如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且
△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC'沿C'B'方向平移至EB'，
连接BE，若CC'＝，则BE的长为(　　)
A.1
B.
C.
D.2
B(共25张PPT)
第二部分 专题突破
专题八　题型专题突破
题型一　填空题突破
反比例函数综合
1.如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好经过点C，则k的值为_____.

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y＝(k≠2)上，则k的值是__________.
6
3.如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象同时经过顶点C，D，若点C的横坐标为10，BE＝3DE，则k的值为__________.
15
4.如图，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点C，D，若△OBC的面积为，且AD∶
CD＝3∶5，则k的值为__________.
12
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA'D，若反比例函数
y＝(k≠0)的图象经过A'点，则k的值为__________.
12
6.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－6，10)，B(－6，0)，C(4，0)，将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使点A落在y轴上，与此同时，顶点C恰好落在双曲线y＝上，则k＝__________.
－12
7.如图，在平行四边形OABC中，点C在y轴正半轴上，点D是BC的中点，若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过A，D两点，
且△ACD的面积为2，则k＝_____.

8.如图，正比例函数y＝ax(a＞0)的图象与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴，y轴交于C，D两点.当AC＝2AD，S△BCD＝18时，则k＝_____4_____.
9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过点C，交AB于点D，若sin B＝，S△OCD＝6，则k的值为__________.
4
10.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，AO＝AB＝2，将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数y＝的图象经过
点C，则k的值为__________.
3
几何综合计算
1.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，CD＝，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，且AE的延
长线交BC边于点F，则BF＝_____.

2.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则
BD＝__________.
3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD垂直∠ABC外角平分线于点D，过点D作BC的垂线，交CB延长线于点E，连接
DC交AB于点F，，DE＝，那么BE的长为________.
1
4.如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接OF，AE，CF，则线段OF长的最小值
为__________.
5－2
5.如图，平行四边形AB'C'D'是由平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转而得到的，其中点B'在BC边上，边B'C'与边CD交于点
E，已知AB＝3，BC＝4，BB'＝1，则CE＝_____.

6.如图，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝5，DC＝13，FC＝9，则BE＝__________.
7
7.如图，已知四边形ABCD是边长为8的正方形，点E，F分别
是BC，CD的中点，AE与BF相交于点G，连接DE，交BF于点
H，则GH的长为______.

8.如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABDE，正方形的对角线交于点O，连接CO，如果AC＝4，
BC＝8，那么CO＝__________.
6
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE＝
45°，BD＝2AD，则CE＝__________.
2
10.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，BC＝2CD，AB＝8，CD＝2，AD＝2，则BD＝__________.
2
11.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝120°.按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，BC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交
AC于点O，交AD于点P.则CO的长为_____.

