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(共55张PPT)
第14课时　线、角、相交线与平行线
第一部分　考点基础过关
第四章　三角形
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析
命题点 2021 2022 2023 2024 2025
平行线 题7，3分 题7，3分 题5，3分 题6，3分
垂直平分线 题13，3分
角平分线
新课标要求
1.线与角
(1)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；
(2)掌握基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短；
(3)理解两点之间距离的意义，能度量两点间的距离；
(4)理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差.
新课标要求
2.相交线与平行线
(1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质；
(2)理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线，掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；
新课标要求
(3)识别同位角、内错角、同旁内角，理解平行线的概念，掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
(4)探索并证明平行线的判定定理，掌握平行线的性质定理；
(5)能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线，了解平行于同一条直线的两条直线平行.
课 前 小 测
02
1.(2024·河南)如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为(　　)
A.60° B.50°
C.40° D.30°
B
2.(2024·广西)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为
(　　)
A.20° B.40°
C.60° D.80°
C
3.(2024·四川凉山)如图，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点
D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC
＝(　　)
A.25 cm B.45 cm
C.50 cm D.55 cm
C
4.(2024·深圳三模)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，
BA，AC上的点，连接EF，ED，EC，则下列条件中，能判定
DE∥AC的是(　　)
A.∠1＝∠2
B.∠3＝∠4
C.∠EFC＋∠ACB＝180°
D.∠BED＝∠EFC
B
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.线段和射线是直线的一部分，__________没有端点，射线有__________端点，线段有__________端点.
2.(1)直线基本事实：__________确定一条直线；
(2)线段基本事实：__________，线段最短.
3.线段的中点：将一条线段分成两条相等的线段的点.
直线、射线、线段
直线
一个
两个
两点
两点之间
【跟踪训练】
1.(2024·深圳市坪山实验学校二模)关于如图中的点和线，下列说法错误的是(　　)
A.点C在直线AB上 B.点C在线段AB上
C.点B在射线AC上 D.点B在线段AC上
2.已知线段AB＝12 cm，直线AB上有一点C，且BC＝6 cm，
M是线段AC的中点，则线段AM的长为_______________.
D
9 cm或3 cm
核心笔记
1.角的定义：有公共端点的两条__________组成的图形叫做角.角的测量与比较：1°＝__________'，1'＝__________″.
2.互为余角：如果两个角的和等于__________°，则这两个角互余.
性质：同角(或等角)的余角__________.
角
射线
60
60
90
相等
3.互为补角：如果两个角的和等于__________°，则这两个角互补.
性质：同角(或等角)的补角__________.
4.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的_________ ________，这两个角叫做对顶角.
性质：对顶角__________.
180
相等
反向延
长线
相等
【跟踪训练】
3.0.25°等于(　　)
A.90' B.60'
C.15' D.360'
4.若∠A＝55°，则∠A的补角为(　　)
A.35° B.45°
C.115° D.125°
C
D
5.(2024·佛山模拟)如图，能用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的是(　　)
C
A B C D
核心笔记
1.同一平面内两直线的位置关系有__________和__________.
2.(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线__________.
(2)平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
平行线
平行
相交
平行
3.平行线间的距离：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫做两条平行线间的距离.
性质：两条平行线间的距离处处__________.
4.识别“三线八角”：同位角、内错角、同旁内角.
5.平行线的判定：__________相等，两直线平行；__________相等，两直线平行；__________互补，两直线平行.
6.平行线的性质：两直线平行，__________相等；两直线平
行，__________相等；两直线平行，__________互补.
相等
同位角
内错角
同旁内角
同位角
内错角
同旁内角
【跟踪训练】
6.(2024·深圳模拟)如图，∠1和∠2是同位角的是(　　)
C
A B C D
7.(2024·深圳龙华三模)如图，直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置(顶点C在直线l1上)，若
∠1＝44°，则∠2的度数为(　　)
A.14°
B.15°
C.16°
D.18°
C
核心笔记
1.垂直性质：过一点有且只有_________直线与已知直线垂直.
2.直线外一点与直线上各点连接的所有__________中，垂线段最短.
3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的__________的长度，叫做点到直线的距离.
垂线
一条
线段
垂线段
【跟踪训练】
8.(2024·深圳福田二模)如图，∠AOB＝45°，OA＝4，C是射线OB上的动点，求AC长的最小值.
解：AC长的最小值是2.
核心笔记
1.角平分线
(1)性质：__________上的点到角的两边的距离相等；
(2)判定：角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.
2.线段垂直平分线
(1)性质：__________________上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(2)判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_______________上.
角平分线与垂直平分线
角平分线
角平分线
线段垂直平分线
垂直平分线
【跟踪训练】
9.(2024·深圳实验学校模拟)如图，DE
为△ABC的中位线，∠ABC的平分线交
DE于点F，若EF＝2，BC＝10，则AB
的长为(　　)
A.3 B.5
C.6 D.8
C
10.(2024·深圳南山模拟)如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB＝7，AC＝
12，BC＝6，则△ABD的周长为__________.
19
核心笔记
1.命题及真假命题：对某一事件作出__________或__________判断的语句(或式子)叫做命题.__________的命题称为真命题；__________的命题称为假命题.
2.如果第一个命题的题设是另外一个命题的__________，而第
一个命题的结论是另一个命题的__________，那么这两个命题叫做互逆命题.
命题
正确
错误
正确
错误
结论
题设
【跟踪训练】
11.下列命题是假命题的是(　　)
A.对顶角相等
B.同旁内角互补，两直线平行
C.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.在同一平面内的三点，一定能连成一个三角形
D
课 堂 精 讲
04
例1　(2024·深圳宝安期末)下列选项中，两条线能够相交的
是(　　)
直线、射线、线段
B
A B C D
变1　经过直线a外一点P的5条不同的直线中，与直线a相交的
直线至少有(　　)
A.2条 B.3条
C.4条 D.5条
C
常考题型：(1)求一个角的余角；(2)求一个角的补角.
例2　如果一个角的余角与这个角的补角的和为210°，那么这个角的度数是__________.
角
30°
变2　(2024·深圳南山区校级模拟)如图，将一副三角尺叠在
一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB＝160°，
则∠COD的度数为(　　)
A.20° B.30°
C.40° D.50°
A
例3　如图，已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD.连接DE，∠ADE＝3∠CDE.
(1)若∠AED＝60°，则∠CDE的度数为__________.
平行线的判定和性质
15°
(2)若∠AEB＝60°，探究DE与BE的位置关系，并说明理由.
解： DE⊥BE，理由如下：
∵∠AEB＝60°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝60°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠DAE＝120°，
∵AB∥CD，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝60°，
∵∠ADE＝3∠CDE，∠ADE＝∠ADC＋∠CDE，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
又∵AD∥BC，∴∠BED＝180°－∠ADE＝90°，∴DE⊥BE.
变3　如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠E.
(1)试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系 并说明理由.
解：AB∥CE.理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠ADF＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∵∠B＝∠E(已知)，∴∠ADF＝∠E(等量代换)，
∴AB∥CE(内错角相等，两直线平行)；
(2)若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度数.
解：∵AB∥CE，∴∠B＋∠BCE＝180°，
∵∠B＝50°，∴∠BCE＝130°，∵CA平分∠BCE，∴∠ACE＝＝65°，
∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝65°.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　(2024·自贡)如图，在△ABC中，
DE∥BC，∠EDF＝∠C.
(1)求证：∠BDF＝∠A.
证明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，
∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED，
∴DF∥AC，……………………………………………2分
∴∠BDF＝∠A；………………………………………4分
答题模板与评分标准 (2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请分析△ABC的形状.
满分：8分　　　　实得：
解：△ABC是等腰直角三角形.
∵∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°，
∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，……6分
∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A，
∴△ABC是等腰直角三角形. …………………………8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：10分钟　正确率：　/9】
1.(2024·广东)如图，把一把直尺、两个含30°角的三角尺拼
接在一起，则∠ACE的度数为(　　)
A.120°
B.90°
C.60°
D.30°
C
2.如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是
(　　)
A.∠1＝∠4 B.∠1＝∠5
C.∠2＝∠3 D.∠1＝∠3
B
3.(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入
射光线与平面镜的夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜的夹
角∠4的度数为(　　)
A.40° B.50°
C.60° D.70°
B
4.(2024·深圳)在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，
能判断射线AD平分∠BAC的是(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.只有①
B
5.(2024·深圳龙华一模)如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC
＝137°，则拐角∠BCD为(　　)
A.43° B.53°
C.107° D.137°
D
6.(2020·深圳)如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，
若∠1＝40°，则∠2的大小是(　　)
A.40° B.60°
C.70° D.80°
D
7.(2022·深圳)将一副三角尺如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为(　　)
A.5° B.10°
C.15° D.20°
C
8.如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取
大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆
心作弧相交于两点，过此两点的直线交
AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE，BD，则∠EBD的度数为__________°.
