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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形与等边三角形的性质
情景导入
已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：
(1)∵AB＝AC，∴∠B＝______．根据是____________；
(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，则CD＝____．根据是___________；
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝_______；
(4)若BD＝CD，则AD____BC，∠BAD＝___________.
∠C
等边对等角
4
三线合一
20°
⊥
∠CAD
【探究1】等腰三角形的性质
探究新知
我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，请你选择其中一条性质进行证明.
定理 等腰三角形的两个底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
分析：有哪些结论可以证明两个角相等?
还记得利用折纸的方法探索等腰三
角形的性质吗?这对你有什么启发?
A
B
C
轴对称的性质、全等三角形的对应角相等.
构造全等三角形来推导角相等.
证明：如图，取BC的中点D，连接AD.
∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(SSS).
∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
A
B
C
D
还有其他证法吗?
有.
如图所示，作等腰三角形ABC顶角的平分线AD.
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(SAS)，
∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
A
B
C
D
由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征?为什么?
A
B
C
D
思考·交流
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， AD是中线.
根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD，
所以 AD是等腰三角形ABC 顶角的角平分线.
A
B
C
D
根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB=∠ADC，
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=∠ADC=90°.
所以AD⊥BC，
即AD是等腰三角形ABC底边上的高.
等腰三角形的性质定理 ：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).
注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.
A
B
C
D
符号语言：
在△ABC中，∵ AB=AC， ∠1=∠2 (已知)，
∴ BD=CD，AD⊥BC (“三线合一”).
1
2
A
B
C
D
或∵ AB=AC， BD=CD (已知)，
∴ ∠1=∠2，AD⊥BC (“三线合一”).
或∵ AB=AC， AD⊥BC (已知)，
∴ BD=CD，∠1=∠2 (“三线合一”).
有关等腰三角形性质的一些结论
(1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.
如图，DE+DF=CH.
等面积法：∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC，
∴ ????????·AB·CH=????????·AB·DE+????????·AC·DF.
又∵ AB=AC，∴ DE+DF=CH.
?
(2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
(3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半.
如图，∠HCB=????????∠BAC.
?
证明：在Rt△BHC中，∠B=90°-∠HCB，
在等腰三角形ABC中，∠B=????????(180°-∠BAC)=
90°-????????∠BAC，
?
∴90°-∠HCB=90°-????????∠BAC，即 ∠HCB=????????∠BAC.
?
【探究2】等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？
A
B
C
尝试·交流
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C(等边对等角).
又∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B(等边对等角)，
∴∠A＝∠B＝∠C.
在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
B
C
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合.
B
C
A
{BDBED569-4797-4DF1-A0F4-6AAB3CD982D8}
等腰三角形
等边三角形
边
角
三线
合一
对称性
每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条)
三个角都相等，且都是60°
轴对称图形(3条对称轴)
轴对称图形(1条对称轴)
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
两腰相等
三条边都相等
等边三角形与等腰三角形的性质归纳
回顾·反思
回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？
一般会先研究一般图形的性质，然后再研究特殊图形的性质，并围绕其边、角进行研究，若是三角形，还要研究其高、中线、角平分线的性质.
应用举例
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【方法指导】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数．
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
【例2】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.
在△ABE和△CBD中，????????=????????,?????????????∠????????????=∠????????????,????????=????????,?????????????
?
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE＝CD.
【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________.
15°
【方法指导】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.
又∵CG＝GD，
∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.
又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.
【例4】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.
∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△DBC≌△EAC(SAS).
又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，
∴∠BCA＝∠EAC.
∴AE∥BC.
∴∠DBC＝∠EAC.
归纳总结
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简述为“三线合一”
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
等腰三角形
等边三角形
性质定理
等腰三角形的两个底角相等，简述为“等边对等角”
性质定理
随堂练习
1．如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为 ( )
A．3　　　　　　　 B．6　　　　　　　
C．3????　　　　　　　 D．3????
?
D
2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______．
3．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是_____________________．
25
70°和40°或55°和55°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.
(1)求∠ECD的度数；
解：(1)∵DE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE.
又∵∠A＝36°，∴∠ECD＝∠A＝36°.
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.
(2)若CE＝5，求BC的长．
(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°.
∵∠ECD＝36°，
∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°.
∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE＝72°＝∠B.
∴BC＝CE＝5.
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8，求CD的长.
A
B
C
D
解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴ AD是△ABC底边BC上的中线，
∴ CD=????????BC=????????×8=4.
?
6. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：∵ △ADE是等边三角形，
∴ AD=DE=EA，∠ADE=∠DAE=60°.
又D，E是BC的三等分点，
∴ BD=DE=EC，∴ AD=BD，∴ ∠B=∠BAD.
∵ ∠ADE=∠B+∠BAD=60°，
∴ ∠BAD=∠B=30°.同理可得∠EAC=∠C=30°，
∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°.
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P20－21习题1.2中的T1、T2、T3、T4.
课后作业

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