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八年级数学上学期期末复习案(3) 实数的初步认识
【学习目标】
1、理解并掌握平方根、算术平方根、立方根、的概念及性质；
2、理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数；
3、理解实数的概念及性质，会对实数进行分类,理解实数与数轴上的点是一一对应的关系.
【学习重点】实数的概念及性质，会对实数进行分类.
【学习难点】实数的概念及性质，会对实数进行分类.
【学习过程】
一、本章知识点：
知识点01 平方根、算术平方根与立方根
1、平方根：如果x2=a(a≥0)，那么x叫作a的平方根（或二次方根）.正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
2、算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根.
3、立方根：如果x3=a,那么x叫作a的立方根,也称为三次方根.正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.
知识点02 无理数与实数的概念、分类及性质
1、无理数：无限不循环小数叫作无理数.
2、实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的.
二、例题讲解
1、讲解例题1：（2025秋 西湖区校级期中）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①；②0.54；③0.1；④；⑤0；⑥﹣23；⑦0.3020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）．
有理数集合：{　 　 …}；无理数集合：{　 　 …}；
正数集合：{　 　 …．}；负数集合：{　 　 …}．
2、尝试练习：（2025秋 奉化区校级期中）把下列各数填入相应的集合里．
﹣4.2，50%，0，﹣||，2.1，3.1010010001…，﹣42，，﹣（）．
正数集合：{　 　 …}；分数集合：{　 　 …}；
负有理数集合：{　 　 …}；无理数集合：{　 　 …}．
3、讲解例题2：（2025秋 未央区校级期中）根据平方根、立方根的定义解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣36＝0； （2）8（x+1）3＝﹣27．
4、尝试练习：（2024秋 宜兴市期末）根据平方根、立方根的定义求下列各式中的x：
（1）（x﹣3）2﹣1＝3； （2）8（x+1）3＝1．
5、讲解例题3：（2025秋 马边县期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
①1.596（精确到0.01）： ；②0.03057（精确到千分位） ；
③2345000（精确到万位） ；
6、尝试练习：（2025秋 江北区校级期中）用四舍五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值：
（1）245.635（精确到0.1）： ；（2）175.65（精确到个位）： ；
（3）12.004（精确到百分位）： ；（4）6.5378（精确到0.01）： ．
7、讲解例题4：（2025秋 新源县期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示．
（1）a+c　 　 0，c　 　 0，a﹣b　 　 0．（用“＞”或“＜”填空）
（2）化简：|﹣a|+|a+c|+|c|﹣|a﹣b|．
8、尝试练习：（2025秋 天府新区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：a﹣b　 　 0，b+c　 　 0，c﹣a　 　 0．
（2）化简|a+b|+|b+c|﹣|c﹣a|．
9、讲解例题5：（2024秋 淮阴区校级期末）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求a+32b﹣c的立方根．
10、尝试练习：（2025秋 西安校级月考）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．
（1）a= ，b= ，c= ；（2）求2a﹣b的平方根．
11、讲解例题6：（2025秋 南山区）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：．
例如：比较与2的大小．
∵，
又∵，则，
∴，
∴．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是　 　 ，的小数部分是　 　 ；
（2）　 　 ﹣3（比较这两个数的大小）；
（3）已知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，试用“比差法”比较与的大小；
【迁移应用】（4）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？
7．（2025秋 顺德区校级月考）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法：因为，所以　 　 2，所以　 　 （填“＞”或“＜”）；
小英的方法：，因为19＞42＝16，所以　 　 0，所以　 　 0，所以　 　 （填“＞”或“＜”）．
（1）将上述材料补充完整；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
八年级数学上学期期末复习案(3) 实数的初步认识（参考答案）
【学习目标】
1、理解并掌握平方根、算术平方根、立方根、的概念及性质；
2、理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数；
3、理解实数的概念及性质，会对实数进行分类,理解实数与数轴上的点是一一对应的关系.
【学习重点】实数的概念及性质，会对实数进行分类.
【学习难点】实数的概念及性质，会对实数进行分类.
【学习过程】
一、本章知识点：
知识点01 平方根、算术平方根与立方根
1、平方根：如果x2=a(a≥0)，那么x叫作a的平方根（或二次方根）.正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
2、算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根.
3、立方根：如果x3=a,那么x叫作a的立方根,也称为三次方根.正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.
知识点02 无理数与实数的概念、分类及性质
1、无理数：无限不循环小数叫作无理数.
2、实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的.