9.如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝
__________°.
45
105
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/3】
1.(2023·深圳)如图为商场某品牌椅子的
侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，
∠ABD＝50°，则∠ACB＝(　　)
A.70° B.65°
C.60° D.50°
A
2.(2024·苏州)如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论
中，正确的是(　　)
A.连接AB，则AB∥PQ
B.连接BC，则BC∥PQ
C.连接BD，则BD⊥PQ
D.连接AD，则AD⊥PQ
B
3.图1是一盏可调节台灯，图2为示意图.固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE始终保持不变.现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝
162°，则∠DCE＝(　　)
A.72° B.62°
C.18° D.36°
A
(三)综合应用
【建议用时：5分钟 　正确率：　/1】
如图，AB∥DE，AB＝DE，点C，F在AD上，AF＝DC.求证：∠B＝∠E.
证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠B＝∠E.
(四)命题新方向
【新考法】(2024·深圳罗湖二模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，水面与杯底互相平行，∠1＝45°，∠2
＝120°，则∠3＋∠4＝(　　)
A.165° B.155°
C.105° D.90°
C(共61张PPT)
第20课时　解直角三角形的实际应用
第一部分　考点基础过关
第四章　三角形
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析
命题点 2021 2022 2023 2024 2025
仰角与俯角 题8，3分
坡角、坡度(坡比) 题9，3分
方位角
解直角三角形 的实际应用 题8，3分 题21(2)，3分 题8，3分 题18，3分
新课标要求
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
课 前 小 测
02
1.(2024·绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为_____________m.(结果保留根号)
(50＋50)
2.木栏头灯塔是矗立在海南省文昌市的一座航标灯塔，曾被称为“亚洲第一灯塔”.如图所示，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3 km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO上的点D处.
(1)∠BOC＝__________°，∠D＝__________°.
解：由题意可知，OC⊥BD，
∵∠CBO＝45°，∴∠BOC＝90°－∠CBO＝45°，
∴∠COD＝180°－50°－90°＝40°，∴∠D＝90°－∠COD＝50°，
故答案为：45，50；
45
50
(2)求点D到灯塔O的距离.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°
≈0.64，tan 50°≈1.19，≈1.73.结果精确到小数点后一位)
解：由题意可知：BC＝3 km，
在Rt△BOC中，∠CBO＝45°，∴OC＝BC＝3 km，
在Rt△DOC中，∠D＝50°，∴OD＝≈3.9(km)，
答：点D到灯塔O的距离约为3.9 km.
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.抬头时，视线与水平线的夹角叫做__________.
2.低头时，视线与水平线的夹角叫做__________.
仰角与俯角
仰角
俯角
【跟踪训练】
1.(2024·深圳三模)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，测得杆底端点Q的仰角是30°，PQ＝9 m.则点A到山坡底部点C的距离为 _________m. (结果保留根号)
核心笔记
1.坡面与水平面的夹角α叫做__________.
2.坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度(坡比)，记为i，
i＝_____，坡度通常写成1∶m的形式.
坡角、坡度(坡比)
坡角

【跟踪训练】
2.(2024·自贡)如图是水库大坝横断面的部分，坝高h＝6 m，迎水斜坡AB＝10 m，斜坡的坡角为α，则该大坝的坡度为
(　　)
A. B.
C. D.
D
核心笔记
方位角一般指以观测者的位置为中心，
将正北或正南方向作为起始方向，旋转
到目标方向所形成的角(一般指锐角).
方位角
【跟踪训练】
3.(2024·广州一模)如图，一艘船由A港沿北偏东50°方向航行100 km至C港，然后再沿北偏西25°方向航行至B港，B港在A
港北偏东20°方向，则A，B两港之间的距离为(　　)
A.(50＋50)km
B.(50－50)km
C.50 km
D.50 km
A
类型一　背靠背型
1.模型分析：如图，两个直角三角形有一条
公共边，互相靠着，我们称之为“背靠背型”，经过图形的平移和旋转还可以得到“背靠背型”的相关变式图形.
2.“背靠背型”特点：如图，通过在三角形内作高AD可将原来的斜三角形化为两个直角三角形来求解.公共边AD关联两个直角三角形，往往是解题的关键，等量关系：BD＋CD＝BC.
解直角三角形的实际应用
【跟踪训练】
4.(2024·甘肃)习近平总书记于2021年指出，
中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前
实现碳中和.甘肃省风能资源丰富，风力发电
发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在
风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m(点C，H，E在同一条直线上)，在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈)
解：如答图所示，过点D作DG⊥AH于点G，
连接FG，则四边形CDGH是矩形，
∴GH＝CD＝1.6 m，DG＝CH，
∵CD＝EF＝1.6 m，∴GH＝EF，
由题意可得GH⊥CE，EF⊥CE，∴GH∥EF，∴四边形EFGH是矩形，
∴FG＝HE，∠HGF＝90°，∴∠DGH＋∠FGH＝180°，∴D，G，F三点共线，
∴DF＝DG＋FG＝CH＋HE＝CE＝182 m；
设AG＝x m，
在Rt△ADG中，tan∠ADG＝，∴tan 45°＝，∴DG＝x m；
在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴tan 53°＝，∴FG≈x m；
∴x＋x＝182，解得x＝104，∴AG＝104 m，∴AH＝AG＋GH＝105.6(m)，
∴风电塔筒AH的高度约为105.6 m.
类型二　母子型
1.模型分析：如图，“母子型”是指大的“母直角三角形ACD”中有一个小的“子直角三角形ABD”.它们有公共直角∠D，且均位于直角边AD的同一侧.
2.“母子型”特点：通过在斜三角形ABC外部作高AD将原来的斜三角形化为两个直角三角形求解.公共高AD关联两个直角三角形，往往是解题的关键，等量关系：BD＋BC＝CD.
【跟踪训练】
5.(2024·天津)综合与实践活动中，要用测
角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高
度(如图).某学习小组设计了一个方案：依次
在同一条水平直线上取点C，D，E，DE＝36 m，EC⊥AB，垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角(∠CEB)为31°.(参考数据：tan 31°≈0.6，tan 6°≈0.1)
(1)求线段CD的长.(结果取整数)
解：设CD＝x m，由DE＝36 m，得CE＝CD＋DE＝(x＋36)m.
∵EC⊥AB，垂足为C，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.
在Rt△BCD中，tan∠CDB＝，∠CDB＝45°，
∴BC＝CD·tan∠CDB＝x·tan 45°＝x(m).
在Rt△BCE中，tan∠CEB＝，∠CEB＝31°，
∴BC＝CE·tan∠CEB＝(x＋36)·tan 31°(m).
∴x＝(x＋36)·tan 31°.解得x＝≈＝54.
答：线段CD的长约为54 m；
(2)求桥塔AB的高度.(结果取整数)
解：在Rt△ACD中，tan∠CDA＝，∠CDA＝6°，
∴AC＝CD·tan∠CDA≈54×tan 6°≈54×0.1＝5.4(m).
∴AB＝AC＋BC≈5.4＋54≈59(m).
答：桥塔AB的高度约为59 m.
类型三　其他类型
1.不管是否符合模型，关键在于通过添加辅助线构造直角三角形，常见的辅助线是作边上的高.
2.在直角三角形中，至少已知一边一角才能求其他边，若仅已知一条边没有已知角时，则需要额外条件(如周长或面积)，此时常常要设未知数，用方程思想求解.
【跟踪训练】
6.如图，O，R是同一水平线上的两点，无
人机从O点竖直上升到A点时，测得A点到
R点的距离为40 m，R点的俯角为24.2°，
无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯
角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB.(精确到0.1 m，参考数据：sin 24.2°≈0.41，cos 24.2°≈0.91，tan 24.2°≈
0.45，sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75)
解：由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，
在Rt△AOR中，AR＝40 m，∠ORA＝24.2°，
∴OA＝sin∠ORA×AR＝sin 24.2°×40≈16.4(m)，
OR＝cos 24.2°×40≈36.4(m)，
在Rt△BOR中，OB＝tan 36.9°×36.4≈27.3(m)，
∴AB＝OB－OA≈27.3－16.4＝10.9(m).S
答：无人机上升高度AB约为10.9 m.
课 堂 精 讲
04
例1　如图，小诚在距离旗杆底部B点5 m的A处测得旗杆顶部C的仰角为60°，则旗杆BC的高为(　　)
A.10 m
B.5 m
C.5 m
D. m
仰角与俯角
B
变1　(2024·深圳模拟)如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝(8＋8)米，则这棵树CD的高度是__________米.
8
常考题型：(1)已知坡度求水平距离或铅直高度；(2)已知坡角求水平距离或铅直高度.
例2　如果在高为2米，坡度为1∶2的楼梯上铺地毯，那么地毯
长度至少需要(　　)
A.2米 B.6米
C.2米 D.(2＋)米
坡角、坡度(坡比)
B
变2　如图，某登山队在攀登一座坡角为35°的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，相邻两根标杆之间的水平距离为80米，相邻两根标杆在坡面上的距离AB为 ________米.
