资源简介

北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定与反证法
复习导入
(1)等腰三角形的两底角________．
(2)等腰三角形_____________、____________及_____________重合．
(3)等边三角形的三个内角都_______，并且每个内角都是_______．
相等
顶角的平分线
底边上的中线
底边上的高
相等
60°
【探究1】等腰三角形的判定
探究新知
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等. 反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
A
B
C
可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
A
B
C
如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，
只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为
对应边就可以了.
如何证明这一结论呢?
如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°.
A
B
C
D
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(AAS)，
∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等).
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
B
C
A
符号语言：在△ABC中，∵ ∠B =∠C ，∴ AB =AC .
注意：（1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.
（2）在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.
等腰三角形判定方法归纳：
{BDBED569-4797-4DF1-A0F4-6AAB3CD982D8}
判定方法
边
角
两条边相等的三角形是等腰三角形
两个角相等的三角形是等腰三角形
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴ △ABD≌△DCA(SSS).
∴ ∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).
∴ AE=DE(等角对等边).
∴ △AED是等腰三角形.
解题通法
“等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法.在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等.
【探究2】反证法
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.
你认为小明这个结论成立吗?
小明的思考过程如下.你能理解他的推理过程吗?
B
C
A
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B，
这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的;
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.
于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件.
解题通法 用反证法证明的一般步骤
(1) 先假设结论的反面是正确的；
(2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果；
(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
应用举例
C
【例2】用反证法证明某一命题的结论“a>b”时，应假设 ( )
A．a【例3】在△ABC中，∠A＝100°.若∠B＝______，则△ABC是等腰三角形．
D
40°
【例4】如图，AB＝DC，BD＝CA.求证：△AED是等腰三角形．
证明：在△ABD和△DCA中，????????=????????,????????=????????,????????=????????,
?
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠ADB＝∠DAC，
∴AE＝DE，
∴△AED是等腰三角形．
【方法指导】要证明△AED是等腰三角形，可以通过△ABD≌△DCA得到∠DAE＝∠ADE.
【例5】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F，交AC于点E，求证：△AEF是等腰三角形．
【方法指导】根据角平分线和余角的性质，可得相等的角，再根据等角对等边得到等腰三角形．
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°，
∴∠1＝∠C.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3.
又∵∠AFE＝∠1＋∠2，∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形．
【例6】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角．
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C不能有两个角是钝角．
【方法指导】利用“反证法”的一般步骤：(1)假设；(2)归谬；(3)结论来证明．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角都是钝角，不妨设∠A和∠B是钝角，即∠A＞90°，∠B＞90°，
于是∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾．
因此“∠A和∠B是钝角”的假设不成立，
所以，一个三角形中不能有两个角是钝角．
归纳总结
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为“等角对等边”
等腰三角形的判定
反证法
判定定理
有两条边相等的三角形是等腰三角形
定义法
引入
随堂练习
1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为
( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
B
3．用反证法证明结论“a，b，c至少有一个是正数”，应先假设
( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都不是正数
C．a，b，c至多有一个正数
D．a，b，c至多有两个正数
B
4. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
解：△BDE是等腰三角形.理由如下：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠EBD=∠CBD.
∵ DE∥ BC，
∴ ∠EDB=∠CBD，
∴ ∠EBD=∠EDB，
∴ EB=ED(等角对等边)，
∴ △BDE是等腰三角形.
5. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少
有一个数大于或等于????????.
?
证明：假设这五个正数分别为a1，a2，a3，a4，a5，其中没有
一个大于或等于????????，即都小于????????，
?
则a1+a2+a3+a4+a5<1.
这与已知a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾，
所以假设不成立.
所以，这五个正数中至少有一个数大于或等于????????.
?
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P21习题1.2中的T6、T7.
课后作业