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北师版-数学-八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
4　线段的垂直平分线
第2课时　三角形三边的垂直平分线
情境导入
如图，看这些漂亮的折纸，是多么精致的手工啊，大家羡慕吧！今天我们也来上一节折纸课，秀一秀我们的巧手．下列图形具有哪些共同的特征呢？
置疑导入
问题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么？
问题2：你能作出三角形三条边的垂直平分线吗？这三条垂直平分线有什么特点？画一画，议一议．
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
探究新知
◆活动1　
(1)尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．
思考 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗
能，这样的三角形能画出无数个，因为高的位置可以不同，所以它们不都全等.
(2) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗 能作几个
因为等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边，所以能用尺规作出满足条件的等腰三角形，且这样的三角形只有一个.
探究新知
作法 图形
已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
△ABC就是所要作的等腰三角形．
a
h
a
l
A
B
C
h
D
1．作线段BC，使BC ＝a．
2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．
3．在l上作线段DA，使DA＝h．
4．连接AB，AC．
思考：
A
B
M
l
P
如果点P在直线l外呢 此时，还能运用这种转化的方法吗

还记得用尺规过直线l上一点P作的垂线的方法吗
这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.
作法 图形
已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
A
B
m
l
P
Q


1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.
2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，
交直线l于点A和点B.
3. 作线段 AB的垂直平分线m.
直线m就是所要作的直线.
为什么直线m经过点P
因为点P到直线上点A，B的距离相等，
所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上.
例1 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E.
求证：边AC的垂直平分线经过点P.
分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件 已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论
B
A
C
P
E
D
证明：如图，连接PA，PB，PC.
B
A
C
P
E
D
∵ 点P在边AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点的距离相等).
同理，PB=PC.
∴ PA=PB=PC.
∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P.
跟踪训练
1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B＝_____．
2.如图，O是△ABC的三边垂直平分线的交点，如果∠A＝65°，那么∠OBC＝____．
30°
25°
根据线段垂直平分线的性质得到相等的线段，结合等边对等角或全等的证明方法，解决其他相关的综合问题．
探究新知
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
E
C
B
A
D
F
解：DE＝BF，DE⊥BF.
G
理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G.
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
E
C
B
A
D
F
G
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC.
又∵CE＝CF，∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴△ECD≌△FCB(SAS)，
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.
∵∠CFB＋∠CBF＝90°，
∴∠CED＋∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.
跟踪训练
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若CD∶BD＝3∶5，则CD的长为______．
4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E.若AE＝3，△ABC的周长为15，则△ABD的周长等于____．
9
6cm
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，
且PA＝PB＝PC.
P
A
B
C
探究1
【三角形三条边垂直平分线的性质的证明】
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
◆活动2　
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．
同理，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
即边AC的垂直平分线经过点P.
P
A
B
C
归纳总结
符号语言：
∵ 直线MN，EF，PQ分别垂直平
分线段BC，AB，AC，
∴ 直线MN，EF，PQ相交于点O，
且OA=OB=OC.
三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 这个点叫作三角形的外心.
三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下：
锐角三角形
三角形内部
直角三角形
斜边中点
钝角三角形
三角形外部
锐角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的内部，直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的外部．上述结论可作为判定三角形类型的依据．
探究新知
5.如果三角形的两条边的垂直平分线交点在第三条边上，那么这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
6.如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点位于三角形的内部，那么这个三角形是____(填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形．
跟踪训练
C
锐角
三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．常常利用这个定理解决一些选址问题．
探究新知
探究2
【已知等腰三角形的底边及底边上的高，求作等腰三角形．】
1．议一议：
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
A1
D
C
B
A
a
h
( )
D
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
可以画出无数个三角形
(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
11111111
已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个，如图.
C
D
A
E
B
O
注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底边的中点在底边上，此时不能构成三角形．
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？
如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图.
C
A
B
D
h
h
2．尺规作出等腰三角形
如图，已知线段a，h，求作△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h.
a
h
作法：
（1）作线段 BC = a.
（2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D.
（3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h.
（4）连接 AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
B
C
D
A
l
探究3
【过直线外一点作已知直线的垂线】
如图，已知△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD.
作法：(1)以点A为圆心，适当长为半径画弧，
交直线BC于点M，N；
(2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为
半径画弧，两弧相交于点P；
(3)作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求作的△ABC的边BC上的高．
求证：AD是△ABC的高．
A
B
C
D
M
N
P
A
B
C
D
M
N
P
证明：连接AM，AN，PM，PN，易得AM＝AN，PM＝PN，
∴点A和点P在MN的垂直平分线上，
∴即AP垂直平分MN，
∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高．
探究新知
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P.
(1)若∠A＝35°，则∠BPC＝________；
(2)若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周长为________cm.
A
D
P
B
C
◆活动3
【方法指导】
A
D
P
B
C
(1)70°
(2)8
(1)∵DP垂直平分AB，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP，∴∠ABP＝35°，∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝35°＋35°＝70°；
(2)∵AB＝AC＝5 cm，AC＝AP＋PC，∴AP＋PC＝5 cm.∵AP＝BP，∴BP＋PC＝5 cm，∴△PBC的周长为BP＋PC＋BC＝5＋3＝8(cm).
例4 如图，靠河边有一块三角形菜地，要分给甲、乙、丙、丁四
家，为了分配合理，需要所分的面积相等，而且每家的菜地都要有靠河边的位置，便于取水浇地．你能想办法将菜地合理分配吗？
(保留作图痕迹)
A
B
C
【方法指导】根据题意，要想将△ABC的面积四等分，需将线段BC四等分，因此在BC边上作三条垂直平分线即可．
如图所示，△ABD，△ADE，△AEF，△AFC就是分给甲、乙、丙、丁四家等面积且都有靠河边的菜地．
A
B
C
D
E
F
解：①作线段BC的垂直平分线交BC于点E
②作线段BE的垂直平分线交BE于点D
③作线段CE的垂直平分线交CE于点F
④连接AD、AE、AF即可得到四个等底等高的三角形
随堂练习
1．P为△ABC内一点，且点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P是 ( )
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三个角的平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在这个三角形外，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
C
D
3.尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)．
(1)如图①，作出直线l的垂线PQ；
(2)如图②，作出△ABC的边BC上的高AD.
解：(1)如图①，PQ即为所求．
(2)如图②，AD即为所求．
Q
P
l
图①
A
B
C
D
图②
4．如图，已知线段a，b，h(ha
b
h
解：第一步：作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；
第二步：在DM上截取线段AD＝h；
第三步：以A为圆心，b为半径画弧交射线DP于C，连接AC；
第四步：以C为圆心，a为半径画弧，交射线BP于B，连接AB；
则△ABC即为所求．
M
A
Q
B
D
C
P
5．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了实现村民子女就近入学，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置.
解：作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；
②连接BC，作线段BC的垂直平分线M′N′，MN与M′N′交于点P，点P就是所求学校的位置．
A
B
C
M
N
M′
N′
P
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索三角形三边垂直平分线的性质过程中，我们运用了哪些方法？
课堂小结
课本P37－38习题1.4中的T1、T2、T6、T7.
课后作业

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