例3　(2024·辽宁)如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图2所示，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3 m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3所示，此时测得∠CDB＝37°(点C，A，D在同一直线上，且直线CD与水平面平行)，图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73)
解直角三角形的实际应用
(1)求AB的长.
解：由题意得，∠BCA＝90°，
∵AC＝3 m，∠CAB＝60°，
∴在Rt△ABC中，由cos∠A＝，
得＝cos 60°＝，∴AB＝6 m.
答：AB＝6 m；
(2)求物体上升的高度CE.(结果精确到0.1 m)
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝
＝3 m，
在Rt△BCD中，sin∠CDB＝，∴sin 37°＝≈0.6，∴BD≈5 m，
由题意得，BC＋AB＝BE＋BD，
∴BE＝BC＋AB－BD＝3＋6－5＝(6－2)m，
∴CE＝BC－BE＝3－(6－2)＝5－6≈2.7(m).
答：物体上升的高度约为2.7 m.
变3　(2024·深圳三模)鹤壁市玄天洞石塔，
又名玲珑宝塔，始建于元朝，重建于明代，
是现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地
区保存最完整的大型青石塔.此塔坐东朝西，
为九级重檐平面四角楼阁式建筑，塔身自下
而上逐层收敛.某数学社团打算运用“解直角
三角形”的知识来计算玲珑宝塔的高度AB.
如图，先将无人机竖直上升至30 m高的点P处，在点P处测得玲珑宝塔顶端A的俯角为25°，将无人机沿水平方向继续飞行7.5 m到达点Q，在点Q处测得塔底端B的俯角为45°，求玲珑宝塔的高度AB.(结果保留一位小数，参考数据：≈1.41，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47)
解：如答图，延长BA交PQ的延长线于点C，
由题意得BC⊥PQ，PQ＝7.5 m，BC＝30 m，
在Rt△BCQ中，∠CQB＝45°，
∴QC＝＝30(m)，
∴PC＝PQ＋CQ＝30＋7.5＝37.5(m)，
在Rt△APC中，∠CPA＝25°，
∴AC＝CP·tan 25°≈37.5×0.47＝17.625(m)，
∴AB＝BC－AC＝30－17.625≈12.4(m)，
∴玲珑塔的高度AB约为12.4 m.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准
示范题　图1是一种手机自拍杆，杆体
从上至下分别由手机夹架、多节套管和
支架脚连接而成.使用时通过自由伸缩
套管调节自拍杆的长度.图2是其简化示
意图，手机ABCD(为矩形)与其下方套
管EF连接于点E，E为BC的中点，EF＝26 cm，支架脚FG＝FH＝13 cm，BC与地面GH平行，EF⊥BC.
(1)当∠GFH＝120°时，求点E到地面的高度.
答题模板与评分标准
解：如答图，设EF所在直线交GH于点M，
∵GH∥BC，EF⊥BC，∴FM⊥GH，
∵FG＝FH＝13 cm，∠GFH＝120°，
∴∠GFM＝∠HFM＝60°，……2分
∴FM＝FH·cos 60°＝13×＝6.5(cm)，
∵EF＝26 cm，∴点E到地面的高度EM＝EF＋FM＝32.5(cm)；…………………………4分
答题模板与评分标准
(2)若在某环境中拍摄时，调节支架脚使∠FGH＝40°，BC＝16 cm.求点G到直线AB与GF交点的距离.(参考数据：
sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，≈1.73.结果精确到0.1 cm)
解：如答图，延长AB与GF交于点N，
∵∠FGH＝40°，FG＝13 cm，
∴GM＝FG×cos 40°≈13×0.77＝10.01(cm)，
答题模板与评分标准
满分：8分　　　　实得：
∵E为BC的中点，BC＝16 cm，∴BE＝8 cm，…6分
如答图，过点N作NP⊥EM，垂足为P，
则NP＝BE＝8 cm，
易得△FNP∽△FGM，∴，
即，∴FN≈10.39 cm，
∴点G到直线AB与GF交点的距离GN＝GF－FN＝13－10.39≈2.6(cm). ……………………………………8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】
1.(2023·深圳)爬坡时坡面与水平面的夹角为α，则每爬1 m耗
能(1.025－cos α)J，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°(如图)，
则他耗能(参考数据：≈1.732，≈1.414)(　　)
A.58 J B.159 J
C.1 025 J D.1 732 J
B
2.(2021·深圳)如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，
向前走了15 m到达点E，即EF＝15 m，在点E处看点D的仰角
为64°，则CD的长用三角函数表示为(　　)
A.15sin 32° m
B.15tan 64° m
C.15sin 64° m
D.15tan 32° m
C
3.如图，点B位于点A的北偏东60°方向相距2 km处，点D在点B的正北方向，且在点A的东北方向，则点D到点A的距离为_____km.

4.桔槔俗称“吊杆”“称杆”(如图1)，是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械.下面为某学习小组制订的项目式学习表.
课题 古代数学文化探究
工具 计算器、纸、笔等
示意图
根据上述信息，求点A位于最高点时到地面的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8)
说明 图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面MN的支撑杆，OM＝3 m，AB是杠杆，且AB＝4.2 m，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°
解：如答图，作AG⊥MN于点G，作OC⊥AG于点C，∴四边形CGMO为矩形，
∴∠COM＝90°，CG＝OM＝3 m，∵∠AOM＝127°，∴∠AOC＝127°－90°＝37°，
∵AB＝4.2 m，OA∶OB＝2∶1，∴OA＝AB＝2.8 m，
∴AC＝OA·sin 37°≈2.8×0.60＝1.68 m，∴AG＝1.68＋3＝4.68≈4.7 m，
∴点A位于最高点时到地面的距离约为4.7 m.
5.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，
cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如答图，
由题意得AF⊥BC，DE＝AF，
∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴，
∴设AF＝3x米，则BF＝4x米，
在Rt△ABF中，AB＝＝5x(米)，
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，
∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(米)，
∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得x＝，∴AB＝5x≈10.3，∴斜坡AB的长约为10.3米.
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/4】
1.(2024·长春)如图，汽车车顶天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB的夹角为21°，若AC的长为a m，则窗角C到窗框AB的
距离CD的长为(　　)
A.asin 21° m
B.acos 21° m
C. m
D. m
A
2.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为(　　)
A. B.
C. D.
C
3.如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5 m到达点D处，测得石碑顶A点的仰角为60°，则石碑的高度AB＝_______m.(结果保留根号)

4.如图所示，某施工队要测量隧道的长度BC，AD＝600 m，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角45°，再由D走到E处测量，测得C处仰角为53°，DE∥AC，DE＝500 m，求隧道BC的长.
解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600 m，
如答图，作CM⊥DE于点M，则CM＝AD＝600 m，
在Rt△CEM中，tan 53°＝≈，
∴EM≈450 m，
∴AC＝EM＋ED≈950 m，BC＝AC－AB≈350 m.
答：隧道BC长约为350 m.
(三)综合应用
【建议用时：15分钟　正确率：　/1】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型做出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长、宽分别相同，按图示并列划定.根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
(1)求PQ的长.
(2)该充电站有20个停车位，则PN的长为__________m.
解：(1)∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q＝∠P＝90°，
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝30°，∴BC＝ m，∴AD＝ m，
∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，∴AP＝AD·cos∠PAD＝ m，
∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1(m).
66.7
(四)命题新方向
【数学文化】如图为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的平面示意图，已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4 dm，OB＝12 dm.
∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为_________dm.
(结果用含根号的式子表示)
(6－2)(共50张PPT)
第18课时　特殊三角形
第一部分　考点基础过关
第四章　三角形
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析
命题点 2021 2022 2023 2024 2025
等腰三角形的性质与判定 题15，3分 题15，3分 题20(1)，
4分
直角三角形的性质与判定 题22(2)(3)， 7分 题15，3分 题22(3)，4分 题8，3分 题13，3分 题18(2)，5分 题20(3)，4分
新课标要求
1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.
2.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
课 前 小 测
02
1.(2024·深圳南山三模)下列各组数中，以它们为边长的线段
不能构成直角三角形的是(　　)
A.1， B.3，4，5
C.2，2，3 D.5，12，13
2.(2024·青海)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中
点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是(　　)
A.3 B.6
C. D.3
C
A
3.(2024·云南)如图，在 ABCD中，
AE平分∠BAD交CD于点E.若CE＝2，
BC＝3，则 ABCD的周长为(　　)
A.16 B.14
C.10 D.8
4.(2024·四川内江)如图，在△ABC中，
∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，
则∠ACB的度数为__________.
A
100°
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.定义：有__________的三角形是等腰三角形.相等的两边叫__________，第三边为__________.
