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(共48张PPT)
第10课时　一次函数的图象和性质
第一部分　考点基础过关
第三章　函数
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
一次函数表达 式的确定 题20(1)， 4分 题17(1)， 3分
一次函数的应用 题20(2)， 4分 题17(2)， 2分
新课标要求 1.能根据简单问题中的已知条件确定一次函数的表达式；会在不同情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式.
新课标要求
2.会画出一次函数的图象，会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标.
3.会根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，探索并理解k值的变化对函数图象的影响.
4.认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律.
5.会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系.
6.能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题.
课 前 小 测
02
1.下列函数中，是一次函数的是(　　)
A.y＝＋1 B.y＝2x
C.y＝x2＋2 D.y＝kx＋b
2.直线y＝－x＋1不经过的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知一次函数y＝(k－3)x＋1，若y随x的增大而减小，则k的
取值范围是(　　)
A.k＞3 B.k＜3
C.k＞0 D.k＜0
B
C
B
4.将正比例函数y＝x的图象向下平移2个单位，则平移后所得
直线的表达式为(　　)
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝－x＋2 D.y＝－x－2
5.已知点A(3，y1)，B(5，y2)在直线y＝kx＋b上，若y1＜y2，则
(　　)
A.b＞0 B.b＜0
C.k＞0 D.k＜0
A
C
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.
特别提醒：当b＝0时，一次函数y＝kx也叫做正比例函数.
2.一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为_____________；与y轴的交点坐标为__________.
正比例函数和一次函数的定义

(0，b)
【跟踪训练】
1.定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数，若特征数为
[t，t＋3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为__________.
2.在平面直角坐标系中，一次函数y＝12x＋1的图象与y轴的交
点的坐标为__________.
y＝－3x
(0，1)
核心笔记
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与系数k，b的关系：
一次函数的图象与性质
b＞0 b＜0 b＝0
k＞0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大
b＞0 b＜0 b＝0
k＜0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小 【跟踪训练】
3.若点(a，b)在第二象限，则一次函数y＝ax－b的图象可能是
(　　)
D
A B C D
4.已知一次函数y＝x－5，下列说法错误的是(　　)
A.y随x的增大而增大 B.图象不经过第二象限
C.图象经过点(5，0) D.当x＞1时，y＞1
D
核心笔记
1.方法：待定系数法.
2.步骤：
(1)先设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)；
(2)将图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入y＝kx＋b中，得到方程组；
(3)解方程组得到k，b的值；
一次函数表达式的确定
(4)将k，b代入所设表达式.
特别提醒：若直线过原点，则设函数表达式为y＝kx(k≠0)；若一次函数表达式中只有一个待定系数，则只需要代入一个点的坐标即可求解.
【跟踪训练】
5.若一次函数y＝kx＋b的图象经过(0，6)，且与两坐标轴围成
的三角形的面积为3，则该函数的表达式为________________
_______________.
y＝－6x＋6或
y＝6x＋6
核心笔记
1.一次函数与方程的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标.
2.一次函数与方程组的关系：关于x，y的方程组的解是一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2图象的交点坐标.
一次函数与方程(组)、不等式的关系
3.两直线互相平行或垂直：
已知两直线表达式为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2).
(1)若l1∥l2，则k1＝k2；
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1.
4.一次函数与一元一次不等式的关系：
(1)求一元一次不等式kx＋b＞0的解集相当于求一次函数y＝kx＋b在y＞0时，x的取值范围(也就是直线y＝kx＋b在x轴上方部分对应的点的横坐标)；
(2)求一元一次不等式kx＋b＜0的解集相当于求一次函数y＝kx＋b在y＜0时，x的取值范围(也就是直线y＝kx＋b在x轴下方部分对应的点的横坐标).
【跟踪训练】
6.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交于点A(0，2)，且经过点B(1，1)，则关于x的方程kx＋b＝0的解为__________.
7.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象与直线y＝－3x＋6平行，且经过点(－1，4)，则这个一次函数表达式为______________.
x＝2
y＝－3x＋1
8.y＝kx与y＝6－x的图象如图所示，则0＜kx≤6－x的解集为______________.
0＜x≤2
核心笔记
1.常见应用问题：行程问题、方案问题、利润问题.
2.一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量及它们之间的函数关系；
(2)列一次函数表达式表示它们之间的关系；
(3)应用一次函数的图象及性质解题；
(4)检验结果的合理性，检验是否符合实际意义.
一次函数的应用
【跟踪训练】
9.某生物小组从4月中旬开始观察梨树叶的生长情况，记录
如表.
生长时间x/天 1 2 3 4 5 6 …
树叶长度y/cm 0.2 1.0 1.8 2.6 3.4 4.2 …
已知在一定时间内，树叶长度y与生长时间x之间满足一次函数
关系，由表格可知，下列说法正确的是(　　)
A.若x＝7，则y＝4.8
B.随着x的增大，y在不断地减小
C.第10天时，树叶长度将超过8 cm
D.从第二天开始树叶长度每天增加0.8 cm
D
10.电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系(其中100≤x≤160，且x为整数).当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件.求y与x之间的函数关系式.
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件，
∴解得
即y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋320.
课 堂 精 讲
04
例1　若正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，常数k和b互为相反数，则一次函数y＝kx－b在平面直角坐标系中的图象大致是(　　)
一次函数的图象和性质
A B C D
D
变1　关于函数y＝－2x＋3，下列说法中错误的是(　　)
A.该函数是一次函数
B.该函数的图象经过第一、二、四象限
C.当x值增大时，函数y值也增大
D.当x＝－1时，y＝5
C
常考题型：(1)用函数的观点看方程(组)或不等式的解；(2)不等式的解集就是对应函数的图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.
例2　如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比
例函数y＝的图象交于点A(2，3)，B(m，
－2)，则不等式ax＋b＞的解是(　　)
A.－3＜x＜0或x＞2 B.x＜－3或0＜x＜2
C.－2＜x＜0或x＞2 D.－3＜x＜0或x＞3
一次函数与不等式
A
变2　如图，正比例函数y＝kx(k是常数，
k≠0)的图象与一次函数y＝－x＋6的图象
相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式
－x＋6＞kx的解集是(　　)
A.x＞2 B.x＜2
C.x＞4 D.x＜4
B
例3　(2024·深圳模拟)物理实验证实：在弹性限度内，某弹
簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足函数关系y＝kx＋15.下
表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
待定系数法求一次函数表达式
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式.
