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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和与全等三角形的性质与判定
情境导入
1．旧知回顾
(1)请回顾平角的定义及平行线的性质，并完成下面的填空：
已知：如图，点B，A，E在同一直线上，∠1＝∠B.求证：∠C＝∠2.
证明：∵∠1＝∠B(____________)，
∴AD∥BC(____________).
∴∠C＝∠2(____________).
(2)回顾七年级下册学过的全等三角形的判定方法
①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
③三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
2．课堂导入
如图，假如你正站在金字塔下．现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法．
可以先测出侧面三角形底边上的两个角，再求出塔尖处的侧面角．
【探究1】三角形的内角和
探究新知
我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗
测量法
60°+48°+72°=180°
折叠法
在七年级，我们曾剪下三角形的一个内角进行转移，
然后借助平行线的判定与性质证明这个结论.
(1) 如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗
如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的.
尝试·交流
如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果
如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线
将等角进行转移.
如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到
将∠A转移到∠1的位置的效果.
(2) 你能说说这个结论的证明思路吗 请试着写出证明过程.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA，
则∠1=∠A，∠2=∠B.
∵ 点B，C，D在同一条直线上，
∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°.
D
E
2
1
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°.
(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗 如果可行，你能写出证明过程吗
思考·交流
可行.
∵ PQ∥BC(已知)，
∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等).
又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)，
∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换).
(2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗
证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC
交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N，
∵ MD∥ AC ， ND∥ AB，
∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A .
又∠1+∠2+∠3=180°，
∴ ∠C+∠A+∠B=180°.
A
B
C
D
M
N
1
2
3
为了证明三个角的和为180°,将其转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法.
【例1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形是 ( )
A．锐角三角形　　　B．直角三角形　　　
C．钝角三角形　　　D．等腰三角形
B
【例2】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题：
A
B
C
F
E
延长 AC 到点F,过点C作CE∥AB
图②
A
B
C
F
E
过 AB上一点 D作
DE∥BC,DF∥AC
图③
A
B
C
E
F
过点C作
EE∥AB
图①
A
B
C
D
过点C 作CD⊥
AB于点D
图④
(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是图________(请填写序号)；
A
B
C
F
E
延长 AC 到点F,过点C作CE∥AB
图②
A
B
C
F
E
过 AB上一点 D作
DE∥BC,DF∥AC
图③
A
B
C
E
F
过点C作
EE∥AB
图①
A
B
C
D
过点C 作CD⊥
AB于点D
图④
(1)解：①②③
(2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明．
A
B
C
F
E
延长 AC 到点F,过点C作CE∥AB
图②
A
B
C
F
E
过 AB上一点 D作
DE∥BC,DF∥AC
图③
A
B
C
E
F
过点C作
EE∥AB
图①
A
B
C
D
过点C 作CD⊥
AB于点D
图④
(2)证明：当选择图①时，如图①.
3
2
1
A
B
C
E
F
过点C作
EE∥AB
图①
∵EF∥AB，∴∠1＝∠A，∠3＝∠B.
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠A＋∠2＋∠B＝180°，
∴三角形的内角和为180°.
2
当选择图②时，
A
B
C
F
E
延长 AC 到点F,过点C作CE∥AB
图②
∵CE∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ECB＝∠B.
∵∠FCE＋∠ECB＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴三角形的内角和为180°.
当选择图③时，
A
B
C
F
E
过 AB上一点 D作
DE∥BC,DF∥AC
图③
∴∠A＝∠FDB，∠B＝∠EDA，
∠FDE＝∠AED＝∠C.
∵∠FDB＋∠EDA＋∠FDE＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴三角形的内角和为180°.
∵DE∥BC，DF∥AC，
【探究2】三角形全等的性质及判定
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗
尝试·思考
证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)，∠F＝180°－(∠D＋∠E).
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.又∵BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
根据全等三角形的定义，我们可以得到
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
【例3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________．
65°
【例4】如图，已知∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.
求证：∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC，
∴∠BAD＝∠NAM.
∴△BAD≌△NAM(SAS)，
∴∠B＝∠ANM.
在△BAD和△NAM中，
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
应用举例
B
C
A
D
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
B
C
A
D
∵ ∠B=38°，∠C=62°，
∵ ∠B=38°，∠C=62°，
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°.
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD = ∠BAC=×80°=40°.
在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵ ∠B=38°，∠BAD=40°，
∴ ∠ADB=180°-38°- 40°=102°.
例2 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，求∠BOC的度数
解：在△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°.
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠ACB)＝65°.
在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝115°.
例3 如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C.
(1)求证：△ABD≌△EDC；
【方法指导】(1)根据AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，结合已知条件，根据AAS即可证明．
(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BDC.
又∵AB＝ED，∠1＝∠C，
∴△ABD≌△EDC(AAS).
(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数．
(2)解：∵△ABD≌△EDC，
(2)根据△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根据三角形内角和定理即可求解．
∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，
∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°，
∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°.
归纳总结
三角形内角和定理
判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
借助平行线将三角形的三个内角拼成一个平角
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等
证明
全等三角形
内容
三角形三个内角的和等于180°
随堂练习
1．一个三角形三个内角的度数之比为1∶4∶5，则这个三角形是 ( )
A．锐角三角形　　B．直角三角形　　
C．钝角三角形　　D．等腰三角形
B
2．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求证：AB＝DE.
证明：∵AF＝DC，
∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴AB＝DE.
3. 如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数.
解：∵ BD与CE是△ABC的高，
∴ ∠ADB=90°，∠BEC=90°.
∵ ∠A=50°，
∴ ∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°，
∴ ∠BOE=180°-∠BEC-∠ABD=180°-90°-40°=50°，
∴ ∠COD=∠BOE=50°.
4. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且 DE∥BC. 求证：∠ADE=50°.
证明：在△ABC中，∵ ∠A=60°，∠C=70° (已知)，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50°
(三角形内角和定理).
又DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B=50°(两直线平行，同位角相等).
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P31习题1.3中的T1、T2.
课后作业

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