2.性质：
(1)轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，有__________条对称轴；
等腰三角形
两边相等
腰
底
1
(2)等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等(__________对等角)；
(3)等腰三角形顶角的__________、底边上的__________、底边上的高相互重合(简称“三线合一”).
3.判定：
(1)__________相等的三角形是等腰三角形；
(2)有__________相等的三角形是等腰三角形(__________对等边).
等边
平分线
中线
两条边
两个角
等角
【跟踪训练】
1.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是
(　　)
A.12 B.15
C.12或15 D.9
B
2.(2024·深圳盐田三模)如图，有甲、乙两种作图方式，能够
根据圆规作图的痕迹，再利用直尺成功得到一个等腰三角形的是(　　)
A.只有甲可以 B.只有乙可以
C.甲、乙都不可以 D.甲、乙都可以
D
3.(2024·重庆)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD
平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为__________.
2
核心笔记
1.定义：______________的三角形是等边三角形.
2.性质：
(1)等边三角形是轴对称图形，有__________条对称轴；
(2)等边三角形具备等腰三角形的所有性质；等边三角形三条
边相等，三个内角相等，且每个内角都等于__________°.
3.判定：
(1)__________都相等的三角形是等边三角形；
(2)__________都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是60°的______________是等边三角形.
等边三角形
三条边相等
3
60
三条边
三个角
等腰三角形
【跟踪训练】
4.如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
若BD＝3，则AB的长为__________.
5.(2024·深圳南山一模)满足下列条件的三角形
中，不一定是等边三角形的是(　　)
A.有两个内角是60°的三角形
B.有两边相等且是轴对称图形的三角形
C.有一个内角是60°且有两边相等的三角形
D.三边都相等的三角形
6
B
6.如图，已知点E为正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形，
连接ED，EC，则∠EDC的度数为(　　)
A.12°
B.15°
C.18°
D.13°
B
核心笔记
1.定义：有一个角是__________的三角形叫做直角三角形.
2.性质：
(1)直角三角形的两个锐角__________；
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________；
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于__________°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
直角三角形
直角
互余
一半
30
(4)勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即______________；
(5)勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个__________，称为勾股数.
a2＋b2＝c2
正整数
【跟踪训练】
7.(1)如图，在Rt△DEF中，∠D＝90°，
∠E＝30°，EF＝10，则DF＝__________.
(2)已知直角三角形斜边长是16，则斜边上的
中线长是__________.
(3)在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，BC＝3，
则AB的长为__________.
5
8
3
8.(2024·深圳模拟)如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表
示的实数为(　　)
A.3－ B.－2
C.－1 D.3－
A
课 堂 精 讲
04
例1　2023年5月26日，“2023中国国际
大数据产业博览会”在贵阳开幕，博览
会上许多产品蕴含着几何元素，其中有一个等腰三角形模型
(如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高
是(　　)
A.4 m B.6 m
C.10 m D.12 m
直角三角形的性质
B
变1　一位技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的
尺寸.如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，
B对应的刻度为1，7，则CD＝(　　)
A.3.5 cm B.3 cm
C.4 cm D.6 cm
B
常考题型：(1)根据等边三角形的性质求线段长；(2)根据等边三角形的性质求角.
例2　(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，
点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，
∠AEB为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
等边三角形的性质和判定
C
变2　如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，
则∠EAB等于(　　)
A.40° B.30°
C.20° D.15°
C
例3　(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
等腰三角形的性质和判定
C
变3　如图，E为AC上一点，连接BE，CD平分∠ACB交BE于
点D，且BE⊥CD，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的
长为(　　)
A.1.2 B.1.5
C.2 D.3
C
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　如图，在 ABCD中，DF平分
∠ADC交BC于点E，交AB的延长线于
点F.
(1)求证：AD＝AF.
证明：在 ABCD中，AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，……………2分
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF； …………………………………………4分
答题模板与评分标准 (2)若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积.
满分：9分　　　　实得：
解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF－AB＝3. …………………5分
过点D作DH⊥AF交FA的延长线于点H，
如答图，
∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝3，………………………7分
∴DH＝＝3，
∴△ADF的面积＝AF·DH＝×6×3＝9. …………9分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：10分钟　正确率：　　/10】
1.(2024·深圳二模)若等腰三角形有一个内角为80°，则这个
等腰三角形的底角的度数是(　　)
A.20° B.50°
C.80°或20° D.80°或50°
2.在△ABC中，三个内角的度数分别为α，β，γ，且满足等式
|α－β|＋(α－γ)2＝0，这个三角形是(　　)
A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
D
B
3.(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点
B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度
数是(　　)
A.45° B.39°
C.29° D.21°
B
4.(2024·浙江)如图，已知点E为正方形ABCD内
一点，△ABE为等边三角形，连接ED，EC，则
∠DEC的度数为(　　)
A.120° B.150°
C.108° D.135°
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝2∶3，则∠A＝
(　　)
A.66° B.36°
C.56° D.46°
B
B
6.如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，
B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧
相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，
则△BDC的周长为(　　)
A.8 B.10
C.11 D.13
A
7.如图，BD是△ABC的角平分线，∠A＝36°，∠ABC＝72°，
DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形的个数是(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
A
8.(2024·深圳光明三模)若等腰三角形的周长为21 cm，一边长为5 cm，则此等腰三角形的腰长为__________cm.
9.等腰三角形的一个内角为91°，随机选取1个内角，度数为_________________.
10.(2024·深圳市实验学校期末)在平面直角坐标系中，点
A(0，3)，B(4，0)，点P在x轴正半轴上，若△ABP是等腰三角
形，则点P坐标是_____________________.
8
91°或44.5°
(9，0)或
(二)能力提升
【建议用时：15分钟 　正确率：　/6】
1.如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在b上，若∠1＝42°，
则∠2的度数为(　　)
A.92° B.102°
C.112° D.114°
B
2.如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AC边的中点，连接AD，点P是AD上一动点，若AD＝8，则PC＋PE的最小值是(　　)
C
A.2 B.4
C.8 D.16
3.如图，用一块含60°角的直角三角尺和一把直尺按图中所示
的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，
直尺两边分别与三角尺的两条直角边相交，若∠2＝20°，则
∠1的度数为(　　)
A.40°
B.50°
C.55°
D.60°
B
4.如图，等边三角形AOB的边OB在x轴上，点B
的坐标为(2，0)，以点O为旋转中心，把△AOB
每次逆时针旋转90°，则第2 021次旋转后点A
的对应点A'的坐标为(　　)
A.(－，1)
B.(1，－)
C.(，－1)
D.(－，－1)
A
5.(2024·黑龙江绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝__________.
80°
6.(2024·深圳福田期末)如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝3 cm，点D从点A以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C以2 cm/s的速度向点B运动，运动时间为t s.
(1)当t＝__________s时，△DEC为等边三角形.(直接写结果)
1
(2)当t为何值时，△DEC为直角三角形
解：由题意知，CE＝2t cm，AD＝t cm，即CD＝(3－t)cm，
①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°，∴CE＝DC，即2t＝(3－t)，解得t＝；
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°，∴CD＝CE，即3－t＝·2t，解得t＝.
∴当t为或时，△DEC为直角三角形.
(三)综合应用
【建议用时：15分钟　正确率：　/3】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2024·广州)如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长
线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝__________.
5
2.(2024·深圳模拟)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图∠ACB模拟的是中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
解：连接AB，作CD⊥AB于点D，如答图，∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴CD是AB边上的中线，也是∠ACB的平分线，∴AB＝2AD，
∠ACD＝∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，AC＝10 m，
∠ACD＝50°，sin∠ACD＝，
∴sin 50°＝，
∴AD＝10sin 50°≈10×0.766＝7.66(m)，
∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3(m).
答：A，B两点间的距离约为15.3 m.
3.(2024·深圳模拟)如图，在等边△ABC中，
D为AC边的中点，延长BC至点E，使CE＝
DC，连接ED并延长交AB于点F.
(1)求证：△DBE是等腰三角形.
证明：如答图，连接BD，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D为AC的中点，∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E＋∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，∴∠E＝∠DBC，∴DB＝DE，
∴△DBE是等腰三角形；
(2)DF与DE有怎样的数量关系 请说明理由.
解：DE＝2DF.理由：由(1)知：∠E＝30°，DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，即DE＝2DF.
(四)命题新方向
【新考法】(2024·深圳龙岗三模)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的
面积为，则等边三角形ABC的边长为(　　)
A.1 B.
C. D.2
A(共41张PPT)
第19课时　锐角三角函数
第一部分　考点基础过关
第四章　三角形
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析
命题点 2021 2022 2023 2024 2025
特殊角三 角函数 题6，3分 题17，5分 题16，6分 题9，3分 题16，5分 题14，5分
锐角三 角函数 题8，3分 题10，3分 题21(2)，3分 题15，3分 题22(2)，3分 题8，3分 题12，3分 题13，3分 题4，3分
新课标要求
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值.
2.会使用计算器由已知锐角度数求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角度数.