(2)当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量.
解：(1)把x＝2，y＝19代入y＝kx＋15中，
得19＝2k＋15，解得k＝2，
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋15；
(2)把y＝20代入y＝2x＋15中，得20＝2x＋15，解得x＝2.5.
∴所挂物体的质量为2.5 kg.
变3　下表是一次函数y＝kx＋b(k≠0)中x与y的两组对应值.
(1)求该一次函数的表达式.
(2)求该一次函数的图象与x轴的交点坐标.
解：(1)设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
把(0，－4)和(3，2)分别代入表达式，得
∴一次函数的表达式为y＝2x－4；
(2)令y＝0，则2x－4＝0，解得x＝2，
∴该一次函数的图象与x轴的交点坐标为(2，0).
x 0 3
y －4 2
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)与点
(2，5)，求该一次函数的表达式.
满分：6分　　　　实得：
解：∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)与点(2，5)，
………………………………………………………………1分
∴代入表达式得……………………………3分
解得………………………………………………5分
∴一次函数的表达式为y＝2x＋1. ………………………6分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/8】
1.已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的
图象大致是(　　)
A B C D
B
2.(2024·德阳)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的
值可能是(　　)
A. B.－
C.－1 D.－
A
3.若y关于x的函数y＝2x＋n是正比例函数，则n应满足的条件
是(　　)
A.n≠0 B.n＝1
C.n＝0 D.n≠1
4.下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝x－4
C.y＝2x D.y＝－x＋1
C
D
5.(2024·深圳罗湖三模)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过第
二、三、四象限，则(　　)
A.k＞0 B.b＞0
C.kb＜0 D.kb＞0
6.若一次函数y＝3x＋b(b为常数)的图象经过点(－2，4)，则该
一次函数的图象与x轴交点的坐标为(　　)
A. B.(0，2)
C. D.(0，10)
D
C
7.(2024·扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别
与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程
kx＋b＝0的解为__________.
x＝－2
8.(2021·深圳)某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x(万元)与销售量y(件)的关系如表所示，求y与x的函数关系式.
x/万元 10 12 14 16
y/件 40 30 20 10
解：由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx＋b(k≠0)，则解得
∴y与x的函数关系式y＝－5x＋90.
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/4】
1.已知函数y＝(m－3)x的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＞x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是(　　)
A.m＜3 B.m＞3
C.m＜0 D.m＞0
2.在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝m(x－2)的图象向上平移2个单位后经过原点，则一次函数y＝x－m的图象不经过
(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
B
3.(2024·深圳龙华一模)一次函数y＝ax＋b的
图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象
大致是(　　)
A　　 B　 C　 　D
A
4.如图，直线y＝x＋6与两坐标轴分别交于A，B两点，OC＝
OB，点D，E分别是直线AB，y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是(　　)
A.4
B.4
C.2
D.2
A
(三)综合应用
【建议用时：5分钟　正确率：　/1】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
如图，正比例函数y＝－3x的图象与一
次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，
一次函数的图象经过点B(1，1)，与y轴
的交点为D，与x轴的交点为C.
(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式.
解：∵正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，
∴－3m＝3，m＝－1，∴P(－1，3)，
把(1，1)和(－1，3)代入一次函数y＝kx＋b，
得解得
∴一次函数表达式是y＝－x＋2；
(2)求△COP的面积.
解：由(1)知一次函数表达式是y＝－x＋2，
令y＝0，得－x＋2＝0，解得x＝2，∴点C(2，0)，∴OC＝2，
∵P(－1，3)，∴△COP的面积＝OC·|yp|＝×2×3＝3；
(3)不解关于x，y的方程组直接写出方程组的解.
解：由图象可知，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(－1，3)，
∴方程组的解为
(四)命题新方向
【教材拓展】新定义：[k，b]为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的“双减点”.若[3，a－2]是某正比例函数y＝kx(k≠0)的“双减点”，则下列关于y的不等式组的解集为__________.
3＜y＜8(共46张PPT)
第11课时　反比例函数的图象和性质
第一部分　考点基础过关
第三章　函数
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
反比例函数的增减性
反比例函数的实际应用
反比例函数与 一次函数综合 题21，9分 题12，3分
反比例函数与 几何图形综合问题 题14，3分 题14， 3分 题14， 3分 题12， 3分
新课标要求
1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
2.能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝(k≠0)，探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况.
3.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
4.能用反比例函数解决简单实际问题.
课 前 小 测
02
1.下列函数中，变量y是x的反比例函数的为(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝4x
2.反比例函数y＝的图象可能是(　　)
C
A B C D
C
3.点P与点Q(－3，－4)在同一个反比例函数图象上，则点P的
坐标可能是(　　)
A.(12，1)
B.(3，－1)
C.(4，－3)
D.(3，－4)
A
4.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(A)与电
阻R(Ω)是反比例函数关系.下列反映电流I与电阻R之间
函数关系的图象大致是(　　)
A B C D
D
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
特别提醒：y＝有时也被写成y＝k·x－1或xy＝k.
2.过双曲线y＝(k≠0)上任意一点向两坐标轴作
垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|，
如图，S矩形PBOA＝|k|，S△POA＝S△POB＝.
反比例函数的定义及系数k的几何意义
3.求反比例函数的表达式：
(1)待定系数法；
(2)步骤：
①设反比例函数表达式为y＝(k≠0)；②找出反比例函数图象上一点P(x，y)；
③将点P(x，y)代入表达式得k＝xy；④确定反比例函数表达式y＝.
特别提醒：若题中已给表达式，则不必设表达式.
4.反比例函数的实际应用：把实际问题转化为数学问题，建立反比例函数数学模型.注意自变量和函数值的取值的实际意义，正确认识图象，找到关键的点，运用好数形结合思想.
