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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
5 角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
情境导入
我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
请你尝试证明这一结论.
1．___________________________________________叫作角的平分线．
2．我们曾用折纸的方法探索过角平分线上点的性质(如图)．从折纸的过程中，可以得到：________________________
____________．
O
B
A
C
P
E
D
1
2
从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线
角的平分线上的点到角两
边的距离相等
探究新知
探究1
【探究角平分线的性质定理】
1．证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
O
B
A
C
P
E
D
1
2
O
B
A
C
P
E
D
1
2
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2，OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)，
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．
符号语言表示为：
∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.
应用角平分线的性质定理必须具备的条件：两垂直，一平分．
O
B
A
C
P
E
D
1
2
归纳总结
归纳总结
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD＝PE.
O
B
A
C
P
E
D
注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度.
你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
探究新知
探究2
【探究角平分线的判定定理】
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它的逆命题是
________________________________________________________．
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
请证明角平分线的判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
1．已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上．
O
A
B
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
O
A
B
1
2
P
D
E
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)，
∴∠1＝∠2，
即点P在∠AOB的平分线上．
角平分线和线段垂直平分线的比较：
相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等.
不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等；
线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等.
用符号语言表示为：
∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴点P在∠AOB的平分线上．
角平分线的判定定理的特征是：两垂直，一相等．
O
A
B
1
2
P
D
E
归纳总结
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
应用举例
1.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为 ( )
A．10 B．7 C．5 D．4
C
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD.
证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC.
在△DEB和△DCF中，
∴△DEB≌△DCF(SAS)，
∴BD＝FD.
3.如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为 ( )
A．65° B．60°
C．45° D．30°
A
4.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，
∴DF＝DE.
又∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
探究新知
例1 已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，求点D到AB边的距离．
【方法指导】
已知∠A的平分线AD，可作DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DE＝CD，根据已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，即可得到点D到AB的距离．
A
B
C
D
C
A
B
D
E
解：如图，作DE⊥AB.
∵∠C＝90°，∴CD⊥AC.
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD.
∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15 cm，
∴CD＝15×????????＝6(cm)，
?
∴DE＝6 cm，
∴点D到AB边的距离为6 cm.
例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长．
A
B
C
D
E
F
【分析】先用角平分线的判定定理证得AD是∠BAC的平分线，得到∠BAD＝30°，再利用在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，30°所对的直角边等于斜边的一半，即DE是AD的????????，求得DE.
?
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，
A
B
C
D
E
F
∴AD平分∠BAC.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝????????AD＝????????×10＝5.
?
随堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝m，AB＝n，则△ABD的面积是 ( )
A．mn B．????????mn C．2mn D．????????mn
?
A
B
C
D
B
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝2，则点D到AB的距离是____．
2
A
C
D
B
3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O.
(1)如果∠1＝∠2，求证：OB＝OC；
(2)如果OB＝OC，求证：∠1＝∠2.
1
2
A
B
C
E
D
O
证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2，
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴OD＝OE.
∴OB＝OC；
1
2
A
B
C
E
D
O
(2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS)，
∴OD＝OE.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OA为∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2.
4. 如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500 m，请你在图中标出它的位置(比例尺为1：20 000).
解：如图所示，把公路、铁路看成两条相交直线(交点为O)，作出其夹角(A区所在角)的平分线OB，在OB上截取OC=2.5 cm，点C即为所求作的目标的位置.
O
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索角平分线的性质定理与判定定理过程中，我们运用了哪些方法？
课堂小结
课本P44习题1.5中的T1、T2.
课后作业

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