3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
课 前 小 测
02
1.(2024·深圳模拟)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cos A的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
D
2.(2024·深圳南山模拟)如图是由7×5的小正方形组成的网格，
每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，
则sin∠ABC的值是(　　)
A. B.
C. D.
B
3.(2024·广州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC
＝4，tan A＝2，则AB＝__________.
4
4.(2024·深圳三模)如图，在△ABC中，∠C
＝90°，AC＝24，AB的垂直平分线EF交AC
于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的
长是__________.
4
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos A的值为_____.

知 识 梳 理
03
核心笔记
锐角三角函数定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
正弦：sin A＝＝_____；
余弦：cos A＝＝_____；
正切：tan A＝＝_____.
锐角三角函数及直角三角形边角关系



【跟踪训练】
1.(2024·深圳盐田一模)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，
AB＝8，BC＝10，则cos B的值是(　　)
A. B.
C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为
_____.
A

核心笔记
特殊角的三角函数值：
特殊角的三角函数
30° 45° 60°
sin α _____ _____ _____
cos α _____ _____ _____
tan α _____ _____ _____






1

【跟踪训练】
3.下列三角函数值，正确的是(　　)
A.sin 30°＝ B.cos 30°＝
C.sin 60°＝ D.tan 30°＝
4.在△ABC中，若＝0，则∠C的度
数是__________.
A
105°
核心笔记
1.解直角三角形：在直角三角形中，利用除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有
(1)边的关系：a2＋b2＝c2；
(2)角的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角关系：锐角三角函数.
解直角三角形
2.解直角三角形的类型：
(1)已知两边；
(2)已知一边一锐角；
(3)已知一边和一锐角的任意一个三角函数值.
【跟踪训练】
5.(2024·深圳龙华三模)已知在△ABC中，∠C＝90°，BC
＝3，cos B＝，那么AB的长是__________.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，则∠B＝__________.
7.如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B＝30°，∠C＝90°，
则2cos A的值是(　　)
A.1 B.
C. D.2
9
30°
A
课 堂 精 讲
04
例1　(2024·中山三模)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB
＝4，AC＝5，则sin A的值为(　　)
A. B.
C. D.
锐角三角函数
B
变1　(2024·深圳模拟)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上
的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A的是(　　)
A. 　　　
B.
C. 　
D.
D
常考题型：(1)已知特殊角求三角函数值；(2)已知三角函数值求角的大小.
例2　2cos 45°－的值等于(　　)
A.0 B.1 C.－1 D.－1
变2　(2024·大庆)在△ABC中，若＋2(1－tan B)2＝0，则∠C的度数为__________.
特殊角的三角函数
A
75°
例3　(2024·深圳福田三模)如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝.点D为边AC上一点，∠BDC＝45°，AD＝7，求CD的长.
解直角三角形
解：∵∠C＝90°，∴sin A＝，
令BC＝5x，AB＝13x，
∴AC＝＝12x，
∵∠BDC＝45°，∠C＝90°，
∴∠BDC＝∠CBD＝45°，
∴BC＝CD＝5x，
∴AD＝AC－CD＝7x＝7，∴x＝1，∴CD＝5x＝5.
变3　(2024·深圳龙岗模拟)如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，tan C＝，求BC的长.
解：如答图，过点A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝4，
∴BD＝AB·cos 30°＝4×＝6，AD＝AB＝2，
在Rt△ACD中，tan C＝，AD＝2，
∴CD＝4，∴BC＝BD＋CD＝10.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3.
(1)求AC的值；
解：如答图，过点C作CD⊥AB于点D. ……1分
在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝3，
∴BD＝BC·cos B＝3×＝3，∴CD＝BD＝3，…2分
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AC＝2CD＝6；……4分
答题模板与评分标准 (2)求△ABC的面积.(结果保留根号)
满分：8分　　　　实得：
解：由(1)知：在Rt△ACD中，AC＝6，CD＝3，
∴AD＝＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3，6分
∴S△ABC＝×AB×CD＝. ……………………… 8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：8分钟　正确率：　　/7】
1.(2024·天津)cos 45°－1的值等于(　　)
A.0 B.1
C.－1 D.－1
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的
度数是(　　)
A.15° B.45°
C.30° D.60°
A
D
3.(2024·深圳光明二模)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos A＝，则AC的长是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
4.(2021·深圳)计算|1－tan 60°|的值为(　　)
A.1－ B.0
C.－1 D.1－
A
C
5.(2020·深圳)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在
河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，
T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的
长)可以表示为(　　)
A.200tan 70°米
B.米
C.200sin 70°米
D.米
B
6.若tan(α－15°)＝，则锐角α的度数是__________.
7.(2024·辽宁)计算：cos 60°－2sin245°＋tan230°
－sin 30°.
解：原式＝－2××
＝－1＋
＝－.
75°
(二)能力提升
【建议用时：5分钟 　正确率：　/4】
1.(2024·深圳坪山二模)如图的正方形网格中，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin ∠ACB的
值为(　　)
A. B.
C. D.2
B
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝2，tan∠BCD＝，则AB的长为(　　)
A.3
B.4
C.4
D.2
B
3.如图，为了测量某电子厂AB的高度，
小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A
的仰角为45°，小军在小明的前面5 m
处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的
仰角为53°，则电子厂AB的高度为
__________m.
22.7
4.如图，AB为水平线段，CD⊥AB于点E，AB＝2米，tan A＝，tan B＝.
(1)求sin A，cos B.
解：由题意得：CD⊥AB，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，
在Rt△ACE中，tan A＝，
∴设CE＝2a，则AE＝5a，∴AC＝a，
∴sin A＝，
在Rt△BCE中，tan B＝，∴设CE＝3k，则BE＝5k，
∴BC＝k，∴cos B＝，
∴sin A＝，cos B＝；
(2)求CE的长.
解：设AE＝a米，∵AB＝2米，
∴BE＝AB－AE＝(2－a)米，在Rt△ACE中，tan A＝，
∴CE＝AE·tan A＝a(米)，在Rt△BCE中，tan B＝，
∴CE＝BE·tan B＝(2－a)米，
∴a＝(2－a)，解得a＝，∴CE＝a＝米，∴CE的长为米.
(三)综合应用
【建议用时：10分钟　正确率：　/1】
(2024·深圳模拟)如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，
sin A＝.过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝ ______.
(四)命题新方向
【新考法】(2024·泸州)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点E，
则sin∠DAE的值为(　　)
A. B.
C. D.
A(共49张PPT)
第15课时　三角形的基本概念与性质
第一部分　考点基础过关
第四章　三角形
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析
命题点 2021 2022 2023 2024 2025
三角形的中位线
多边形
新课标要求
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
课 前 小 测
02
1.如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线.设AC，
BC的中点分别为M，N.若MN＝3米，则AB＝(　　)
A.4米 B.6米
C.8米 D.10米
B
2.(2024·深圳龙岗二模)如图，直线AB⊥CD于点C，射线CE在∠BCD内部，射线CF平分∠ACE.若∠BCE＝40°，则下列结
论正确的是(　　)
A.∠ECF＝60°
B.∠DCF＝30°
C.∠ACF与∠BCE互余
D.∠ECF与∠BCF互补
D
3.(2024·深圳盐田模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BP平分∠ABC交AC于点P，PE⊥AB于点E，若BC＝8，AC＝
6，则△AEP的周长为__________.
8
4.(2023·深圳光明统考)如图，AB∥CD，
点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连
接DE，若∠D＝40°，∠BED＝60°，
则∠B＝__________.
5.(2024·浙江)如图，D，E分别是△ABC边AB，
AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，
DE＝2，则BE的长为__________.
20°
4
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.按角分类
三角形
2.按边分类
三角形
三角形的分类
【跟踪训练】
1.下列说法错误的是(　　)
A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C.有两个角互余的三角形是直角三角形
D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
A
2.如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
D
核心笔记
1.三角形三边关系
(1)三角形的任意两边之和__________第三边；
(2)三角形的任意两边之差__________第三边.
2.三角形的内角和等于__________°.三角形的外角和等于__________°.
(1)推论1：三角形的一个外角__________与它不相邻的两个内角的和；
(2)推论2：三角形的一个外角__________与它不相邻的任何一个内角.
3.三角形有__________.
三角形的边角关系
大于
小于
180
360
等于
大于
稳定性
【跟踪训练】
3.(2024·深圳南山三模)下列长度的三条线段，能组成三角形
的是(　　)
A.1，2，3
B.2，3，7
C.2，6，7
D.3，3，6
C
4.(2024·深圳一模)三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，
其蕴含的数学道理是(　　)
A.两点之间，线段最短
B.三角形具有稳定性
C.三角形的任意两边之和大于第三边
D.三角形的内角和等于180°
5.已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|b＋c－a|＋|b－c－a|
＋|c－a－b|的值为_____________.