【跟踪训练】
1.函数y＝xk－1是反比例函数，则k＝(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
D
2.小强在学习了压强计算公式p＝后，发现
在压力F一定的前提下，压强p(Pa)与受力面
积S(m2)的函数图象如图所示.根据图象信息，
此时压力F的大小是(　　)
A.100 N B.25 N
C.4 N D.0.25 N
A
3.如图，点B是y轴上一点，过点B作AB⊥y轴与反比例函数y＝的图象交于点A，点P是x轴上一点，若△ABP的面积为3，则这个反比例函数的表达式为___________.
y＝－
核心笔记
1.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；也是轴对称图形，有两条对称轴，直线y＝x和y＝－x.反比例函数图象上的点关于坐标原点对称.
2.若m，n同号，则设正比例函数y＝mx与反比例函数y＝交于A，B两点，A，B两点关于原点对称；若m，n异号，则两函数图象没有交点.
反比例函数的图象和性质
3.一次函数y＝k1x＋b和反比例函数y＝在同一坐标系中的交点坐标：把两个函数关系式联立成方程组求方程组的解，得到的x和y的值就是交点的横坐标与纵坐标.
4.函数与方程、不等式之间的关系：
(1)两图象的交点代表y1＝y2；
(2)若函数y1的图象在函数y2的图象上方，则代表y1＞y2；
(3)若函数y1的图象在函数y2的图象下方，则代表y1＜y2.
5.求函数表达式——待定系数法.
特别提醒：反比例函数与一次函数相结合求表达式比较常见，求出交点坐标是解决问题的关键.
6.反比例函数的性质：
y＝(k≠0，k为常数) k __________ __________
图象
k＞0
k＜0
y＝(k≠0，k为常数) 所在 象限 第__________象限(x，y同号) 第__________象限(x，y异号)
增减性 在每一象限内，y随x的增大而__________ 在每一象限内，y随x的增大而__________
一、三
二、四
减小
增大
【跟踪训练】
4.如图，点P(－2a，a)是反比例函数y＝的
图象与☉O的一个交点，图中阴影部分的面
积为10π，则该反比例函数的表达式为(　　)
A.y＝－ B.y＝－
C.y＝－ D.y＝－
D
5.已知函数y1＝x与y2＝在同一平面直角坐
标系内的图象如图所示，当0＜y1＜y2时，
x的取值范围是______________.
6.反比例函数y＝－关于y轴对称的函数的
表达式为__________.
7.若反比例函数y＝的图象分别在第一、三象限，则k的取值范围是__________.
0＜x＜1
y＝
k＞2
8.如图，点P在反比例函数y＝的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y＝(m＜0)的图象相交于点A，B，若直线l：y＝kx＋b经过点A，B，则k的值为__________.
－3
课 堂 精 讲
04
例1　在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(k≠0)的图象如图
所示，则k的值可能是(　　)
A.－2 B.1
C.3 D.5
反比例函数的图象和性质
C
变1　已知反比例函数y1＝与y2＝的图象如图所示，则k1，
k2的大小关系是k1__________k2.(填“＞”“＜”或“＝”)
＜
常考题型：(1)已知k值求面积；(2)已知面积求k值.
例2　如图，点A在反比例函数y＝的图象上，
过点A作x轴的垂线，垂足为B，点C在y轴上，
若△ABC的面积为1，则k的值为(　　)
A.2 B.－2
C.1 D.－1
反比例函数系数k的几何意义
B
变2　如图，在反比例函数y＝(x＞0)的图象上有P1，P2，P3，
…，P2 024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2 024，
分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面
积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2 023，则S1＋S2＋S3＋…
＋S2 023＝_________.

例3　(2024·深圳坪山校级模拟)如图所示，一次函数y1＝－x＋m与反比例函数y2＝相交于点A和点B(3，－1).
(1)求m的值和反比例函数的表达式.
解：∵一次函数y1＝－x＋m与反比例函数y2＝
相交于点A和点B(3，－1)，
∴－1＝－3＋m，－1＝，解得m＝2，k＝－3，
∴反比例函数的表达式为y2＝－；
求反比例函数的表达式
(2)当y1＞y2时，求x的取值范围.
解：解方程组得或
∴A(－1，3)，
观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜－1或0＜x＜3.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　一次函数y＝－x＋m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1，2).求一次函数和反比例函数的表达式.
满分：6分　　　　实得：
解：∵一次函数y＝－x＋m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1，2)，
∴2＝－1＋m，2＝，…………………………………………2分
∴m＝3，k＝2，…………………………………………………4分
∴一次函数表达式为y＝－x＋3，反比例函数表达式为y＝. …6分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/6】
1.下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是(　　)
A.y＝6x B.y＝－6x
C.y＝ D.y＝－
2.关于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　)
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D.图象经过点(a，a＋2)，则a＝1
B
C
3.某工厂现有原材料300 t，平均每天用去x t，这批原材料能用
y天，则y与x之间的函数表达式是(　　)
A.y＝300x B.y＝
C.y＝300－ D.y＝300－x
4.(2024·深圳福田区外国语学校模拟)点(1，y1)，(2，y2)，
(3，y3)，(4，y4)在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中
最小的是(　　)
A.y1 B.y2
C.y3 D.y4
B
D
5.(2022·深圳)如图，已知直角三角形ABO中，AO＝1，将
△ABO绕点O旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB的中点，B'在
反比例函数y＝上，则k的值为_________.

6.(2023·深圳)如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标
系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝
，反比例函数y＝(k≠0)恰好经过点C，则k＝__________.
4
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】
1.已知压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系
式：F＝pS.当F为定值时，下图中大致表示压强p与受力面积
S之间函数关系的是(　　)
D
A B C D
2.(2024·深圳)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝上，点B落在反比例函数y＝(k≠0)上，则k＝__________.
8
3.(2020·深圳)如图，在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(3，1)，
B(1，2)，反比例函数y＝(k≠0)的图象经过 OABC的顶点C，
则k＝__________.
－2
4.(2021·深圳)如图，已知反比例函数过A，B两点，A点的坐
标为(2，3)，直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转
90°得到线段BC，则C点坐标为____________.
