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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第3课时　多边形的内角和
复习导入
你能算出八卦图的内角和吗？
【探究1】五边形的内角和
探究新知
问题1：健身广场中心的边缘是一个五边形(如图)，你能类比求四边形内角和的方法求出它的五个内角的和吗？
我们已经学过了三角形的内角和，可考虑将五边形分割为若干个三角形，然后借助三角形的内角和进行计算.
也可以通过度量来获取五边形的内角和.
问题2：小明、小亮分别利用图1和图2求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗
图1 图2
小明、小亮的方法都是把五边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题.
图1 图2
小明是将五边形的五个内角分割在3个三角形中，3个三角形的内角和即为五边形的内角和.
小亮是将五边形分割成5个三角形，用5个三角形的内角和减去 360°即得五边形的内角和.
你还有其他的方法吗
五边形内角和等于
这四个三角形的内角和减去在点P处的一个平角.
P
分割
五边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
转化思想
计算五边形内角和：
五边形的内角和为540°
【探究2】探究多边形的内角和
思考 (1) 按照图1的方法，六边形能分成多少个三角形 n(n是大于或等于3的自然数)边形呢 你能确定n边形的内角和吗
图1
(1) 六边形能分成4个三角形.
n边形能分成(n-2)个三角形.
n边形的内角和为(n-2)·180°.(n是大于或等于3的自然数)
(2) 按照图2的方法再试一试.
图2
(2) 六边形能分成6个三角形.
n边形能分成n个三角形.
n边形的内角和为n·180°-360°= (n-2)·180°.(n是大于或等于3的自然数)
多边形 边数 图形 从一个顶点引出 的对角线条数　 分割成的三 角形个数　 多边形的
内角和　
三角形 (n＝3)
四边形 (n＝4)
五边形 (n＝5)
0
1
180°
1
2
360°
2
3
540°
多边形 边数 图形 从一个顶点引出 的对角线条数　 分割成的三 角形个数　 多边形的
内角和　
六边形 (n＝6)
…… …… …… …… ……
n边形
3
4
720°
n－3
n－2
(n－2)×
180°
从n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．
从而得出多边形内角和定理：
n边形的内角和等于(n－2)·180°.　　　
练一练
1．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成7个三角形，则n的值是 ( )
A．6 B．7
C．8 D．9
D
2．从n边形的一个顶点出发可以连接6条对角线，则n的值为
( )
A．8 B．9
C．10 D．11
B
例1 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系
B
说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
A
C
D
解：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°= 360°，
∴ ∠B+∠D
=360°-(∠A+∠C)
=360°-180°
=180°.
(1) 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
操作·思考
正三角形的每一个内角为 =60°；
正四边形的每一个内角为 =90°；
正五边形的每一个内角为 =108°；
正六边形的每一个内角为 =120°；
正八边形的每一个内角为 =135°.
(2) 怎样计算正多边形每个内角的度数
(2) 正多边形每个内角的度数=(n为边数).
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形的每个内角的度数都为.
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形
思考·交流
它的内角和是多少度
剪掉一个角后，分以下3种情况：
(1) 纸片剩下5个角，得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°；
(2) 纸片剩下4个角，得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°；
(3) 纸片剩下3个角，得到的三角形的内角和为180°.
应用举例
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B与∠D有怎样的关系？
【方法指导】四边形ABCD的内角和是360°，四个内角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，已知∠A＋∠C＝180°，求得∠B＋∠D＝180°，这两个角互补．
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.
【例2】如图，四边形ABCD中，已知∠ABC，∠BCD的平分线相交于点O，∠A＋∠D＝200°，求∠BOC的度数．
【方法指导】由四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°，可求出∠ABC＋∠BCD的度数，进而根据题目条件转化到△BOC中，利用三角形内角和定理求出∠BOC的大小．
解：在四边形ABCD中，∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°.
∵∠A＋∠D＝200°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－200°＝160°.
∵BO，CO分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠BCD)＝×160°＝80°.
∵∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°－80°＝100°.
【例3】剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流．
【方法指导】如图所示：
解：可能是五边形，内角和是540°，可能是四边形，内角和是360°，可能是三角形，内角和是180°.
归纳总结
多边形内角和定理
证明思路：将n边形的内角和问题化归为三角形的内角和问题
正n边形的每个内角的度数为
n边形的内角和等于(n-2)·180°
(n是大于或等于3的自然数)
随堂练习
1．一个多边形的边数是12，这个多边形的内角和是 ( )
A．1 800° B．1 440°
C．1 980° D．540°
A
2．一个多边形的内角和等于1 080°，则从它的一个顶点出发引出的对角线条数是( )
A．5 B．6
C．8 D．12
A
3．下列角度不可能是多边形的内角和的是( )
A．1 260° B．960°
C．1 440° D．540°
4．若一个正多边形的每一个内角都是150°，这个正多边形的边数是____．
B
12
5.小彬求出一个正多边形的一个内角为145°.他的计算正确吗 如果正确，他求的是正几边形的内角 如果不正确，请说明理由.
解：他的计算不正确.
理由如下：
设正多边形的边数为n，则(n-2)·180°=n·145°，
解得n=.
因为n为正整数，所以n=不合题意.
所以他的计算不正确.
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P11习题1.1中的T5、T6.
课后作业

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