12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝15，BC＝20，D是AC边的中点，连接BD，将△ABD沿BD翻折，得到
△EBD，连接CE，则△BCE的面积是__________.
42
13.如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形CDE，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝70，DC＝CE＝42，连接AD，BE.若∠ACD＝60°，M为AD的中点，CM交BE于点N，
则MN的长为______________.
49－15
14.如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作EF⊥DE交BC于点F，对角线AC分别交DE，DF于点G，H，当DH⊥AC时，则的值为_____.
(共19张PPT)
第二部分 专题突破
专题四　六大常考全等模型
【模型分析】
模型特点：有一组边共线或部分重合，另外两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角.
模型一　平移型
【跟踪训练】
1.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，
∠AED＝∠B.若DE＝3，CE＝4，则BC＝__________.
3
【模型分析】
①在三角形中：
模型二　翻折型
②在正方形中：
(1)如图1，在正方形ABCD中，
AC是对角线.
结论：△ADE≌△ABE，
△CDE≌△CBE.
(2)如图2，在正方形ABCD中，CE＝CF.
结论：△CDF≌△CBE，△GBF≌△GDE.
模型特点：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合.
【跟踪训练】
2.(2024·浙江一模)如图，在△ABD中，∠DAB＝∠DBA，AC⊥BD交BD的延长线于点C，BE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证：△BDE≌△ADC.
(2)若AD＝3，DE＝2，则BE＝ ________.
(1)证明：∵∠DAB＝∠DBA，∴AD＝BD，又∵AC⊥BD，BE⊥AD，
∴∠C＝∠E＝90°，在△BDE和△ADC中，
∴△BDE≌△ADC(AAS).
3.(2024·威海)如图，在△ABE中，AB＝AE，点C，D在边BE上，BC＝DE.求证：∠BAC＝∠EAD.
证明：∵AB＝AE，∴∠B＝∠E.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).∴∠BAC＝∠EAD.
【模型分析】
模型特点：此模型可看作三角形绕对称中心旋转180°，运用线段的和差找相等线段，即△DAF绕AC中点O旋转180°得到△BCE.
模型三　不共顶点旋转型
【跟踪训练】
4.(2024·深圳龙珠学校一模)如图，已知AD＝CB，AE＝CF，∠A＝∠C，求证：△ADF≌△CBE.
证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE(SAS).
【模型分析】
①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分.
模型四　共顶点旋转型(手拉手)
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.
模型特点：此模型可看成是将两个三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角.
【跟踪训练】
5.(2024·深圳模拟)如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD.求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠1＝∠2，
∠1＋∠DAF＝∠2＋∠DAF，即∠BAC＝∠DAE，
∵∠AFE＝∠CFD，∠2＝∠3，
∠C＝180°－∠3－∠CFD，∠E＝180°－∠3－∠AFE，
即∠C＝∠E，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(AAS).
【模型分析】
模型特点：具有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等，再证三角形全等或相似，根据全等或相似性质进行解题.
模型五　一线三垂直型
【跟踪训练】
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.
(1)求证：△ABD≌△CAE.
(2)若BD＝2 cm，CE＝4 cm，则DE＝
__________cm.
(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS).
6
7.已知△ABC≌△CDE，且B，C，D三点共线，∠B＝90°，连接AE.
(1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到.△ABC绕点B逆时针旋转90度，再向右平移__________(填“BC”“CD”或“BD”)的距离，可得△CDE.
BD
(2)若AC＝10，△ABC的周长为24，求线段BD的长.
解：∵AC＝10，△ABC的周长为24，
∴AB＋BC＝24－AC＝24－10＝14，
∵△ABC≌△CDE，∴AB＝CD，
∴BD＝BC＋CD＝BC＋AB＝14.
【模型分析】
模型特点：三个等角在同一条线上，称一线三等角模型(角度有锐角、钝角、直角)，利用三等角和三角形内角和找全等三角形所需的角相等的条件.一线三等角的解题理念：有边相等证全等；无边相等证相似.