(4，－7)
5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C(0，－3)，CD＝
3AD，点A在y＝上，且y轴平分∠ACB，则k＝_________.
(三)综合应用
【建议用时：15分钟　正确率：　/1】
如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为
(4，n).
(1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞的x
的取值范围.
解：由图象可得k1x＋b＞的x的取值范围
是x＜－1或0＜x＜4；
(2)求这两个函数的表达式.
解：∵反比例函数y＝的图象过点A(－1，4)，B(4，n)，
∴k2＝－1×4＝－4，k2＝4n，∴n＝－1，∴B(4，－1)，
∵一次函数y＝k1x＋b的图象过点A，点B，∴解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3，反比例函数的表达式为y＝－；
(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标.
解：如答图，设直线AB与y轴的交点为C，∴C(0，3)，∵S△AOC＝×3×1＝，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×3×4＝，
∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，∴S△AOP＝×， 答图
∴S△COP＝S△AOP－S△AOC＝＝1，∴×3·xP＝1，
∴xP＝，∵点P在线段AB上，∴y＝－＋3＝，∴P.
(四)命题新方向
【跨学科】某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂长保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂长l，测量出相应的动力F，数据如表：(动力×动力臂长＝阻力×阻力臂长)
根据表中数据规律探求，当动力臂长l为2.0 m时，所需动力为
(　　)
A.150 N B.90 N
C.75 N D.60 N
动力臂长l/m … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
动力F/N … 300 150 100 a 60 …
C(共47张PPT)
第9课时　平面直角坐标系与函数
第一部分　考点基础过关
第三章　函数
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025
平面直角坐 标系中的平移 题10，3分
函数及其图象 题10，3分
对称点的坐标特征
新课标要求
1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标.
2.在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置.
3.对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，可以用坐标表达简单图形.
4.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
新课标要求
5.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例.
6.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
7.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值.
8.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义.
9.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
课 前 小 测
02
1.在平面直角坐标系中，点A(2，－3)位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在坐标平面内有一点P(0，b)(b≠0)，那么点P的位置在(　　)
A.原点上 B.坐标轴上
C.y轴上 D.x轴上
D
C
3.小明上学时以5 km/h的速度行走，他所走的路程s(km)与时
间t(h)之间的关系可用s＝5t来表示，则下列说法正确的是(　　)
A.s，t和5都是变量
B.s是常量，5和t是变量
C.5是常量，s和t是变量
D.t是常量，5和s是变量
C
4.若点M(－5，1)与点N关于x轴对称，则点N的坐标是(　　)
A.(－5，1) B.(－5，－1)
C.(－1，5) D.(5，1)
5.已知平面直角坐标系中的点P(2，4)，将它沿y轴方向向下平
移2个单位所得点的坐标是(　　)
A.(2，2) B.(2，6)
C.(0，4) D.(4，4)
B
A
6.已知点A(2，m)与点B(n，－5)关于原点对称，则m＋n的值为
(　　)
A.－3 B.3
C.7 D.－7
7.已知点Q(－8，2)，它到x轴的距离是__________.
8.在函数y＝中，自变量x的取值范围是__________.
B
2
x≤3
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.定义
在平面内，两条互相__________且_____________的数轴组成平面直角坐标系.为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割成的四个部分，分别叫做第一象限、__________、__________、__________.
特别提醒：x轴和y轴上的点不属于任何象限.
平面直角坐标系
垂直
有公共原点
第二象限
第三象限
第四象限
2.各象限内点的坐标的特征
(1)P(x，y)在第一象限 ____________；
(2)P(x，y)在第二象限 ____________；
(3)P(x，y)在第三象限 ____________；
(4)P(x，y)在第四象限 ____________.
3.坐标轴上的点的特征
(1)点P(x，y)在x轴上 纵坐标__________；
(2)点P(x，y)在y轴上 横坐标__________；
(3)原点的坐标为(0，0).
x＞0，y＞0
x＜0，y＞0
x＜0，y＜0
x＞0，y＜0
y＝0
x＝0
4.各象限角平分线上点的坐标特征
(1)点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 __________；
(2)点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 __________.
5.对称点的坐标特征
(1)P(a，b) _____________；
(2)P(a，b) _____________；
(3)P(a，b) _____________.
特别提醒：口诀——关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号.
x＝y
x＝－y
P'(a，－b)
P'(－a，b)
P'(－a，－b)
(4)P(a，b) P'(b，a)；
(5)P(a，b) P'(－b，－a).
6.平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
(1)平行于x轴的直线上的点的_______________.
若AB∥x轴，则A(x1，n)，B(x2，n)；
(2)平行于y轴的直线上的点的________________.
若AB∥y轴，则A(m，y1)，B(m，y2).
纵坐标相同
横坐标相同
7.点到坐标轴的距离
(1)点(x，y)到x轴的距离是|y|；
(2)点(x，y)到y轴的距离是|x|；
(3)点(x，y)到原点的距离是.
8.平面直角坐标系中点的平移
(1)将P(x，y)向右平移a个单位长度后得_____________；
将P(x，y)向左平移a个单位长度后得_______________；
(2)将P(x，y)向上平移b个单位长度后得_____________；
P'(x＋a，y)
P'(x－a，y)
P'(x，y＋b)
将P(x，y)向下平移b个单位长度后得________________.
特别提醒：平移口诀——左减右加，上加下减.
9.拓展延伸
若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(1)线段PQ的中点坐标：；
(2)若PQ∥x轴，则PQ＝|x1－x2|；若PQ∥y轴，则PQ＝|y1－y2|；
(3)坐标平面内两点间距离公式：PQ＝.
P'(x，y－b)
【跟踪训练】
1.(2024·广西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，
点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为(　　)
A.(3，0)
B.(0，2)
C.(3，2)
D.(1，2)
C
2.在平面直角坐标系中，点P(－3，a2＋1)所在象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知在平面直角坐标系中，有线段AB，点A(－1，2)，点
B(7，2)，则线段AB中点的坐标为(　　)
A.(5，2) B.(4，2)
C.(3.5，2) D.(3，2)
B
D
4.点P(2x－1，x＋3)在第一、三象限角平分线上，则x的值为__________，P点坐标为__________.
