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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
复习导入
1．前面我们学习了判定两个三角形全等的方法，方法有：
SSS
ASA
SAS
AAS
2．通过这些方法我们可以看出判定两个三角形全等时，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以确定这两个三角形全等？(附加一边相等或两边的夹角相等，可以确定这两个三角形全等．)
3.如图，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由．
添加___________，利用_______证明△ACB≌△BDA，
添加________________，利用________证明△ACB≌△BDA；
添加___________，利用________证明△ACB≌△BDA.
C
D
A
B
AC＝BD
SAS
∠ABC＝∠DAB
ASA
∠C＝∠D
AAS
4．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？
(如图，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，
△ABC与△ABD不全等．)
●悬念激趣　舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能
完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它
们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你
相信他的结论吗？
命题角度1　直角三角形全等的判定
探究新知
在证明两直角三角形全等时，要首先想到“HL”．至于选择哪种方法证明全等，要以题目条件而定．
问题 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗?如果其中一组等边的对角都是直角呢?
A
B
C
A ′
B′
C ′
∥
∥
|
|
它们全等.
在直角三角形中，若斜边和一条直角边确定，则另一条直角边也就确定了，然后根据“SSS”即可判定两个三角形全等.
已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢?
假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗?你是按照怎样的步骤画这个草图的？
能，先画出已知直角边，取该直角边的一个顶点为直角顶点，然后过直角顶点作该直角边的垂线，再利用斜边确定另一个顶点，从而画出满足“斜边和一条直角边“条件的直角三角形.
思考
实践探究
如图，已知线段a，c(aa c
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}作法
图形
N
C
M
B
A
1. 作射线CN.
2. 过点C作射线CN的垂线CM.
3. 在射线CM上截取CB=a.
4. 以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.
5. 连接AB.
△ABC就是所要作的直角三角形.
把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较，它们一定全等吗?
可以发现：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
请你尝试证明这一结论.
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，
AC＝A′C′，求证△ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC中，
∵ ∠C=90°，
∴ BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.
∵ AB=A′B′，AC=A′C′，
∴ BC=B′C′.
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).
【探究1】做一做
如图，已知线段a，c(a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.
解：作法：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；
(2)在射线CM截取CB＝a；
(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；
(4)连接AB，得到Rt△ABC.
M
B
C
A
N
跟踪训练 如图，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC. 求证：AB=CD，AD∥ BC.
证明：∵ AB⊥BD，CD⊥DB，
∴ ∠ABD=∠CDB=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中， ????????＝????????，?????????＝????????，
?
∴ Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).
∴ ∠ADB=∠CBD， AB=CD.
∴ AD∥BC.
例1 如图，CB⊥AE于点B，AF＝CE，BF＝BE.若AB＝6，BF＝4，则CF＝____．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
应用举例
2
例2 如图，已知PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD.求证：OC＝OD.
证明：连接OP.
O
C
D
P
A
B
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL).
∴OC＝OD.
OP＝OP，
PC＝PD，
命题角度2　运用“HL”定理解决问题
HL定理与其他判定定理的最大不同就是，只需找一组直角边和一组斜边相等即可．在某些时候，到底是哪组直角边对应相等需要分类讨论．
【探究2】证明定理
请证明命题：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．
同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2.
∵AB＝A′B′，
AC＝A′C′，
∴BC＝B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等三角形.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
符号语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′ ＝90°，
????????＝????′????′，?????????＝????′????′，
所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
?
A
B
C
A ′
B′
C ′
∥
∥
|
|
归纳总结
应用举例
例3 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A同时出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝________时，△ABC与△APQ全等．
5或10
例4 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明．
解：BF⊥AE.
证明如下：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
在Rt△BDC和Rt△AEC中，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
∴∠CBD＝∠CAE.
∵∠CAE＋∠E＝90°，
∴∠CBD＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
命题角度3　方格作图问题
在方格中作图要明确方格的特点：
(1)每个小方格的边长都是1；
(2)出现很多直角．可以利用勾股定理求得图形的边长．
应用举例
【方法指导】根据题意可知AB＝AC，AD边共用，利用HL可证Rt△ABD≌Rt△ACD，得到BD＝CD.
B
D
C
A
例1 如图，两条长度为12 m的绳子，一端系在旗杆的同一点上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
解：BD＝CD. 理由如下：
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴BD＝CD(全等三角形的对应边相等)．
B
D
C
A
应用举例
例 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度 AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系?
解：根据题意，可知
∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，
∴ Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).
∴ ∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等).
∵ ∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴ ∠CBA+∠EFD=90°.
应用举例
D
随堂练习
1．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则直接判定△AEO≌△AFO的依据是 ( )
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
A
2．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是__________．(填序号)
①②③
3．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DEC＝90°，∠BFD＝90°.
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝DC.
在Rt△BFD和Rt△CED中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
4. 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2) 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3) 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4) 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
(1) 假命题.
Rt△ABC与Rt△A′B′C′不全等.
4. 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2) 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3) 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4) 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
(2) 真命题.
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS).
4. 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2) 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3) 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4) 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
(3) 真命题.
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS).
4. 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2) 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3) 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4) 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
(4) 真命题.
5. 如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上的A点，另一端拉直后分别固定在地面的两个木桩(用B，C两点表示)上，两个木桩到旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.
解：相等.理由：∵ AB=AC=12m，
∴ 由A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形.
又AO⊥BC，
∴ AO是等腰三角形ABC底边BC上的中线，
∴ BO=CO，
∴ 两个木桩到旗杆底部的距离相等.
6. 如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵ AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴ ∠ADB=∠AFB=90° .
在Rt△ADC和Rt△AFE中，????????＝????????，????????＝????????，
?
∴ Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴ CD=EF.
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
????????＝????????，????????＝????????，
?
∴ Rt△ADB≌Rt△AFB(HL).
∴ BD=BF.
∴ BD-CD＝BF-EF，即BC＝BE.
课堂小结
直角三角形
SSS、SAS、ASA、AAS
“HL” 定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
直角三角形全等的判定定理
尺规作图
已知斜边和一条直角边，作出唯一的直角三角形
课本P31－32习题1.3中的T4、T5、T6.
课后作业

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