B
a＋b＋c
核心笔记
1.三角形的中线
(1)性质：BD＝CD＝________BC；
(2)重心：三角形三条__________的交点；
(3)应用：中线平分三角形的对边，除此
之外，每条中线将三角形分成面积相等
的两部分：S△ABD＝S△ACD.
三角形中的重要线段

中线
2.三角形的高
(1)性质：AE⊥BC，即∠AEB＝∠AEC＝
__________°；
(2)垂心：三角形三条__________的交点；
(3)应用：与三角形面积有关. 　
3.三角形的角平分线
(1)性质：∠1＝∠2＝________∠BAC；
(2)内心：三角形三条角平分线的交点，
内心到三角形__________的距离相等；
(3)应用：利用角平分线上的点到角两边的距离相等.
90
高
三边

4.三角形的中位线
(1)性质：GH__________BC，
GH＝_________BC；
(2)应用：在三角形中遇到中点时，常构造中位线.
①逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线；
②逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.
∥
【跟踪训练】
6.不一定在三角形内部的线段是(　　)
A.三角形的角平分线 B.三角形的中线
C.三角形的高 D.三角形的中位线
7.如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C.
若EC＝2，则OD的长为(　　)
A.2 B.2
C.4 D.5
C
C
8.(2024·石家庄期末)如图，BD，BE，BF分别是△ABC的高、
角平分线和中线，则下列选项中错误的是(　　)
A.AE＝EC B.∠ABE＝∠ABC
C.AC＝2CF D.BD⊥CD
A
9.一个三角形的三条边的长度分别为3，4，5，则这个三角形
最长边上的中线长为__________.
10.如图，AD是△ABC的中线，AB＝8 cm，△ABD与△ACD的周长差为2 cm，则AC＝__________cm.
2.5
6
课 堂 精 讲
04
例1　(2024·深圳南山期中)如图，在△ABC中，∠ABC＝
2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为CB的延长线上一点，
过点E作EF⊥AD于点F，若∠C＝40°，则∠E＝__________.
三角形内、外角和定理
20°
变1　如图，AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，且AB＝AC，∠B＝65°，则∠DAE＝__________°.
65
常考题型：(1)利用三角形的重要线段求角度、线段长；(2)利用三角形的重要线段求面积.
例2　以下列每组数为长度(cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是(　　)
A.2，2，4 B.1，2，3
C.3，4，5 D.3，4，8
三角形的重要线段
C
变2　在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是(　　)
A.1＜AB＜7
B.S△ABC≤6
C.△ABC内切圆的半径r＜1
D.当AB＝时，△ABC是直角三角形
C
例3　(2024·深圳罗湖期末)如图，已知点M是△ABC的边BC
上一点，且BM＝2CM，线段AM与△ABC的中线BN交于点O，
连接MN，若△ABC的面积为12，则△CMN的面积是(　　)
A.2
B.4
C.3
D.1.5
三角形中的重要线段
A
变3　如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝__________度.
15
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　(2024·深圳福田期末)如
图，在△ABC中，AD为边BC上的
高，点E为边BC上的一点，连接AE.
(1)当AE为边BC上的中线时，若AD
＝5，△ABC的面积为30，求CE的长.
解：∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为30，
∴BC·AD＝30，∴BC×5＝30，∴BC＝12，…1分
∵AE为边BC上的中线，∴CE＝BC＝6；………3分
答题模板与评分标准 (2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C＝66°，∠B＝34°，求∠DAE的度数.
满分：8分　　　　实得：
解：∵∠C＝66°，∠B＝34°，
∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－66°－34°＝80°，
…………………………………………………………………4分
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAC＝40°，…5分
∵∠ADC＝90°，∠C＝66°，
∴∠CAD＝90°－66°＝24°，……………………………6分
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－24°＝16°. ………8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/7】
1.(2024·陕西)如图，在△ABC中，
∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
E是BC的中点，连接AE，则图中的
直角三角形有(　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
C
2.(2022·深圳模拟)如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为
(　　)
A.120° B.180°
C.240° D.300°
C
3.(2024·深圳南山模拟)如图，在△ABC中，
点D是BC边的中点，点E是AD边的中点，
连接BE，CE，若△ABC与△DEC的面积差
为9，则△ABC的面积为(　　)
A.9 B.12
C.15 D.18
B
4.(2024·深圳模拟)如图，AD为△ABC的中线，点E为AC边的
中点，连接DE，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A.DC＝DE B.AB＝2DE
C.S△CDE＝S△ABC D.DE∥AB
A
5.(2024·长春)在剪纸活动中，小花同学想用一
张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形
的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α
＝__________.
6.有下列叙述：①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点.其中正确的是__________.(把正确的序号填在横线上)
72°
②
7.(2024·深圳坪山二模)两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则A点的坐标为____________.
(4，8)
(二)能力提升
【建议用时：15分钟 　正确率：　/6】
1.下列命题正确的是(　　)
A.矩形对角线互相垂直
B.方程x2＝14x的解为x＝14
C.六边形内角和为540°
D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D
2.(2024·深圳模拟)已知三条线段的长分别是6，m，8，若它
们能构成三角形，则整数m的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.6 D.8
3.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E
是AD边的中点，连接BE，CE，若△ABD与
△DEC的面积差为6，则△BEC的面积为(　　)
A.9 B.12
C.15 D.18
B
B
4.(2024·广元)如图，点F是正五边形ABCDE
的边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线
交于点G，则∠BGC的度数为__________.
5.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分
线交于点O，点D是∠ACF与∠ABC平分线的
交点，点E是△ABC的两外角平分线的交点，
若∠BOC＝130°，则∠E－∠D＝__________.
18°
10°
6.如图所示，已知AD，AE分别是△ABC
的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，
BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(1)AD的长.
解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB·AC＝BC·AD，∴AD＝＝4.8(cm)，即AD的长为4.8 cm；
(2)△ABE的面积.
解：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，
∴S△ABC＝AB·AC＝×6×8＝24(cm2)，又∵AE是边BC的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝12(cm2)，∴△ABE的面积是12 cm2；
(3)△ACE与△ABE的周长的差.
解：∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，
∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，
即△ACE与△ABE的周长的差是2 cm.
(三)综合应用
【建议用时：15分钟　正确率：　/4】
1.(2024·广东)如图，在△ABC中，∠A＝
90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，
点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，
则四边形AEDF的面积为(　　)
A.18 B.9
C.9 D.6
C
2.(2024·深圳二模)如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别
为边AB，AC的中点，则DE＝(　　)
A. B.
C.1 D.2
D
3.已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A.8 B.2
C.16 D.4
4.一个多边形的内角和是1 080°，这个多边形的边数是__________.
A
8
(四)命题新方向
【新考法】如图，欲将一块四边形的耕地中间一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，请在图中画出这条直线(保留作图痕迹).直线_____________(写结论)为修改后的道路.
MF即为所求
解：如答图，直线MF即为所求.(共41张PPT)
第16课时　全等三角形
第一部分　考点基础过关
第四章　三角形
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析
命题点 2021 2022 2023 2024 2025
全等三角形的性质 题14，3分
全等三角形的判定 题14，3分 题22(1)，3分 题22(1)①，2分
新课标要求
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 2.掌握判定三角形全等的五种方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL. 3.掌握两个三角形全等的性质.
课 前 小 测
02
1.(2024·深圳盐田二模)△ABC如图所示，甲、乙两个三角形
中，和△ABC全等的是(　　)
A.只有甲 B.只有乙
C.甲和乙 D.都不是
B
2.(2024·深圳龙岗模拟)小轩用如图所示的方法测量小河的宽度.他利用适当的工具，使AB∥CD，BO＝OC，点A，O，D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB.在这个问题中，可作为证明
△ABO≌△DCO的依据的是(　　)
A.SAS或SSS
B.AAS或SSS
C.ASA或AAS
D.ASA或SAS
C
3.(2024·成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，
∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为__________.
100°
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.全等三角形：能够完全__________的两个三角形.
2.全等三角形的性质：
(1)全等三角形的__________相等，__________相等；
(2)全等三角形的对应边上的__________、__________，对应角平分线相等；全等三角形的__________、__________相等.
全等三角形
重合
对应边
对应角
高
中线
周长
面积
【跟踪训练】
1.(2024·深圳市南山外国语学校期中)下列说法中正确的是
(　　)
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形 　　　
B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 　　　
D.等边三角形都全等
B
2.(教材改编题)已知图中的两个三角形全等，则∠1等于__________°.
58
核心笔记
1.全等三角形的判定方法
(1)三边分别__________的两个三角形全等；(“边边边”或“__________”)
(2)两边和它们的__________分别相等的两个三角形全等；(“边角边”或“__________”)
(3)两角和它们的__________分别相等的两个三角形全等；(“角边角”或“__________”)
三角形的边、角关系
相等
SSS
夹角
SAS
夹边
ASA
(4)两角和其中一个角的__________分别相等的两个三角形全
等；(“角角边”或“__________”)
(5)斜边和一条__________边分别相等的两个直角三角形全等.(“斜边、直角边”或“__________”)
2.判定三角形全等的常见方法
(1)方法1：利用隐含条件(公共边、公共角、对顶角)；
(2)方法2：利用间接条件(平行、中线、高、角平分线)；
(3)方法3：同时加或减(两边同时加或减一条线段；两角同时加或减一个角)；
(4)方法4：添加辅助线证全等；
(5)方法5：两次证三角形全等.