5.已知点P(2m＋3，m＋3)，点Q(5，2)，直线PQ∥y轴，点P的坐标是__________.
6.已知平面直角坐标系中两点，其中点A的坐标为(1，1)，点
B的坐标为(4，5)，则A，B两点间的距离是__________.
4
(7，7)
(5，4)
5
核心笔记
1.常量与变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做__________.
2.函数：
(1)一般地，如果在某一变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说__________是自变量，__________是x的函数；
函数及其图象
变量
x
y
(2)函数的三种表示方法：表达式法、列表法、图象法；
(3)描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线；
(4)函数自变量的取值范围：
①当函数表达式是整式时，自变量可取__________；
②当函数表达式含有分式时，考虑分母不能为__________；
③当函数表达式含有二次根式时，被开方数为__________.
特别提醒：确定函数自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
全体实数
0
非负数
3.函数图象与实际问题的应用：
(1)找起点、终点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找出对应点；
(2)找特殊点：有交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
(3)判断图象趋势：判断出函数的增减性；
(4)确定图象是直线还是曲线.
【跟踪训练】
7.“白毛浮绿水，红掌拨清波”中，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为S＝πr2，下
列判断正确的是(　　)
A.r是因变量
B.π是常量
C.S是自变量
D.S，π，r都是变量
B
8.下列图象中，表示y不是x的函数的是(　　)
C
A B
C D
9.函数y＝中自变量x的取值范围是(　　)
A.x＝－2 B.x≠－2
C.x＞－2 D.x＜－2
10.如图，一个动点P从点A出发，沿着弧线AB，线段
BO，OA匀速运动到A，当点P运动的时间为t时，OP
的长为s，则s与t的关系可以用图象大致表示为(　　)
C
D
A　 　B　 C　　 D
课 堂 精 讲
04
例1　点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为2，且点P在第三象
限，则点P的坐标是(　　)
A.(2，－3)
B.(－2，－3)
C.(－3，2)
D.(－3，－2)
平面直角坐标系中点的坐标特征
B
变1　已知a＋b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面
直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是(　　)
A.(a，b) B.(－a，b)
C.(－a，－b) D.(a，－b)
D
例2　已知点P(－3，－1)关于y轴的对称点的坐标是(a，1－b)，
则ab的值为__________.
变2　点A(3，5)关于原点的对称点的坐标是_____________.
对称点的坐标特征及点的变化规律
9
(－3，－5)
例3　如图，在矩形ABCD中，A(－3，2)，B(3，2)，C(3，
－1)，则D的坐标为(　　)
A.(－2，－1)
B.(4，－1)
C.(－3，－2)
D.(－3，－1)
函数及其图象
D
变3　(2024·北京海淀区二模)某种
型号的纸杯如图1所示，若将n个这
种型号的杯子按图2中的方式叠放在
一起，叠在一起的杯子的总高度
为H，则H与n满足的函数关系可
能是(　　)
A.H＝10＋0.3n B.H＝
C.H＝10－0.3n D.H＝0.3n
A
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　(1)画出函数y＝2x＋1的图象；
　
x －2 －1 0 1
y －3 －1 1 3
解：列表：
…………………………………………………2分
描点、连线，画出函数图象；
答题模 板与评 分标准
满分：6分　　　　实得：
解：当x＝－4时，y＝2×(－4)＋1＝－7，……………4分
当x＝6时，y＝2×6＋1＝13，
所以，点A在此函数图象上，点B不在此函数图象上.
……………………………………………………………6分
(2)判断点A(－4，－7)，B(6，11)是否在此函数图象上.
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】
1.(2024·深圳一模)在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是(　　)
A.(3，1)
B.(－1，1)
C.(1，3)
D.(1，－1)
A
2.(2024·深圳龙岗模拟)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是
(　　)
A.2是变量 B.π是变量
C.r是变量 D.C是常量
3.在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为
(　　)
A.(－3，2) B.(－2，3)
C.(2，－3) D.(3，－2)
C
D
4.如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓
固定在一起，木条AB自由转动至AB'位置.在
转动过程中，下面的量是常量的为(　　)
A.∠BAC的度数 B.AB的长度
C.BC的长度 D.△ABC的面积
5.下列关系式中，y不是x的函数的是(　　)
A.|y|＝2x B.y＝2x－1
C.y＝x2－4x D.y＝
B
A
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/4】
1.象棋在中国历史悠久，由于用具简
单，趣味性强，至今仍是流行极为广
泛的益智游戏.如图是一局象棋残局，
已知表示棋子“馬”和“帥”的点的
坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则表
示棋子“炮”的点的坐标为(　　)
A.(2，3) B.(0，2)
C.(2，0) D.(1，3)
B
2.(2023·深圳)如图1，在Rt△ABC
中，动点P从A点运动到B点再到C
点后停止，速度为2单位/s，其中
BP长l与运动时间t(s)的关系如图2，
则AC的长为(　　)
A. B.
C.17 D.5
C
3.(2024·深圳福田模拟)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：
①△(a，b)＝(－a，b)；②○(a，b)＝(－a，－b)；
③Ω(a，b)＝(a，－b).
按照以上变换，例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于_____________.
(－3，4)
4.(2024·深圳一模)在平面直角
坐标系xOy中，矩形OABC如图
放置，动点P从(0，3)出发，沿
所示方向运动，每当碰到矩形
的边时反弹，反弹时反射角等
于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________；当点P第2 024次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________.
(1，4)
(7，4)
(三)综合应用
【建议用时：5分钟　正确率：　/1】
德国心理学家艾宾浩斯研究发现，
遗忘在新事物学习之后立即开始，
而且遗忘的进程并不是均匀的.如
果把学习后的时间记为x(时)，记
忆留存率记为y(%)，则根据实验
数据可绘制出曲线(如图所示)，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”.该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响.
(1)y是关于x的函数吗 为什么
(2)请说明点D的实际意义.
(3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议.
