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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第3课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
复习导入
这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志．
图中的三角形都是________三角形．
等边
【探究1】等边三角形的判定方法
探究新知
一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请证明自己的结论.
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB.
∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
A
B
C
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
证明： ①若 AB =AC，∠A =60°，
60°
则∠B = ∠C = (180°– ∠A)÷2=60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形。
A
B
C
60°
证明： ②若AB＝AC，∠B= 60°，
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
∴∠C=∠B=60°。
则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定
等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳：
{BDBED569-4797-4DF1-A0F4-6AAB3CD982D8}
等腰三角形
等边三角形
边
角
三条边都相等的三角形是等边三角形
两个角相等的三角形是等腰三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
两条边相等的三角形是等腰三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
证明等边三角形的思路：
三角形
等边
三角形
等腰三角形
有一个角等于60°
等腰三角形的判定
思路1：三边相等
思路2：三角相等
【探究2】含30°角的直角三角形的性质
(1) 用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?
两个完全相同的含 30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形.
尝试·思考
(2) 在上述拼接过程中，你发现了什么结论?请证明你的结论.
由此可以发现：
30°角的对边等于三角尺斜边的一半.
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC= ?????????AB.
?
A
B
C
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接 AD.
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ ACD=90°.
∵ AC=AC，
∴ △ABC≌△ADC(SAS).
∴ AB=AD(全等三角形的对应边相等).
A
B
C
D
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理).
A
B
C
D
∵ ∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴ ∠B=180°-30°- 90°=60°.
∴ △ABD是等边三角形(有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC=????????BD=????????AB.
?
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：
A
B
C
30°
含30°角的直角三角形的性质：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴BC= AB
例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD=????????AB.
?
A
B
C
D
证明：在△ABC中，∵ AB=AC，∠B=15°，
A
B
C
∴ ∠ADC=90°.
∴ ∠ACB=∠B=15°(等边对等角).
∴ ∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
∵ CD是腰 AB上的高，
∴ CD=????????AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半).
?
∴ CD=????????AB.
?
应用举例
【例1】如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E,DE的反向延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.
求证：△ABC是等边三角形．
【方法指导】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，从而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可证明△ABC是等边三角形．
证明：∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠F.
又∵∠CDF＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F.
∵DE⊥AB，
∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，
∴∠A＝∠B，
∴△ABC是等腰三角形．
又∵∠F＝30°，
∴∠B＝90°－∠F＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【例2】求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．
【方法指导】这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝????????AC.
?
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．
求证：CD＝????????AB.
?
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴CD＝????????AC.
?
∴CD＝????????AB.
?
归纳总结
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
等边三角形的判定
定义法
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
判定定理
直角三角形的性质定理
三条边都相等的三角形是等边三角形
随堂练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE.下列结论：①△ADE是等边三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°.其中正确的有 ( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
D
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是 ( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
A
3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是____．
4．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有__________．(填序号)
5
①②③④
5 ．如图，∠B＝90°，AB＝6 cm，∠BAC＝30°，D为BC延长线上一点，AC＝DC，则AD＝____cm.
12
6．如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5 m，自动扶梯的倾斜角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5 m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为____s.
26
7.如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求证：△OCD是等边三角形．
证明：∵OA＝OB，∠A＝60°，
∴∠B＝∠A＝60°.
又∵AB∥CD，
∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，
8. 已知：如图，BD∥AC，∠C=60°，DA平分∠BDC.
求证：△ACD是等边三角形.
证明：∵ BD∥ AC，
∴ ∠C+∠BDC=180°，∠DAC=∠ADB.
∵ ∠C=60°，
∴ ∠BDC=120°.
∵ DA平分∠BDC，
∴ ∠ADC=∠ADB=????????∠BDC=60°，
?
∴ ∠ADC=∠C=∠DAC，
∴ △ACD是等边三角形.
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.
解：∵ CD是△ABC的高，
∴ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°.
在Rt△BDC中，∠B=60°，
∴ ∠BCD=90°-60° =30°，
∴ BD=????????BC.
?
∵ BD=1，
∴ BC=2BD=2×1=2.
在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，∠B=60°，
∴ ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴ BC=????????AB，
?
∴ AB=2BC=2×2=4.
∴ AD=AB-BD=4-1=3.
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P21－22习题1.2中的T8、T9.
课后作业

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