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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
4 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
情境导入
某小区为了安全管理，准备在A，B两幢楼房之间增加一处节能灯，要求节能灯与两楼之间的距离相等，灯到A，B幢楼所在直线的垂直距离为20 m，你能确定节能灯的位置吗？
问题1：什么是线段的垂直平分线？经过某一条线段的____，并且____于这条线段的____是线段的垂直平分线．
问题2：如图，在幸福路的同侧有两个村庄A，B，政府部门计划在幸福路边上修建一个储水塔．为了使储水塔到两个村庄一样远，地址应选在何处？小明想到的解决方案是：连接A，B，然后作线段AB的垂直平分线与道路交于点P，点P即为所求的地址，你能解释一下他这样做的理由吗？
中点
垂直
直线
命题角度1　理解线段垂直平分线的性质定理
探究新知
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，注意分析基本图形，读透图形包含的重要信息，解决有关线段相等的问题．
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成，
A
B
应用举例
例1 如图，线段AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，则下列结论一定成立的是 ( )
A．ED＝CD B．AD＝BD C．AB＝AC D．BD＝AC
B
【例2】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 ( )
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
C
归纳总结
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
符号语言：
∵ 点P在直线MN上， MN⊥AB于点C，AC=BC，
∴ PA=PB.
注意：线段垂直平分线上的“点”是任意一点，这个点到线段两个端点的距离相等是指它与已知线段的两个端点所连线段的长度相等.
跟踪训练
B
A
O
P
1.如图所示，PO是AB的垂直平分线，则下列结论正确的有 (　　)
① PA=PB；② OA=OB；③ ∠A=∠B；④ ∠APO=∠BPO.
A. ①②③ B. ①②④
C. ①②③④ D. ②③④
C
2.在△ABC中，DE是AC的垂直平分线.
若△ABD的周长为13 cm，则AB+BC=　　　　cm；
分析： ∵ DE是AC的垂直平分线，
13
∴ AD=CD (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
∵ AB+BD+AD=13cm，
∴ AB+BC=AB+BD+CD=AB+BD+AD=13 cm.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
想一想
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
命题角度2　利用线段垂直平分线的性质求值
探究1
【线段垂直平分线的性质】
探究新知
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
证明：∵ MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，
∵ AC=BC，PC=PC，
∴ △PCA≌△PCB(SAS).
∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).
写出线段垂直平分线性质定理的逆命题，并证明．
定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
探究2
【线段垂直平分线的判定】
已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上．
A
B
P
证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C.
C
A
B
P
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，
∴AC＝BC，
即点P在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线．
C
A
B
P
证明：∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA＝∠PCB.
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
即PC⊥AB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
应用举例
例3 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为 ( )
A．8 B．11 C．16 D．17
B
例4 如图，已知CD是AB的垂直平分线，AC＝4 cm，BD＝2 cm，则四边形ADBC的周长为_______．
12cm
归纳总结
符号语言：
∵ PA=PB，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线MN上.
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
注意：由PA=PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，但不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P的直线有无数条.
命题角度3　线段垂直平分线的判定
探究新知
证明一条直线是某线段的垂直平分线，既可以用定义证明，也可以用判定定理证明．
应用举例
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
【方法指导】
线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用．
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
同理，点O在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO是线段BC的垂直平分线．
还有其他证法吗
有其他证法.
A
B
C
O
D
证明：如图所示，设AO交BC于点D.
在△ABO和△ACO中，
∵ AB=AC，OB=OC，AO=AO，
∴ △ABO≌△ACO(SSS)，
∴ ∠BAO=∠CAO，又AB=AC，
∴ AD⊥BC，BD=CD，
∴ 直线AO垂直平分线段BC.
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC
于点E，若AD＋AC＝24 cm，BD＋BC＝20 cm，求△BEC的周长．
【方法指导】由AD＝AB，AB＝AC和AD＋AC＝24 cm，可求出AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.由BD＋BC＝20 cm得BC＝12 cm，由DE垂直平分AB得EA＝EB，所以BE＋EC＝AC，
由此即可求出△BEC的周长．
A
D
E
B
C
解：∵DE垂直平分AB，
A
D
E
B
C
∴AD＝BD＝AB.
∵AB＝AC，∴AD＝AC.
∵AD＋AC＝24 cm，
∴AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.　
∵BD＋BC＝20 cm，
∴BC＝12 cm.
∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm).
即△BEC的周长为28 cm.
应用举例
例5 如图，P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则 ( )
A．点P在∠ABC的平分线上
B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上
D．点P在边BC的垂直平分线上
D
例6 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，连接DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠D.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D，
∴∠CFD＝∠A.
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠A，
∴EF＝EA，
∴点E在AF的垂直平分线上．
例7 如图，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点E，你能在图中找到哪些相等的角
A
B
E
C
D
∵ AB=AD，CB=CD，
∴ AC是BD的垂直平分线.
像AB=AD，CB=CD这样的四边形ABCD叫作“筝形”.
随堂练习
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，若AB＝4，BC＝9，则△AEF的周长为 ( )
A．4 B．5 C．9 D．13
C
2．如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB＝5，BD＝4，则AC＝____，CD＝____，AD＝____．
5
4
3
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE为AB的垂直平分线，则∠1＝____，∠C＝____，∠3＝____，∠2＝____；若△ABC的周长为16 cm，BC＝4 cm，则AC＝____cm，△BCE的周长为____cm.
40°
70°
30°
80°
6
10
4. 还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗 试用本节所学的定理解释其中的道理.
解：因为“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，
所以我们只需利用尺规作出到已知线段两个端点的距离分别相等的两个点，
然后利用“两点确定一条直线”即可作出已知线段的垂直平分线.
5. 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点.
求证：∠ECF=∠EDF.
证明：∵ AB是线段CD的垂直平分线，
∴ EC=ED，FC=FD(线段垂直平分线上
的点到这条线段两个端点的距离相等)，
∴ ∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC(等边对等角)，
∴ ∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC，即∠ECF=∠EDF.
6. 如图，OM垂直平分AB，ON垂直平分AC，BC与OM，ON分别交于点D，E，连接AD，AE.若BC=10，求△ADE的周长.
证明：∵ OM垂直平分AB，点D在OM上，
∴ BD=AD.
同理可得CE=AE.
∴ △ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10.
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点.
求证：DG垂直平分EF.
证明：如图所示，连接ED，FD.
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又BE=CD，BD=CF，
∴ △BED≌△CDF(SAS)，
∴ ED=DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
又G为EF的中点，
∴ GE=FG，
∴点G在线段EF的垂直平分线上，
∴ DG垂直平分EF.
课堂小结
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
判定
定理
作辅助线的依据
性质
定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
线段的垂直平分线
课本P38习题1.4中的T4、T5.
课后作业

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