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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
5 角平分线
第2课时 三角形的三条角平分线
情境导入
问题 角平分线的性质定理及判定定理是什么？
性质定理：
判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
填一填：
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离_______；
(2)在一个角的内部到角的两边距离________的点在这个角的___________；
(3)三角形三边的垂直平分线相交于_______点，并且这一点到三个顶点的距离_______．
相等
相等
平分线上
一
相等
思考：三角形的三个内角平分线的特点？
三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
探究新知
探究1
【三角形三条内角平分线性质】
如图，分别折出三个角的平分线，然后观察三条角平分线有什么特点．
发现：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.
求证：∠A的平分线经过点P，
且PD＝PE＝PF.
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
A
B
C
P
E
F
M
D
N
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，
A
B
C
P
E
F
M
D
N
∴PD＝PE.
同理，PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF.
∴点P在∠A的平分线上，即∠A的平分线经过点P.
探究2
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理．请填表：
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于________________ 交于_______________
钝角三角形 交于________________
直角三角形 交于________________
交点性质 到三角形的__________的距离相等 到三角形的_____的距离相等
三角形内一点
三角形外一点
斜边上的中点
三个顶点
三角形内一点
三边
应用举例
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【方法指导】利用三角形角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高相等，底边长分别是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面积之比等于底边之比得出答案．
例1 如图，△ABC的边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　 　)
B
C
A
O
C
A
C
B
E
D
例2 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD.
【方法指导】(1)求AC的长，因为AC＝BC，
BC＝CD＋DB，也就是求CD＋DB的和，根据角平分线的性质定理可知，CD＝DE＝4 cm，可证Rt△DEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求得BD的长度；(2)AB＝AE＋EB，因为AE与AC相等，DE与EB相等，可证得AB＝AC＋CD.
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4 cm.
∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC.
∵∠C＝90°，∴∠B＝×90°＝45°，
∴∠BDE＝90°－45°＝45°，
∴BE＝DE＝4 cm.
在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理，得BD＝4cm，
∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4)cm.
A
C
B
E
D
A
C
B
E
D
(2)证明：易证△ACD≌△AED(AAS)，
∴AC＝AE，CD＝ED.
易得BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
随堂练习
1．到三角形三边距离相等的点是 ( )
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．不能确定
C
2．如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作
法的合理顺序是 ( )
①作射线OC；②在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内部，两弧交于点C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
C
A
D
O
E
B
C
3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD， CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N.求证：FE=FD.
证明：如图所示，过点F作FG⊥AC于点G.
又∵ AD平分∠BAC，FM⊥AB，
∴ FM=FG(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理可得FN=FG，
∴ FM=FN.
∵ ∠ACB=90°，CE平分∠ACB，
∴ ∠ECA=45°，
∵ ∠B=60°，
∴ ∠BAC=30°，
∴ ∠BAD=∠BAC=15°，
∠MEF=∠EAC+∠ECA=30°+45°=75°(三角形外角的性质)，
∴∠NDF=∠BAD+∠B=15°+60°=75°(三角形外角的性质)，
∴ ∠MEF=∠NDF.
在△EMF和△DNF中，
∴ △EMF≌△DNF(AAS)，
∴ FE=FD(全等三角形的对应边相等).
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索三角形三个内角平分线的性质时，我们运用了哪些方法？
课堂小结
课本P44－45习题1.5中的T3、T4、T5.
课后作业

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