对边
AAS
直角
HL
【跟踪训练】
3.如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则
下面与△ABC一定全等的三角形是(　　)
A.① B.②
C.③ D.④
B
4.(2024·深圳宝安期末)工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC＝OD，适当摆放角尺(图中的∠CED)，使其两边分别经过点C，D，且点C，D处的刻度
相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线.这
里判定两个三角形全等的依据是(　　)
A.SAS
B.SSS
C.AAS
D.ASA
B
课 堂 精 讲
04
例1　(2024·山东淄博二模)如图所示的两个三角形全等，则
∠E为(　　)
A.80° B.70°
C.60° D.50°
全等三角形的性质
B
变1　(2024·河北唐山三模)在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，
∠B＝∠E，AB＝DF＝6，则下列结论一定正确的是(　　)
A.△ABC≌△DEF
B.BC＝EF
C.AC·DE＝12
D.∠C＝∠F
D
常考题型：(1)利用隐含条件(公共边、公共角、对顶角)证明三角形全等；(2)判定方法的灵活运用.
例2　(2024·嘉兴一模)如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DAC.添加一个条件，使△ABC≌△ADC，则不能作为这
一条件的是(　　)
A.∠ACB＝∠ACD B.∠B＝∠D
C.AB＝AD D.BC＝DC
全等三角形的判定
D
变2　(2024·杭州一模)如图，点C、点E分别在线段AD，AB
上，线段BC与DE交于点F，且满足AB＝AD.下列添加的条件
中不能推出△ABC≌△ADE的是(　　)
A.AC＝AE B.BF＝DF
C.BE＝CD D.BC＝DE
D
例3　如图，△ABC是等边三角形，点D，E在直线BC上，DB＝EC.求证：∠D＝∠E.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ACE＝120°，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠D＝∠E.
全等三角形的性质与判定综合
变3　如图，大小不同的两块三角尺△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE，BD，点A恰好在线段BD上.找出图中的全等三角形，并说明理由.
解：△CBD≌△CAE.理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
∴△CBD≌△CAE(SAS).
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　“倍长中线法”是解决几何问题的重要
方法.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长
一倍，以便构造出全等三角形，具体作法：如图，
AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE＝AD，
连接BE，构造出△BED和△CAD.
求证：△BED≌△CAD.
满分：5分　　　　实得：
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，…………1分
在△BED与△CAD中， ………4分
∴△BED≌△CAD(SAS). ………………………………5分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟 　正确率：　/6】
1.(2024·深圳罗湖模拟)如图，已知点
A(－1，0)，B(0，2)，A与A'关于y轴对称，
连接A'B，现将线段A'B以点A'为中心顺时
针旋转90°得A'B'，点B的对应点B'的坐标
为(　　)
A.(3，1) B.(2，1)
C.(4，1) D.(3，2)
A
2.(2024·深圳南山期末)如图，小明书上的三角形被墨迹污染
了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是(　　)
A.SAS B.ASA
C.HL D.SSS
B
3.(2024·天津)如图，在△ABC中，∠B＝30°，
将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE
于点F，下列结论一定正确的是(　　)
A.∠ACB＝∠ACD B.AC∥DE 　
C.AB＝EF D.BF⊥CE
D
4.(2024·深圳福田二模)如图，点C为线
段AB的中点，∠BAM＝∠ABN，点D，
E分别在射线AM，BN上，∠ACD与
∠BCE均为锐角，若添加一个条件一定可以证明△ACD≌
△BCE，则这个条件不能是(　　)
A.∠ACD＝∠BCE B.CD＝CE
C.∠ADC＝∠BEC D.AD＝BE
B
5.如图，AB＝CB，若要判定△ABD≌
△CBD，则需要补充的一个条件是(　　)
A.AB＝BD B.AD＝BC
C.AD＝CD D.BD＝BD
6.如图，PN＝QN，若想用三角形判定条件“边边边”来证明△MNP≌△MNQ，则需要添加的条件是____________.
C
MP＝MQ
(二)能力提升
【建议用时：15分钟 　正确率：　/5】
1.(2024·深圳模拟)如图，用两对全等的三角形纸
片拼成如图所示的六边形，△ABD≌△DEA，
△BCD≌△EFA，则∠F＋∠FAB＋∠ABC＝(　　)
A.240° B.360°
C.180° D.300°
B
2.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是
AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接
BF，CE，有下列说法：①△ABD和△ACD
面积相等；②△BDF≌△CDE；③CE＝BF；
④BF∥CE.其中正确的说法有(　　)
A.2个 B.3个
C.1个 D.4个
D
3.(2024·深圳市民治中学期末)如图，四
边形ABCD是平行四边形，若其面积是
12，则阴影部分的面积是__________.
3
4.(2024·深圳南山三模)如图，在△ABC中，AB
＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点，
如果点P在线段BC上以y厘米/秒的速度由B点向
C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点
运动.若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD
与△CQP全等时，y的值为__________.
2.25或3
5.(2024·深圳龙华二模)如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，∠CDE＋∠C＝180°.
(1)求证：DE＝BC.
证明：∵∠CDE＋∠C＝180°，
∴DE∥AC，∴∠EDB＝∠C，
在△BDE和△ACB中，
∴△BDE≌△ACB(AAS)，∴DE＝BC；
(2)若DE＝12，点D为线段BC的中点，求AC的长.
解：由(1)可知，DE＝BC，∵DE＝12，∴BC＝12，∵D为线段BC的中点，∴BD＝BC＝×12＝6，
由(1)可知，△BDE≌△ACB，∴AC＝BD＝6.
(三)综合应用
【建议用时：10分钟　正确率：　/1】
(2020·深圳)背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放(点E，A，D在同一条直线上)，发现BE＝DG且BE⊥DG.将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图2)，还能得到BE＝DG吗 若能，请给出证明；若不能，请说明理由.
证明：能.证明如下：
∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD(SAS)，
∴BE＝DG.
(四)命题新方向
【新考法】(2024·江苏)如图，点A，B，C，D在同一条直线
上，AE∥BF，AE＝BF.若__________，则AB＝CD.请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由.
①或③
解：选择①CE∥DF：
∵AE∥BF，CE∥DF，∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ECA，
∵AE＝BF，∴△AEC≌△BFD(AAS)，
∴AC＝BD，∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD；
选择②CE＝DF：无法证明△AEC≌△BFD，无法得出AB＝CD；
选择③∠E＝∠F：
∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD，
∵AE＝BF，∠E＝∠F，∴△AEC≌△BFD(ASA)，
∴AC＝BD，∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD.
故答案为①或③.(共55张PPT)
第17课时　相似三角形
第一部分　考点基础过关
第四章　三角形
目录
CONTENTS
04 课堂精讲
02 课前小测
03 知识梳理
01 考情分析
05 答题规范
06 中考演练
考 情 分 析
01
深圳近五年真题分析
命题点 2021 2022 2023 2024 2025
黄金分割
相似三角 形的性质 题19(2)，4分 题22，10分 题10，3分 题15，3分 题22(2)(3)，7分 题22(2)(3)， 7分 题20，12分 题8，3分
题20(2)，4分
新课标要求
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
2.通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比.
3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明.
新课标要求
5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应边的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
8.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值.
9.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
10.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
课 前 小 测
02
1.(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是(　　)
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶8 D.1∶16
2.(2024·深圳坪山期中)如图，在正方
形网格图中，△ABC与△A'B'C'是位
似图形，则位似中心是(　　)
A.点R B.点P
C.点Q D.点O
D
D
3.(2024·深圳宝安模拟)若，则＝_________.
4.(2024·深圳光明期末)如图，两条直线被三条平行线所截，若AB∶BC＝2∶3，DE＝4，则EF的长为__________.

6
知 识 梳 理
03
核心笔记
1.比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d
的比，即_________，那么这四条线段叫做______________.
2.比例的基本性质：若，则__________.
3.黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且，那么点C叫做线段AB的_____________；AC与AB的比叫做__________，即≈__________.
比例线段

成比例线段
ad＝bc
黄金分割点
黄金比
0.618
【跟踪训练】
1.如果6m＝7n(n≠0)，那么下列比例式成立的是(　　)
A. B.
C. D.
2.下列各组中的四条线段成比例的是(　　)
A.a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
C.a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 D.a＝2，b＝4，c＝6，d＝8
B
C
3.(2024·深圳龙岗二模)将某品牌
的行李箱拉杆拉开后按如图所示方
式放置，经测量该行李箱从轮子底
部到箱子上沿的高度AB与从轮子底
部到拉杆顶部的高度CD之比满足黄金分割，即，已知CD＝25(＋1)cm，则AB的长为__________ cm.
