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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
1.什么是勾股定理？
定理：______三角形___________的平方和等于____的平方．
直角
两条直角边
斜边
复习导入
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝3，c＝5，则b＝____．
(2)若a＝6，∠A＝30°，则b＝____．
(3)若a＝6，∠A＝45°，则c＝____．
3．下面几组数中，不能组成直角三角形的是( )
A．5，12，13 B．4，6，8
C．2，3， D．，4，5
4
6
6
B
古埃及人曾经用下面的方法画直角：
将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
命题角度1　判定直角三角形
问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
探究新知
判断直角三角形的方法：
(1)有一个角为直角；
(2)两个锐角互余；
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
例1 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．三内角之比为1∶2∶3
B．三边长分别为5，12，14
C．三边长之比为3∶4∶5
D．三角形三个内角中有两个角互余
例2 若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为____．
B
4.8
应用举例
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
B
C
∵∠B = 90°，
∴∠A +∠C = 90°.
归纳总结
性质定理1：直角三角形的两个锐角互余．
证明：在△ABC中，
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
A
C
B
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
探究新知
性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
证明：在△ABC中，
∠A＋∠B＋∠C＝180°.
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形．
A
C
B
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°
∴△ABC是直角三角形．
利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
归纳总结
命题角度2　折叠问题
理解折叠前后的图形全等，找准相等的角和边，利用方程思想，结合勾股定理算出要求的线段或角．
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
如图，在△ABC 中，
∠C = 90°，BC = a，
AC = b，AB = c.
分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG. 连接 EB，CH.
勾股定理的证明
D
M
N
过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N.
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
D
∵EA = CA,
∠EAB =∠CAH=90°+ ∠CAB ，
AB = AH，
∴△EAB ≌△CAH（SAS）.
又∵S正方形 ACDE= 2S△EAB，
E
F
G
M
N
H
I
A
B
C
a
b
c
D
S长方形AHNM = 2S△CAH，
∴b2 = S长方形AHNM.
同理 a2 = S长方形MNIB.
∴ c2 = a2 + b2.
例3如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是 ( )
A．AF＝AE B．EF＝2
C．△ABE≌△AGF D．AF＝EF
D
应用举例
例4 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则EC＝___cm.
3
命题角度3　勾股定理的应用
探究
【勾股定理及其逆定理】
问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？
问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？
已知：如图1-24（1），在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形．
分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
A
B
C
A’
B’
C’
图1-24
（1）
（2）
证明：如图1-24（2），作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，
A′B′＝AB，A′C′＝AC，
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)．
A’
B’
C’
图1-24
A
B
C
（1）
（2）
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
归纳总结
例5 如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少是 ( )
A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m
B
应用举例
例6 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD约为____m(结果精确到0.1)．
2.9
命题角度4　最短路程
此类问题一般将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，确定最短路程．求解过程中常构建直角三角形，用勾股定理求出相关线段的长．
例7 图①所示的正方体木块的棱长为4 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为
_____________cm.
(2＋2)
应用举例
例8 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)
解：×(2×3)×3＝9(cm)，
＝＝15(cm).
∴需要爬行的最短路程是15 cm.
命题角度5　互逆命题(定理)的识别
交换命题的条件部分与结论部分，则得到的新命题与原命题为互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命题．
探究
【互逆命题和互逆定理】
观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
应用举例
例9 下列说法正确的是 ( )
A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题
例10 下列定理中，没有逆定理的是( )
A．等腰三角形的两个底角相等
B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等
D．直角三角形两个锐角的和等于90°
A
B
随堂练习
1.填空．
(1)每个命题都是由________、________两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__________，结论是______；
(2)“对顶角相等”是______命题；“我们是小学生”是______命题；(选填“真”或“假”)
(3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形
式：______________________________________________；
条件
结论
对顶角
相等
真
假
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等
(4)直角三角形的两个锐角_____；有两个角互余的三角形是___________；
(5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：____________________________________________．
互余
直角三角形
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
2．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
3．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，
DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为_______．
5或
144
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点，且∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长.
解：∵AB∥CD，
∴ ∠BAD +∠ADC = 180°，
又∵∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，
∴∠EAD +∠ ADE = 90°，
根据勾股定理，AD2 = AE2 + DE2 = 22 + 32 = 13,
∴ AD =
课堂小结
直角三角形
角的性质
边的性质
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
互逆命题与互逆定理
互逆命题
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
概念
概念
课本P31习题1.3中的T1、T2.
课后作业

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