解：(1)根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，
∴y是关于x的函数；
(2)点D的实际意义是学习后第24小时，记忆留存率为33.7%；
(3)由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，故建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新.
(四)命题新方向
【跨学科】刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素.为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能(车速不超过120 km/h)，对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时车速v/(km/h) 0 10 20 30 40 …
刹车距离s/m 0 2.4 4.8 7.2 m …
请回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是_________________，因变量是_________________.
(2)请用关系式表示变量s与v之间的数量关系：____________ _____________；表格中m的值为__________.
(3)若该型号新能源汽车以90 km/h的速度前行，且与前车保持直线距离20 m，若遭遇紧急情况，前车突然停止原地不动，司机紧急制动后是否会发生追尾事故 __________(填“会”或“不会”).
刹车时车速v
刹车距离s
s＝0.24v
(0≤v≤120)
9.6
会(共47张PPT)
第12课时　二次函数的图象和性质
第一部分　考点基础过关
第三章　函数
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025
二次函数的图象及性质 题20，8分 题19，12分
待定系数法求二 次函数的表达式 题21(1)， 1分
a，b，c，b2－4ac 符号的确定 题9，3分
二次函数图象的 平移规律
二次函数与一元 二次方程的关系 题19，
7分
新课标要求
1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.
3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.
4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
课 前 小 测
02
1.下列函数中，是二次函数的是(　　)
A.y＝－ B.y＝－x
C.y＝2x＋1 D.y＝－2x2＋1
2.二次函数y＝3x2＋7x－5的一次项系数是(　　)
A.3 B.－7
C.7 D.－5
D
C
3.二次函数y＝3(x－1)2－2图象的顶点所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.用配方法将二次函数y＝x2－6x＋10化为y＝a(x－h)2＋k的形
式为(　　)
A.y＝(x－3)2＋1 B.y＝(x＋3)2＋1
C.y＝(x－3)2－1 D.y＝(x＋3)2－10
5.将抛物线y＝－8x2向右平移5个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为__________.
D
A
(5，0)
知 识 梳 理
03
核心笔记
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
特别提醒：当b＝0或c＝0或b，c同时为0时，也是二次函数.
二次函数的定义
【跟踪训练】
1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是(　　)
A.y＝x－3　　　 B.y＝ax2＋bx＋c　　　
C.y＝2x2　　　 D.y＝－
C
核心笔记
二次函数的图象及性质
抛物线 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c y＝a＋
开口方向 当a＞0时，开口向上，并向上无限延伸 当a＜0时，开口向下，并向下无限延伸
顶点 坐标 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k)
对称轴 y轴 y轴 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－
最 值 a＞0 x＝0时， ymin＝0 x＝0时， ymin＝c x＝h时， ymin＝0 x＝h时， ymin＝k x＝－时，ymin＝
a＜0 x＝0时， ymax＝0 x＝0时， ymax＝c x＝h时， ymax＝0 x＝h时， ymax＝k x＝－时，ymax＝
增 减 性 a＞0
a＜0
【跟踪训练】
2.如图，二次函数y＝a(x＋4)2＋k的图象与x轴交于A(－6，0)，
B两点，则下列说法正确的是(　　)
A.a＜0
B.点B的坐标为(－4，0)
C.当x＞－4时，y随x的增大而增大
D.图象的对称轴为直线x＝4
C
核心笔记
待定系数法求二次函数的表达式
已知条件 设表达式的形式 待定系数法求表达式
已知顶点(h，k)和其他点坐标 顶点式：y＝a(x－h)2＋k 联立方程，得出结果，再代回所设表达式
已知与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)和其他点坐标 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) 已知任意三个点坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c 【跟踪训练】
3.一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；
当x＝－2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是(　　)
A.y＝4x2＋3x－5 B.y＝2x2＋x＋5
C.y＝2x2－x＋5 D.y＝2x2＋x－5
4.若二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)，则
该二次函数的表达式为(　　)
A.y＝(x－2)2－1 B.y＝(x＋2)2－1
C.y＝(x－2)2－1 D.y＝－(x－2)2－1
A
C
核心笔记
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c.
1.a决定抛物线的开口方向和开口大小
上正下负
特别提醒：a还决定开口大小，即|a|越大，开口越小.　
a，b，c，b2－4ac符号的确定
2.a，b决定对称轴的位置
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－.
左同右异
3.c决定抛物线与y轴的交点位置
当x＝0时，y＝c，即抛物线与y轴的交点为(0，c).
上正下负
4.b2－4ac的符号决定抛物线与x轴的交点个数
(1)b2－4ac＞0 抛物线与x轴有2个交点；
(2)b2－4ac＝0 抛物线与x轴有1个交点；
(3)b2－4ac＜0 抛物线与x轴没有交点.
【跟踪训练】
5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则a，b，c满
足(　　)
A.a＜0，b＜0，c＜0
B.a＞0，b＜0，c＜0
C.a＜0，b＞0，c＞0
D.a＞0，b＜0，c＞0
D
核心笔记
二次函数图象的平移规律
平移前的表达式 移动方向(m＞0) 平移后的表达式 简记
y＝a(x－h)2＋k 向左平移m个单位 y＝a(x－h＋m)2＋k 左“＋”
右“－”
向右平移m个单位 y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k＋m 上“＋”
下“－”
向下平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k－m 【跟踪训练】
6.将抛物线y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的表达式为(　　)
A.y＝2x2
B.y＝2x2＋6
C.y＝2(x－2)2
D.y＝2(x－2)2＋6
A
核心笔记
二次函数与一元二次方程的关系
Δ＝b2－4ac 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
b2－4ac＞0 两个 两个不相等的实数根
b2－4ac＝0 一个 两个相等的实数根
b2－4ac＜0 无 无实数根
【跟踪训练】
7.抛物线y＝(x－3)2－4与x轴的交点个数是(　　)
A.2 B.1
C.0 D.不能确定
8.已知抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的交点坐标是(1，0)，则一元
二次方程x2－2x＋1＝0的解是__________.