模型六　一线三等角
【跟踪训练】
8.如图，在△ABC和△DCE中，AB＝AC＝DC＝DE＝10，
AC⊥CD，点B，C，E在同一条直线上.若BC＝12，则CE的长
为(　　)
A.10
B.16
C.18
D.20
B
9.(2024·深圳南山期中)课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20 cm，小聪很快就知道了砌墙砖块
的厚度的平方(每块砖的厚度相等)为 ________.
cm2(共18张PPT)
第二部分 专题突破
专题一　函数中的面积问题
核心笔记
三角形一边平行于坐标轴(或在坐标轴上)，直接使用三角形的面积公式：S△ABC＝BC·AD.
一次函数与三角形面积问题
①　　 ②　 ③　 ④
①S△ABC＝BC·AD＝(xC－xB)·|yA|；
②S△ABC＝BC·AD＝|xA|·(yC－yB)；
③S△ABC＝BC·AD＝(xC－xB)·(yA－yD)；
④S△ABC＝BC·AD＝(yB－yC)·(xA－xD).
【跟踪训练】
1.如图，一次函数y＝x＋3的图象与x轴交于点A，与y轴交于
点B，则△AOB的面积是__________.
3
2.如图，直线y＝－2x＋4分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x＋1交x轴于点C，交直线AB于点P，则△POC的面积是______.
1
核心笔记
三角形三边都不平行于坐标轴(或不在坐标轴上)，常见方法如下：
①延长一边
S△OAB＝S△OAC－S△OBC
②构造与坐标轴平行的线段 S△OAB＝S△OAC＋S梯形ACDB－S△ODB (铅垂法)S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝(xC－xB)·(yA－yD)
(构造矩形法)S△ABC＝S矩形DBEF－S△ABD－S△BEC－S△AFC
【跟踪训练】
3.如图，若A(2，3)，B(6，1)，则△AOB的面积是(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
D
核心笔记
反比例函数与三角形面积问题的求法：(1)公式法；(2)割补法.
特别提醒：底和高通常选择“横的或竖的”线，这样容易通过点的坐标来表示长度.
反比例函数与三角形、四边形面积问题
【跟踪训练】
4.如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(3，0)，点C在第一象限内，且CB⊥x轴，AC＝AB，反比例函数y＝(k＞0)的图象交AC于点D，交BC于点E，若点D是AC的中点，则△CDE的
面积是(　　)
A. B.3
C. D.
D
核心笔记
反比例函数与四边形面积问题：(1)根据图形面积求比例系数(表达式)；(2)已知比例系数求特殊图形的面积.
【跟踪训练】
5.如图，直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，过
A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，曲线y＝在第一象限经
过C，D两点，则k的值是(　　)
A.3
B.6
C.8
D.24
A
6.如图，直线y＝－x与反比例函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连
接AD，BC，则四边形ACBD的面积为(　　)
A.4
B.8
C.12
D.24
C
【综合训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴
上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y＝(x＞0)的
图象上，则△OAB的面积等于(　　)
A.2
B.3
C.4
D.6
B
2.如图，在反比例函数y＝(x＞0)的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交反比例函数y＝－(x＜0)的图象于点B，连接
OA，OB，则△AOB的面积是(　　)
A.3
B.5
C.6
D.10
B
3.如图，已知一次函数y＝x＋a与y＝－x＋b的图象都经过
A(2，0)，且与y轴分别交于点B，C，则△ABC的面积为_____.
3
4.如图，一次函数y1＝kx＋2的图象与反比例函数y2＝－的图象相交于A(a，－2a)，B(4，－2)两点.
(1)求a，k的值.
解：∵一次函数y1＝kx＋2的图象与反比例函
数y2＝－的图象相交于A(a，－2a)，B(4，－2)两点.
∴－2＝4k＋2，
∴k＝－1，∴y1＝－x＋2，代入A(a，－2a)，得－2a＝－a＋2，
解得a＝－2，∴a的值为－2，k的值为－1；
(2)结合图象，直接写出不等式kx＋2＋＜0的解集.
(3)连接OA，OB，求△AOB的面积.
解：(2)不等式kx＋2＋＜0的解集为－2＜x＜0或x＞4；
(3)如答图，令AB与y轴交于点C，
由直线y1＝－x＋2可知C(0，2)，
∴△AOB的面积＝×2×4＋×2×2＝6.(共12张PPT)
第二部分 专题突破
专题二　与中点有关的问题
核心笔记
已知中点，考虑中位线性质
①如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE 结论：DE∥BC，DE＝BC
②如图，在△ABC中，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E 结论：AE＝EC，DE＝BC
【跟踪训练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，点D是BC边的
中点，点E在AC边上，若∠DEC＝45°，则DE的长是_____.

