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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第2课时　三角形内角和定理的推论
情景导入
我们都知道三角形的内角和是180°，
那如果我们从三角形的一个顶点“走出去”(如图)，
这个三角形外的角应该怎么定义？
一个三角形有几个类似的角呢？
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角.
外角的一条边是该内角的一边
外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线
外角的顶点是该内角的顶点
【探究1】探究三角形的外角与内角的等量关系
探究新知
如图，∠1是△ABC的一个外角.
问题 你能在图中画出△ABC的其他外角吗
B
C
A
D
4
2
3
1
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个，
且这2个角为对顶角.
∠1与其他角有什么关系 请证明你的结论.
B
C
A
D
4
2
3
1
∠1 +∠4 =180°，
思考·交流
∠1=∠2+∠3，
∠1>∠2，∠1>∠3.
证明如下：
∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理)，
B
C
A
D
4
2
3
1
∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的基本性质)，
∵∠1+∠4=180°(平角的定义)，
∴∠1=180°-∠4(等式的基本性质)，
∴ ∠1=∠2+∠3(等量代换)，
∴ ∠1>∠2，∠1>∠3.
(1)如图，∠1是由△ABC的边_____和△ABC的边_____的延长线组成的，故∠1是△ABC的一个______角．
CB
AB
外
试一试
(2)①△ABC的外角是_______，△DEC的外角是______；(均用数字表示角)
②∠3＋∠4＋∠CBA＝_______；
③∠1与∠3，∠4的等量关系是_______________．
∠1
∠3
180°
∠1＝∠3＋∠4
由三角形内角和定理，可以得到
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【例1】(1)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABD＝120°，则∠C的度数是 ( )
A．60° B．70°
C．80° D．90°
B
(2)如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为______．　　　　　　
48°
【例2】(1)将一副直角三角尺如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为 ( )
A．75° B．105°
C．135° D．165°
D
(2)如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝_______．
95°
【探究2】探究三角形的外角与内角的不等关系
①如右图，可得∠1____∠3＋∠4，
②∠1与∠3的大小关系是_________，
∠1与∠4的大小关系是__________．
推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
＝
∠1>∠3
∠1>∠4
【例3】(1)如图，下列结论正确的是 ( )
A．∠1＞∠B＞∠2
B．∠B＞∠2＞∠1
C．∠2＞∠1＞∠B
D．∠1＞∠2＞∠B　　　
D
(2)如图，下列结论：①∠A＞∠ACD；②∠AED＞∠B＋∠D；③∠B＋∠ACB＜180°；④∠AHE＞∠B.其中正确的是________．(填序号)
②③④
应用举例
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
C
B
A
D
E
【方法指导】要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”．
证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C，
C
B
A
D
E
∴ ∠C=∠EAC.
∵ AD平分∠EAC，
∴ ∠DAC=∠EAC.
∴ ∠DAC=∠C.
∴ AD∥BC.
还有其他证法吗
证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ，∠B=∠C(已知) ，
C
B
A
D
E
∴ ∠B=∠EAC.
∵ AD平分∠EAC，
∴ ∠EAD=∠EAC，
∴ ∠EAD=∠B，
∴ AD∥BC.
例2 如图，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°，求∠DAC的度数．
【方法指导】先利用外角性质得到∠3＝∠1＋∠2，然后根据题目条件得出∠4＝2∠2，再在△ABC中利用三角形内角和定理求出结果．
解：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴∠3＝2∠2.
又∵∠4＝∠3，
∴∠4＝2∠2.
设∠2＝x°，则∠4＝2x°.
在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°，
∴x°＋2x°＋78°＝180°，
解得x＝34.
∴∠3＝∠4＝68°.
∴∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝44°.
例3 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC>∠A.
分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理
这里能直接使用吗 你遇到的困难是什么
你能通过添加辅助线，构造出直接使用相
关定理的图形吗
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
不能直接使用，∠BPC与∠A不是同一个三角形的内、外角.
B
A
C
P
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
B
A
C
P
D
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任
何一个和它不相邻的内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，
∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴ ∠BPC>∠A.
还有其他证法吗
有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点 D，
B
A
C
P
D
∵ ∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD，
∴ ∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD，
即∠BPC>∠BAC.
归纳总结
三角形内角和定理
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
推论
三角形的外角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
随堂练习
1．如图，在△ABC中，点D在边AC上(不与端点重合)，连接BD.则∠1，∠2，∠3的大小关系是 ( )
A． ∠1＜∠2＜∠3
B．∠3＜∠1＜∠2
C．∠3＜∠2＜∠1
D．∠2＜∠1＜∠3
A
2. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
C
3. 如图，在△ABC中， ∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数.
B
C
A
D
解：∵∠A+∠B=∠DCA=100°，∠A=45°，
∴ ∠B=55°.
∵ ∠DCA+∠ACB=180°，∠DCA=100°，
∴ ∠ACB=80°.
4. 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度
A
B
C
1
3
2
解：∵ ∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2=∠BAC+∠ACB，
∠3=∠ABC+∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC =2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°.
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P10习题1.1中的T3、T11、T12.
课后作业

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