A
x＝1
课 堂 精 讲
04
例1　将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平
移2个单位，得到的函数图象的表达式为(　　)
A.y＝5(x＋3)2＋2 B.y＝5(x－3)2＋2
C.y＝5(x＋3)2－2 D.y＝5(x－3)2－2
变1　将抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c向左平移2个单位，得到抛物线C2：y＝x2－2x＋3，则抛物线C1与y轴的交点坐标是__________.
二次函数的平移规律
D
(0，11)
常考题型：(1)根据二次函数的性质判定对错；(2)求二次函数的最值.
例2　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0，y1)，是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a＋2c＞0；
⑤对于任意实数m，都有m(am＋b)≥
a＋b.其中正确结论的个数是(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
二次函数的图象和性质
C
变2　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点
坐标为(－2，5)，与y轴的交点在x轴上方，结论正确的是(　　)
A.抛物线开口向下
B.c＜0
C.与x轴只有一个交点
D.4a－2b＋c＝5
D
例3　如图所示，在平面直角坐标系中，
抛物线与x轴分别交于A(3，0)，C(－1，0)
两点，抛物线与y轴的交点为B(0，－3).
求抛物线的表达式.
解：根据题意设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，
把B(0，－3)代入得－3＝－3a，则a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.
待定系数法求二次函数表达式
变3　抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，5)，与x轴相交于B(－1，0)，C(3，0)两点.求抛物线的函数表达式.
解：由题意得解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M.求该抛物线的表达式及点M的坐标.
满分：6分　　　　实得：
解：将A(－1，0)，B(2，0)代入y＝ax2
＋x＋c(a≠0)得
解得
故抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2. …3分
y＝－x2＋x＋2＝－.
故顶点M. ………………………6分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】
1.(2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　)
A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2
A
2.把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位，平移后图象
的函数表达式为(　　)
A.y＝x2＋2 B.y＝(x－1)2＋1
C.y＝(x－2)2＋2 D.y＝(x－1)2＋3
3.若二次函数y＝mx2＋x＋m(m－2)的图象经过原点，则m的值
为(　　)
A.2 B.0
C.2或0 D.1
C
A
4.已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则y＝
ax＋b和y＝的图象为(　　)
A　　 B　 　C　 　D
5.把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位，再向下平移3个单位，
得到的抛物线的表达式为_________________.
y＝2x2＋4x
C
(二)能力提升
【建议用时：10分钟 　正确率：　/3】
1.(2020·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所
示.以下结论错误的是(　　)
A.abc＞0
B.4ac－b2＜0
C.3a＋c＞0
D.关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
C
2.(2021·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋1与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A
A　　　 　B　　 　C　　　　 D
3.(2022·深圳改编)二次函数y＝x2先向上平移6个单位，再向右平移3个单位.
(1)m的值为_____________.
(2)在坐标系中画出平移后的
图象，并求出y＝－x2＋5与
y＝x2的交点坐标.
6
解：平移后的图象如答图所示；由题意得－x2＋5＝x2，解得x＝±，当x＝时，y＝，则交点坐标为，当x＝－时，y＝，则交点坐标为，综上所述：y＝
－x2＋5与y＝x的交点坐标分别为和；
(3)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴的同一侧，若y1＞y2，试比较x1和x2的大小.
y＝x2 y＝(x－3)2＋6
(0，0) (3，m)
(2，2) (5，8)
(－2，2) (1，8)
解：点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1＜x2或x1＞x2.
(三)综合应用
【建议用时：15分钟　正确率：　/1】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2020·深圳)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋
3(a≠0)与x轴的交点分别为A(－3，0)和
B(1，0)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)该抛物线的表达式为
____________________.
y＝－x2－2x＋3
(2)连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O，B，C的对应点分别为点O'，B'，C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动.记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式.
解：①0＜t＜1时，如答图1，若B'C'与y轴交于点F，
∵OO'＝t，OB'＝1－t，∴OF＝3OB'＝3－3t，
∴S＝×(C'O'＋OF)×OO'＝×(3＋3－3t)×t＝－t2＋3t，②1≤t＜时，S＝；
③≤t≤3时，如答图2，C'O'与AD交于点Q，B'C'与AD交于点P，过点P作PH⊥C'O'于H，∵AO＝3，O'O＝t，∴AO'＝3－t，O'Q＝6－2t，∴C'Q＝2t－3，
∵QH＝2PH，C'H＝3PH，∴PH＝C'Q＝(2t－3)，
∴S＝(2t－3)×(2t－3)，∴S＝－t2＋t＋，
综合以上可得，S＝
(3)如图2，过该抛物线上任意一点M(m，n)
向直线l：y＝作垂线，垂足为E，试问在该
抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得
ME－MF＝ 若存在，请直接写出F的坐标；
若不存在，请说明理由.
解：存在，点F的坐标为.
(四)命题新方向
【跨学科】生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活性值y(IU)与温度x(℃)的关系可以近似用二次函数y＝－x2＋14x＋142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为__________IU.
240(共30张PPT)
第13课时　函数的综合应用
第一部分　考点基础过关
第三章　函数
目录
CONTENTS
02 知识梳理
01 考情分析
03 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025
一次函数的实际应用 题20(2)， 4分 题17(2)，
4分
反比例函数的实际应用
二次函数的实际应用 题20(2)， 4分 题19，4分
新课标要求
1.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
2.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值.
3.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义.
4.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
知 识 梳 理
02
核心笔记
1.利用函数知识点解应用题的一般步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，找出等量关系(函数关系)；
(2)设定实际问题中的变量，建立变量之间的函数关系；
(3)列函数表达式，抓住题目中等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式；
(4)利用函数的性质解决问题.
利用函数知识点解应用题
2.几类函数模型：
(1)一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)；
(2)反比例函数模型y＝(k≠0)；
(3)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
【跟踪训练】
一、一次函数模型
1.漏刻是我国古代的一种计时工具，它体现了中国古
代人民对函数思想的创造性应用.如图，小明依据漏
刻的原理制作了一个简单的漏刻模型，研究中发现
水位h(cm)是时间t(min)的一次函数.