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点(不与点B重合)，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的取值范围为(　　)
A.3＜DE＜4 B.3≤DE＜4
C.3≤DE≤4 D.≤DE＜4
D
核心笔记
1.遇到直角三角形斜边中点的时候，考虑作斜边上的中线.
已知斜边中点，考虑斜边上的中线性质
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点 结论：CD＝AB
2.遇到等腰三角形底边中点的时候，利用“三线合一”解题.
如图，在等腰△ABC中，D为底边BC的中点 结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC
【跟踪训练】
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝4，D为BC的中点，4AE＝AB，则△EBD的面积为_____.

核心笔记
中线平分面积
如图，AD是△ABC的中线 结论：BD＝CD，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC
【跟踪训练】
4.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的
中点，且△ABC的面积是4 cm2，则阴影部分的面积等于(　　)
A.2 cm
B.1 cm2
C.0.25 cm2
D.0.5 cm2
B
核心笔记
1.遇到三角形的中线时，考虑倍长中线构造全等三角形.
遇中线考虑倍长中线或类中线
如图，AD是△ABC的中线 结论：△ACD≌△EBD
2.遇到三角形一边的中点时，考虑构造类中线，倍长类中线以构造全等三角形.
如图，D是BC的中点 结论：△BDE≌ △CDF
【跟踪训练】
5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD
＝6，那么边BC的长为__________.
6.如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D
是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，
且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为__________.
2
2(共17张PPT)
第二部分 专题突破
专题三　与角平分线有关的问题
核心笔记
1.若已知OP为∠MON的平分线，PA⊥OM，PB⊥ON，由角平分线上的点到角两边的距离相等，得PA＝PB，Rt△POA≌Rt△POB.
2.若只有角平分线，可以向角的两边作垂线，构造边的垂线，得到两个全等三角形.
遇角一边的垂线，考虑角平分线的性质
【跟踪训练】
1.(2023·深圳光明区期末)如图，在△ABC中，两条角平分线
相交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，若PD＝1，△ABC的周
长为12，则△ABC的面积为__________.
6
核心笔记
1.若点P是∠MON的平分线上的一点，且PQ∥ON，可得等腰三角形OPQ，利用等腰三角形的性质解题.
2.有角平分线无平行线时，可构造平行，可简记为“角平分线＋平行线，等腰必呈现”.
遇角一边(或角平分线)的平行线，利用等腰三角形的
性质
【跟踪训练】
2.如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，BE＝
4 cm，AB＝6 cm，则AD的长度是(　　)
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
D
3.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若BM＋CN＝7，则MN的长为(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
B
核心笔记
若点P是∠MON的平分线上的一点，且AP⊥OP，可延长AP交ON于点B，则△AOP≌△BOP，△AOB是等腰三角形.可记为“角平分线遇上垂直，三线合一试试看”.
遇角平分线的垂线，考虑等腰三角形的“三线合一”
性质
【跟踪训练】
4.(2024·深圳模拟)如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝__________.
58°
5.如图，以AB为直径的☉O的半径为3，∠BAC＝30°，C是☉O上一点且AC平分∠BAD，∠D＝∠CBD，则AD的长为__________.
12
核心笔记
①如图1，若BD，CD分别是△ABC内角∠ABC，∠ACB的平分线.
结论：∠D＝90°＋∠A.
双角平分线模型
图1
②如图2，若BD，CD分别是△ABC外角
∠EBC，∠FCB的平分线.
结论：∠D＝90°－∠A.
③如图3，若BD，CD分别是△ABC内角
∠ABC，外角∠ACE的平分线.
结论：∠D＝∠A.
图2
图3
【跟踪训练】
6.如图，在四边形ABCD中，∠ABC的平分线
与∠BCD的平分线交于点P，∠P＝115°，则
∠A＋∠D＝__________.
230°
7.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在边BC上的点A'处.若∠A＝44°，则∠1＋
∠2＝__________.
88°
核心笔记
如图，若点P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上的任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接BP.
结论：△AOP≌△BOP.
利用对称构造全等三角形
【跟踪训练】
8.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的
平分线交BC于点D.求证：AB＋BD＝AC.
证明：如答图，在AC上取一点E，使AB＝AE，连接DE，
在△ABD和△AED中，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴∠B＝∠AED，BD＝DE.
又∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C.
∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AB＋BD＝AE＋EC＝AC.
【综合训练】
1.如图，BD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则△ABD的面积是(　　)
A.30 B.20
C.15 D.10
C
2.(2024秋·深圳福田校级月考)如图，已知AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，△ABC的面积为28，AB＝8，
BD∶DC＝4∶3，则AC的长为(　　)
A.2 B.6
C.4 D.5
B
3.(2024·深圳宝安期末)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD是△ABC的一条角平分线，点E，F分别是线段AD，AC上的动
点，若AD＝4，BD＝3，则线段CE＋EF的最小值是(　　)
A.
B.5
C.4
D.6
A
4.如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为__________.
4(共16张PPT)
第二部分 专题突破
专题六　常见的折叠问题
核心知识
1.折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形，如图：
①线段相等：C'D＝CD，BC'＝BC；
②角度相等：∠1＝∠2，∠3＝∠4；
③全等关系：△BC'D≌△BCD；
④常用特殊三角形：△EBD是等腰三角形，△ABE是直角三角形.
2.折痕可看作互相重合的两点之间的垂直平分线：BD垂直平分CC'.
3.折痕可看作角平分线(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等).
特别提醒：对于每种特定的折叠方式，要熟悉其中的相关结论，解决每一道题所用到的方法、知识点要列清单，突破口要彻底消化.
1.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使△ABC折叠至△AEC，CE交AD于点F.
结论：①∠ACB＝∠ACE＝∠CAF；
②AF＝CF；③△AEF≌△CDF；
④若知道AD，CD的长，则可以用
勾股定理求CF或AF的长.
折痕过顶点
2.矩形ABCD中，点P在AD上，将△ABP沿BP折叠至△EBP，如图1，点A落在CD边的点E处；如图2，点A落在对角线BD上的点E处；如图3，点A落在矩形外的点E处.
结论：图1，△PDE∽△ECB；图2，△PDE∽△DBC；图3，△PDF∽△GEF∽△GCB.
【跟踪训练】
1.(2024·苏州模拟)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF.
(2)若∠FCE＝40°，则∠CAB的度数是__________.
(1)证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°，
在△DAF和△ECF中，∴△DAF≌△ECF(AAS).
25°
核心知识
1.矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠，如图1，折叠至四边形GEFH，点B落在AD边的点H处；如图2，折叠至四边形GEFD，点B与点D重合.
结论：
图1：①△BEF和△EFH是等腰
三角形；
②可证四边形BEHF是菱形.
图2：①△BEF和△EFD是等腰
三角形；
②可证四边形BEDF是菱形，EF垂直平分BD.
折痕过两边
2.矩形ABCD中，点E，
F分别在AD，BC上，
将四边形ABFE沿EF
折叠，如图1，折叠至
四边形GEFH，点B落
在CD边的点H处；如
图2，折叠至四边形
GEFH，点B落在矩形外的点H处.
结论：
图1：①△EPG∽△HPD∽△FHC；
②BF＝HF，BE＝HE，EF垂直平分BH.
图2：①△EPG∽△NPD∽△NQH∽△FQC；
②BF＝HF，BE＝HE，EF垂直平分BH.
【跟踪训练】
2.如图，在矩形ABCD中，.动点M从点
A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点
B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动
点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点
N运动的速度为v2，且v1＜v2.当点N到达点C
时，M，N两点同时停止运动.在运动过程中，
将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA'B'N.若在某一时
刻，点B的对应点B'恰好与CD的中点重合，则的值为_____.