二、例题讲解
1、讲解例题1：（2025秋 西湖区校级期中）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①；②0.54；③0.1；④；⑤0；⑥﹣23；⑦0.3020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）．
有理数集合：{　①②③⑤⑥　 …}；无理数集合：{　④⑦　 …}；
正数集合：{　②③④⑦　 …．}；负数集合：{　①⑥　 …}．
2、尝试练习：（2025秋 奉化区校级期中）把下列各数填入相应的集合里．
﹣4.2，50%，0，﹣||，2.1，3.1010010001…，﹣42，，﹣（）．
解：正数集合：{50%，2.1，3.1010010001…，，﹣（） …}；
分数集合：{﹣4.2，50%，﹣||，2.1，﹣（） …}；
负有理数集合：{﹣4.2，﹣||，﹣42…}；无理数集合：{3.1010010001…， …}．
3、讲解例题2：（2025秋 未央区校级期中）根据平方根、立方根的定义解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣36＝0； （2）8（x+1）3＝﹣27．
解：（1）由题意得：（x﹣2）2＝36，∴x﹣2＝±6，∴x﹣2＝6或x﹣2＝﹣6；解得：x＝8或x＝﹣4；
（2）解：由题意得：，∴，解得：．
4、尝试练习：（2024秋 宜兴市期末）根据平方根、立方根的定义求下列各式中的x：
（1）（x﹣3）2﹣1＝3； （2）8（x+1）3＝1．
解：（1）（x﹣3）2﹣1＝3，（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，∴x＝5或x＝1；
（2）8（x+1）3＝1，，，∴．
5、讲解例题3：（2025秋 马边县期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
①1.596（精确到0.01）： 1.60 ；②0.03057（精确到千分位） 0.031 ；
③2345000（精确到万位） 2.35×106 ；
解：根据四舍五入的规则及不同精确度的取法，可得：
①1.596≈1.60；②0.03057≈0.031；③2345000＝2.345×106≈2.35×106．
6、尝试练习：（2025秋 江北区校级期中）用四舍五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值：
（1）245.635（精确到0.1）： 245.6； ；（2）175.65（精确到个位）： 176 ；
（3）12.004（精确到百分位）： 12.00 ；（4）6.5378（精确到0.01）： 6.54 ．
解：（1）245.635≈245.6；（2）175.65≈176；（3）12.004≈12.00；（4）6.5378≈6.54．
7、讲解例题4：（2025秋 新源县期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示．
（1）a+c　 ＞ 　 0，c　＜　 0，a﹣b　 ＞　 0．（用“＞”或“＜”填空）
（2）化简：|﹣a|+|a+c|+|c|﹣|a﹣b|．
解：（1）观察数轴得b＜c＜0＜a，且|c|＜|a|＜|b|，∴a﹣b＞0，a+c＞0，故答案为：＞，＜，＞；
（2）由（1）得a+c＞0，a﹣b＞0，b＜c＜0＜a，∴﹣a＜0，
|﹣a|+|a+c|+|c|﹣|a﹣b|＝a+a+c+（﹣c）﹣（a﹣b）＝a+a+c﹣c﹣a+b＝a+b．
8、尝试练习：（2025秋 天府新区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：：a﹣b　＜　 0，b+c　＞　 0，c﹣a　＞　 0
（2）化简|a+b|+|b+c|﹣|c﹣a|．
解：根据数轴得出a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|，（1）a﹣b＜0，b+c＞0，c﹣a＞0，故答案为：＜，＞，＞；
（2）∵a+b＜0，b+c＞0，c﹣a＞0，
∴|a+b|+|b+c|﹣|c﹣a|＝﹣a﹣b+b+c﹣c+a＝0．
9、讲解例题5：（2024秋 淮阴区校级期末）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求a+32b﹣c的立方根．
解：∵2a﹣1的算术平方根是3，∴2a﹣1＝9，解得a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，∴3a+b﹣1＝16，解得：b＝2；
∵52＝25，62＝36，25＜30＜36，∴，∵c是的整数部分，即c＝5，
∴a+32b﹣c＝5+32×2﹣5＝64，
∵43＝64，∴a+32b﹣c的立方根为4．
10、尝试练习：（2025秋 西安校级月考）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．
（1）a= ﹣3 ，b= 5 ，c= 6 ；（2）求2a﹣b的平方根．
解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，∴3a+1＝﹣8，解得，a＝﹣3，
∵2b﹣1的算术平方根是3，∴2b﹣1＝9，解得，b＝5，
∵，∴67，∴的整数部分为6，即，c＝6，因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，
（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，2a﹣b6﹣56＝16，
2a﹣b的平方根为±±4．
11、讲解例题6：（2025秋 南山区）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：．
例如：比较与2的大小．
∵，
又∵，则，
∴，
∴．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是　 5 　 ，的小数部分是　 5 　 ；
（2）　 ＞ 　 ﹣3（比较这两个数的大小）；
（3）已知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，试用“比差法”比较与的大小；
【迁移应用】（4）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？
解：（1）∵，∴56，∴的整数部分为5，小数部分为5，
故答案为：5，5；
（2）∵45，∴﹣54，∴0＜51，
∵2（﹣3）＝50，∴23，故答案为：＞；
（3）∵（）2＝198+299×2+2，（2）2＝4×99＝2×99+2，
∴（）2﹣（2）2＝220，
∴（）2＜（2）2，即2；
【知识迁移】设每块A型钢板的面积为a，每块B型钢板的面积为b，则方案一用料的面积为4a+8b，方案二用料的面积为3a+9b，
∵（4a+8b）﹣（3a+9b）＝4a+8b﹣3a﹣9b＝a﹣b，
而A型钢板的面积比B型钢板大，即a＞b，也就是a﹣b＞0，
∴4a+8b＞3a+9b，∴方案二省料，选择方案二．
7．（2025秋 顺德区校级月考）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法：因为，所以　 ＞　 2，所以　 ＞ 　 （填“＞”或“＜”）；
小英的方法：，因为19＞42＝16，所以 ＞0，所以　＞0，所以＞ （填“＞”或“＜”）．
（1）将上述材料补充完整；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
解：（1）小华的方法：因为，所以，所以；
小英的方法：，因为19＞42＝16，所以，所以，所以；
故答案为：＞，＞，＞，＞，＞；
（2）小英的方法：，因为6＜32＝9，所以，所以，所以；
小华的方法：因为，所以，所以．

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