下表是小明记录的部分数据，当时间t为10 min时，对应的高
度h为(　　)
A
t/min 1 2 3 …
h/cm 2.4 2.8 3.2 …
A.6.0 cm B.5.2 cm
C.4.4 cm D.3.6 cm
2.某文具店新进了一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售.已知这种排球销售量y(个)与每个排球降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(1，110)，(3，130)代入y＝kx＋b得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x＋100；
(2)在这次排球销售中，该文具店获利1 760元，这种排球每个的实际售价多少元
解：根据题意得(60－x－40)(10x＋100)＝1 760，整理得x2－10x－24＝0，
解得x1＝12，x2＝－2(不符合题意，舍去)，
∴60－x＝60－12＝48(元).
答：这种排球每个的实际售价是48元.
二、反比例函数模型
(2024·深圳盐田模拟)山西地处黄
河中游，是世界上最早最大的农业
起源中心之一，是中国面食文化的
发祥地，其中的面条文化至今已有
两千多年的历史.厨师将一定质量的
面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面积x(mm2)的反比例函数，其图象经过A(4，32)，B(a，80)两点(如图).
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)求a的值，并解释它的实际意义.
解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝(x＞0)，
将(4，32)代入可得32＝，则k＝4×32＝128，
∴y与x之间的函数表达式为y＝(x＞0)；
(2)将(a，80)代入y＝，则80＝，∴a＝1.6，
实际意义：当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条的总长度为80 m.
三、二次函数模型
1.(2024·珠海模拟)某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随着销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为w＝－2x＋280.设这种绿茶在这段时间的销售利润为y(元)，则y和x的关系式为____________________________.
y＝－2x2＋400x－16 800
2.火炮射程的远近主要与
炮弹发射初速度和发射角
度有关，假设在这两个因
素都固定的前提下(忽略空
气阻力、炮口与底面的高
度等其他因素)，某科研机构对新研制的火炮进行测试，射击时，炮弹飞行的竖直高度y(百米)与水平距离x(百米)近似满足二次函数关系.在某次测试时，以炮口为坐标原点，以火炮和山丘M所在水平线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，当炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度，最大高度是2.88百米；山丘M位于火炮正前方，山丘M顶部距炮口的水平距离为8百米，山丘高为2.3百米.
(1)求出满足炮弹飞行轨迹的函数关系式.
(2)判断炮弹能否越过山丘，并说明理由.
解：(1)炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米，
∴设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为y＝a(x－12)2＋2.88，
代入(0，0)得144a＋2.88＝0，
∴a＝－0.02，∴y＝－0.02(x－12)2＋2.88；
(2)∵山丘M顶部距炮口的水平距离为8百米，
∴当x＝8时，y＝2.56＞2.3，
∴炮弹能够越过山丘；
(3)若在山丘另一侧点N处设置一目标物(假设火炮、山丘、目标物在同一水平线上)，炮弹的最大杀伤半径为2百米，则目标物应该设置在距山丘顶部水平距离d为多少百米范围内，才能使射击有效
解：令y＝－0.02(x－12)2＋2.88＝0，得x＝0或x＝24，
∴炮弹落在距离炮口24百米的地方，
∵炮弹的最大杀伤半径为2百米，山丘M顶部距炮口的水平距离为8百米，
∴为使射击有效，目标物设置在距山丘顶部水平距离d应满足24－2－8≤d≤24＋2－8，
∴14≤d≤18.
中 考 演 练
03
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/2】
1.(2024·深圳光明模拟)验光师通过
检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片
焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图
象如图所示.经过一段时间的矫正治疗，
小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，
则近视眼镜的度数减少了__________度.
200
2.某种优质蚊香一盘长为105 cm(如图)，小海点燃后观察发现其每小时缩短10 cm.
(1)写出蚊香点燃后的长度y(cm)与点燃时
间t(h)之间的函数表达式.
(2)该盘蚊香可使用多长时间
解：(1)∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴y＝105－10t(0≤t≤10.5)；
(2)∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y＝0，∴105－10t＝0，
解得t＝10.5，∴该盘蚊香可使用10.5 h.
(二)能力提升
【建议用时：10分钟 　正确率：　/1】
某种子站销售一种玉米种子，单价为5元/千
克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款
金额y(元)与购买种子数量x(千克)之间的函
数关系如图所示.
(1)当x≥2时，求y与x之间的函数关系式.
(2)徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少
千克
解：(1)y＝4x＋2(x≥2)；
(2)徐大爷付款20元能购买这种玉米种子4.5千克.
(三)综合应用
【建议用时：15分钟　正确率：　/1】
【项目化学习】(2024·深圳龙岗34校联考)
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”.
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图1所示，一个静止的小球从斜坡顶端滚下，沿水平木板做直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(s)、运动速度v(cm/s)、滑行距离y(cm)的数据.
记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度v/(cm/s) 10 9 8 7 6 5 …
滑行距离y/cm 0 19 36 51 64 75 …
根据表格中的数值即可分别在图2、图3中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象.
任务一：描点画图
(1)请在图2中画出v与x的函数图象.
解：画出v与x的函数图象如答图；
任务二：观察分析
(2)数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图2中v与x的函数关系为一次函数关系，图3中y与x的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式.(不要求写出自变量的取值范围)
解：由答图中图象可知：v与x的函数关系为一次函数关系，
∴设v＝kx＋c，代入(0，10)，(2，9)，得
解得
v＝－x＋10；y＝－x2＋10x；
任务三：问题解决
(3)当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离.
(4)若小球到达木板点A处的同时，在点A的前方n cm处有一辆
电动小车，以2 cm/s的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞
上小车，求n的取值范围.
解：(3)当v＝－x＋10时，解得x＝20.
将x＝20代入y＝－x2＋10x，得y＝－×202＋10×20＝100.
∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑行距离为100 cm.
(4) n＞64
(四)命题新方向
【跨学科】(2024·深圳罗湖模拟)物理课上，
同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬
浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度
h(cm)是液体的密度ρ(g/cm3)的反比例函数，
当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，
h＝20 cm.
(1)h关于ρ的函数表达式为__________.
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度ρ.
解：把h＝25代入h＝，得25＝，解得ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为0.8 g/cm3.
h＝

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