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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第4课时　多边形的外角和
情景导入
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.
A
B
E
C
D
【探究】多边形的外角和定理
探究新知
(1) 小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角 在图上标出这些角.
1
2
3
4
5
A
B
E
C
D
因为小刚跑完一圈后方向和出发时方向一样，
(2) 他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度
1
2
3
4
5
A
B
E
C
D
(2) 360°.
所以跑步方向改变的角的总和是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
思考
如果公园步道的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样
跑完一圈后方向和出发时方向一样，
所以跑步方向改变的角的总和是360°.
所以公园步道的形状是六边形、八边形时，
改变的角的总和仍为360°.
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角.
如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是五边形ABCDE的外角.
你知道n边形有几个外角吗
如图，∠6也是五边形ABCDE的外角,
所以n边形有2n个外角.
6
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
通过前面的探究可以发现：
五边形、六边形、八边形的外角和为 360°.
如图，五边形ABCDE的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5.
现以五边形为例，证明这一结论.
∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，
∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，
∠5+∠DEA=180°，
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+
∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°，
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
如果是n边形，它的外角和是多少呢
猜想：n边形的外角和都是360°.
理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是互补的角，
它们的和是180°，
∴n边形的内角和+n边形的外角和=n·180°，
又∵n边形的内角和为(n-2)×180°，
∴n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°．
定理 多边形的外角和等于360°.
注意：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根据题意，得
(n-2)·180°=3×360°.
解得 n=8.
所以，这个多边形是八边形.
研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法
思考·交流
转化方法，即将一个多边形转化为多个三角形，由三角形的内角和求多边形的内角和.
多边形的外角与和它相邻的内角构成平角，由平角和与内角和求出外角和.
【例1】若正n边形的一个外角为36°，则n的值为____；若正n边形的一个外角为60°，则n的值为____．
此类题目知道内角和与外角和的关系，往往通过列方程解决．
【例2】若一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数是____．
【例3】一个正多边形每个外角都是60°，那么这个正多边形的内角和是______．
应用举例
10
6
6
720°
【例4】一个n边形变成(n＋1)边形，外角和将 ( )
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．不变
【例5】正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n的值为____．
D
12
【例6】如图所示的六边形花环是用六个大小和形状完全一样的直角三角形拼成的，则∠ABC的度数为_______．
30°
【例7】如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于
( )
A．90° B．180°
C．120° D．270°
B
【例8】将两张三角形纸片如图所示摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5的度数为_______．
40°
【例9】如图，小明从A点出发，沿直线前进8 m后左转40°，再沿直线前进8 m后左转40°，照这样走下去，当他第一次回到出发点A时，请问：
(1)整个行走路线是什么图形？
(2)一共走了多少米？
解：(1)设行走的路线是正n边形．
由题意，得n＝＝9.
∴行走路线是正九边形．
(2)8×9＝72(m).
答：一共走了72 m．
【例10】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
【方法指导】多边形的内角和等于(n－2)×180°，外角和是360°.
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°.
根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°，
解得n＝8.
∴这个多边形是八边形．
【例11】(1)如图①，△ABC的各边长都大于2，分别以顶点A，B，C为圆心，以1为半径画圆，则阴影部分的面积为________；
【方法指导】图①中各个阴影扇形之和正好分别构成0.5个半径是1的圆，根据圆的面积公式即可求解，然后根据规律推导出n边形的面积．
解：(1)
(2)如图②，将(1)中的△ABC换成四边形ABCD，其他条件不变，则阴影部分的面积为________；(3)如图③，将四边形换成五边形，则阴影部分的面积为________；
(2)π
【方法指导】图②③中各个阴影扇形之和正好分别构成1个、1.5个半径是1的圆，根据圆的面积公式即可求解，然后根据规律推导出n边形的面积．
(3)
(4)n边形阴影部分的面积是.
(4)根据(1)(2)(3)中的结论，你能总结n边形的情况吗？
归纳总结
多边形的外角和定理
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和
正n边形的每一个外角的度数为
多边形的外角和等于360°
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角
多边形的外角
多边形的外角和
多边形的外角和定理
随堂练习
1．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是 ( )
A．十一边形 B．十二边形
C．八边形 D．九边形
D
2．一个多边形的内角和与外角和之比是11∶2，那么这个多边形的边数是( )
A．13 B．12
C．11 D．10
A
3．一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是________．
4．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_______．
720°
180°
5．如图，小亮从点A出发前进5 m，向右转15°，再前进5 m，又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______m.
120
6.一个多边形的内角和等于外角和的2倍，它是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度
解：设这个多边形是n边形，则(n-2)·180°=2×360°，
解得n=6，
∴ 这个多边形是六边形.
如果这个六边形的每个内角都相等，
那么每个内角为 =120°.
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P11－12习题1.1中的T7、T8、T9、T13、T14.
课后作业

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