3.(2022·丽水)如图，将矩形纸片ABCD折叠，
使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.
(1)求证：△PDE≌△CDF.
(2)若CD＝4 cm，EF＝5 cm，则BC＝_____ cm.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
由折叠得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，
∠B＝∠PDF＝90°，∴PD＝CD，∠P＝∠C＝90°，
∵∠PDF＝∠ADC，∠PDF－∠ADF＝∠ADC－∠ADF，∴∠PDE＝∠CDF，
在△PDE和△CDF中，∴△PDE≌△CDF(ASA).

【综合训练】
1.(2024·深圳市南山外国语学校模拟)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M.已知AB＝2，BC＝3，则BM的长等于(　　)
A. B.
C. D.
D
2.(2024·珠海二模)如图，把一个矩形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C'位置，若∠EFB＝60°，则∠AED'＝
(　　)
A.50°
B.55°
C.60°
D.65°
C
3.如图，在矩形纸片ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB＝4，BC＝6，则
CF的长是(　　)
A.3
B.
C.
D.
D
4.(2024·湖州模拟)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连接BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接GF，则下列结论不正
确的是(　　)
A.BD＝10 B.HG＝2
C.EG∥FH D.GF⊥BC
D
5.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B，C重合，直线AP与DC的延长线交于点E.将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F.求证：FA＝FP.
证明：如答图，在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠1＝∠FAP.
由折叠可知∠1＝∠2，
∴∠FAP＝∠2.
∴FA＝FP.

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