4.(2024·重庆)已知，则的值是_________.
50
2
核心笔记
1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组__________所截，所得的对应线段成比例.
2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长
线)相交，截得的对应线段__________.
平行线分线段成比例
平行线
成比例
【跟踪训练】
5.(2024·深圳大鹏华侨中学模拟)如图，
五线谱是由等距离、等长度的五条平
行横线组成的，同一条直线上的三个
点A，B，C都在横线上，若线段AB＝
3，则线段BC的长是(　　)
A. B.
C.1 D.
C
6.(2024·深圳二模)如图，已知点A(0，6)在
y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接AB，
将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，
连接BC，取BC中点D，连接OD，移动点B，
若OD∥AC，则此时点B横坐标为(　　)
A.3 B.5
C.6 D.8
C
核心笔记
1.相似图形的有关概念
(1)__________的图形称为相似图形.
(2)两个边数相同的多边形，如果它们的__________分别相等，对应边__________，那么这两个多边形叫做相似多边形.
(3)相似比：相似多边形__________的比叫做相似比.
相似三角形的性质与判定
形状相同
角
成比例
对应边
2.相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角__________，对应边__________.
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于__________.
(3)相似三角形面积的比等于__________的平方.
3.相似三角形的判定方法
(1)__________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
(2)两角分别__________的两个三角形相似.
(3)三边__________的两个三角形相似.
(4)两边__________且__________相等的两个三角形相似.
相等
成比例
相似比
相似比
平行
相等
成比例
成比例
夹角
【跟踪训练】
7.下列几组图形中，是相似图形的是(　　)
A B C D
8.两个相似三角形的周长比是1∶2.则其相似比是(　　)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
C
B
9.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定
△ABC∽△ADE的是(　　)
A.∠C＝∠E
B.∠B＝∠E
C.
D.
D
10.(2024·深圳罗湖区校级模拟)如图，
△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6.将
△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影
三角形与原三角形不相似的是(　　)
C
11.(2024·乳山期末)如图，点P在△ABC的边AB上，∠A＝
70°，∠B＝45°，若△ABC∽△ACP，则∠APC＝(　　)
A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
B
核心笔记
利用相似三角形解决实际问题，常见问题有：
(1)测量不可以到达对岸的河的宽度；
(2)测量底部不可以到达的物体的高度；
(3)利用投影、平行线、标杆等构造相似图形求解问题；
(4)证明线段的数量关系，求线段的长度、图形的面积大小等；
(5)利用相似三角形的有关知识测量两建筑物之间的距离.
相似三角形的应用
【跟踪训练】
12.如图，已知零件的外径是7 cm，现用一个交叉
卡钳(两条尺长AC和BD相等)测量零件的内孔直径
AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝2∶1，且量得CD＝
3 cm，则零件的厚度为(　　)
A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
A
核心笔记
1.如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线(或其延长线)
相交于一点，那么这两个图形叫做__________图形，这个交点叫做__________.
2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__________，位似图形周长的比等于__________；面积比等于__________的平方.
3.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，则原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky).
位似
位似
位似中心
相似比
相似比
相似比
【跟踪训练】
13.(2024·重庆三模)如图，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，若OC1＝OC，△A1B1C1的面积为1，则
△ABC的面积为(　　)
A.1
B.2
C.4
D.8
C
14.(2024·阳泉三模)如图，在平面直角坐标系中，△OAB与
△OCD的位似比是2∶1，若点A(－3，2)，B(－2，－2)，则点B的对应点D的坐标为(　　)
A.(－1，－1)
B.(－4，－4)
C.(－1，－1)或(1，1)
D.(－4，－4)或(－1，－1)
C
课 堂 精 讲
04
例1　(2024·湖南)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，
AC的中点.下列结论中，错误的是(　　)
A.DE∥BC
B.△ADE∽△ABC
C.BC＝2DE
D.S△ADE＝S△ABC
平行线分线段成比例
D
变1　(2024·辽宁)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为__________.
12
常考题型：(1)利用相似三角形求长度、角、面积；(2)利用相似三角形解决实际问题.
例2　(2024·深圳南山二模)如图是钉板示意图，每相邻4个钉
点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则△BDE面积为(　　)
A. B.
C. D.
相似三角形的性质
C
变2　(2024·深圳福田三模)如图，在平行四边形ABCD中，点M为边CD的中点，AM与BD相交于点N，已知S△DNM＝1，那
么S△ADN等于__________.
2
例3　如图，在矩形ABCD中，点E，F分别
在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求
证：△ADE∽△DCF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.
相似三角形的判定
变3　如图所示，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从B，C同时出发，过多少秒时，以C，P，Q为顶点的三角形恰与△ABC相似
解：设过t秒时，以C，P，Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则BP＝2t cm，CP＝BC－BP＝(8－2t)cm，CQ＝t cm，
∵∠C是公共角，∴①当，
即时，△CPQ∽△CBA，解得t＝2.4；
②当，即时，△CPQ∽△CAB，解得t＝.
∴过2.4秒或秒时，以C，P，Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
答 题 规 范
05
答题模板与评分标准 示范题　如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长.
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，………………………………2分
∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
答题模板与评分标准
满分：8分　　　　实得：
∴DN＝EH＝x，………………………………………3分∵△AEF∽△ABC，∴(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)，………………………………………5分
∵BC＝12，AD＝6，∴AN＝6－x，∴，解得x＝4，………………………………………………………6分
∴AN＝6－x＝6－4＝2. ………………………………8分
中 考 演 练
06
(一)基础过关
【建议用时：5分钟　正确率：　　/7】
1.如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC
的中点，则S△ADE∶S△ABC＝(　　)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
D
2.(2024·深圳坪山三模)0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值.研究发现，当成人的体重(kg)与身高(cm)的比达到(1－0.618)∶1时，那么这个成人的体重就比较理想.若王老师的身高是165 cm，下列选项中，最接近她的理想体重的是
(　　)
A.65 kg B.63 kg
C.60 kg D.55 kg
B
3.(2024·深圳福田三模)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，
DB＝1，AE＝4，则AC的长度为(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
B
4.(2024·北京)如图，直线AD，BC交于点O，
AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，
则的值为 __________.
5.如图，原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中
心，点A(1，0)与点A'(－2，0)是对应点，
△ABC的面积是3，则△A'B'C'的面积是
__________.
12
6.(2024·深圳盐田三模)在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(1，－2).若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的位似比等于，则点A'的坐标为______________________.
7.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理，
它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影
的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔
O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB＝36 cm，
A'B'＝24 cm.小孔O到AB的距离为30 cm，则小
孔O到A'B'的距离为__________cm.
(3，－6)或(－3，6)
20
(二)能力提升
【建议用时：15分钟 　正确率：　/6】
1.(2024·深圳一模)如图，正方形OABC与正方
形ODEF是位似图形，O为位似中心，若两个正
方形的面积之比为1∶3，点A坐标为(2，0)，则
E点坐标为(　　)
A.(2，2) B.()
C.(2，0) D.(3，3)
A
2.如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，
EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为(　　)
A. B.
C.2 D.3
A
3.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，
∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(　　)
A.1.8 B.2.4
C.3 D.3.2
C
4.(2024·云南)如图，AB与CD交于点O，
且AC∥BD.若，则＝
________.
5.(2023·深圳)如图，在△ABC中，AB
＝AC，tan B＝，点D为BC上一动点，
连接AD，将△ABD沿AD翻折得到
△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，
且AG∶CG＝3∶1，则＝ ______.

6.(2024·上海)如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上的一点，且AE⊥BD.
(1)求证：AD2＝DE·DC.
证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∠ADE＝90°，AB＝DC，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°，∵AE⊥BD，
∴∠DAE＋∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD，∴，
即AD2＝DE·BA，∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC；
(2)F为线段AE延长线上的一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD.
证明：连接AC交BD于点O，如答图所示，
在矩形ABCD中，∠ADE＝90°，则∠DAE
＋∠AED＝90°，
∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC，
在矩形ABCD中，OA＝OD＝BD，
∵EF＝CF＝BD，∴OA＝OD＝EF＝CF，∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，
∵∠ADO＝∠FEC，∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，
在△ODA和△FEC中， ∴△ODA≌△FEC(AAS)，∴CE＝AD.
(三)综合应用
【建议用时：15分钟　正确率：　/3】
1.(2023·广东)如图，边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为__________.
15
2.(2022·深圳)如图，已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝
90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，连接CE，以CE为斜边作
直角三角形CDE，CD＝DE，F是AE边上的一点，连接BD和
BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 __________.
3.(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
证明：∵BE＝3，EC＝6，
∴BC＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵，
∴，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF.
(四)命题新方向
【教材拓展】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE.将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，
则tan∠DAF的值为__________.

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