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课题 第1章 1.4 三角形的中位线定理
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．使学生掌握三角形中位线的定义与性质. 2．能够利用三角形的中位线的知识解决三角形的相关问题. 3．掌握三角形的中位线的定理和应用.
教学重点、 难点 教学重点：掌握三角形的中位线定理. 教学难点：综合运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理解决问题．
教学准备 多媒体课件、三角尺、三角形纸片、剪刀
教学过程 1.情境导入 1．提出问题：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 做一做：(1)剪一个三角形，记为△ABC. (2)分别取AB、AC的中点E、F，连接EF. (3)沿EF将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°得四边形EBCG. 想一想：四边形EBCG是什么特殊的四边形？为什么？ 四边形EBCF是平行四边形 2．如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？ 2.讲授新课 1．三角形中位线的定义 操作：作△ABC，分别取AB、AC中点D、E，在图中，连接DE. 提问：线段DE是什么点间的连线？ 三角形两条边中点 这条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？（学生交流、讨论）图中线段DE是连接△ABC两边AB、AC的中点D、E所得的线段，称此线段DE为△ABC的中位线. 归纳：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 思考：(1)三角形有几条中位线？ 三条 (2)三角形中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接任意两边中点的线段，中线是一个顶点和该顶点的对边中点的连线段. 理解：三角形的中位线定义的两层含义： ①因为D、E分别为AB、AC的中点， 所以DE为△ABC的中位线. ②因为DE为△ABC的中位线， 所以D、E分别为AB、AC的中点. 2．三角形中位线的定理 探究：如图，EF是△ABC的一条中位线，现在我们来探究EF与BC的位置关系？数量关系？ 位置关系：你能从图中猜想EF//BC吗？ 数量关系：量一量，EF，BC的长各是多少？你有什么猜想？ 猜测：EF//BC，EF=BC. 即：三角形中位线平行第三边，且等于第三边的一半。 这些猜想正确吗？ 证明：如图，将△AEF绕点F旋转180°，至△CGF的位置.设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E，F，G在一条直线上. 由旋转不改变图形的形状和大小，得CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF， 则AE//CG，即BE//CG. 又因为BE=CG， 所以四边形BEGC是平行四边形，所以EGBC. 又因为EF=GF，所以EF=EG=BC，EF//BC. 由此得到三角形的中位线性质定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 几何表示：因为EF是△ABC的中位线，所以EF=BC，EF//BC. 思考：三角形的三条中位线将原三角形分成了几个小三角形？它们之间有什么样的关系？ 三角形的三条中位线将原三角形分成了4个小三角形，它们之间相互全等. 例题：如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？ 解：连接AC. 因为EF是△ABC的一条中位线， 所以EF//AC，且EF=AC. 又因为HG是△DAC的一条中位线， 所以HG//AC，且HG=AC， 所以EF//HG，且EF=HG， 所以四边形EFGH是平行四边形. 由此得到中点四边形的规律： 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 3.课堂练习 1．如图，点D、E、F分别是△ABC的AB、AC、BC边的中点． (1)若AB=8cm，求EF的长； (2)若DE=5cm，求BC的长． (3)若增加M、N分别是BD、BF的中点，问MN与AC有什么关系？为什么？ 解：(1)因为EF是△ABC的一条中位线， 所以EF=AB=×8=4(cm). (2)因为DE是△ABC的一条中位线， 所以BC=2DE=2×5=10(cm). (3)MN//AC且MN=AC，理由： 因为DF是△ABC的一条中位线， 所以DF//AC且DF=AC. 因为MN是△BDF的一条中位线， 所以MN//DF且MN=DF， 所以MN//AC且MN=AC. 2．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF=3，则AC的长为(　　) A. B．3 C．6 D．9 解析：如图，因为D、E分别为AC、BC的中点， 所以DE∥AB，所以∠2=∠3. 又因为AF平分∠CAB，∠1=∠3，所以∠1=∠2， 所以AD=DF=3，所以AC=2AD=2DF=6.故选C. 方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是熟记性质并熟练应用． 3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD=AB，求证：CD＝2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF. 因为BD=AB，所以BF为△ADC的中位线， 所以DC=2BF. 因为E为AB的中点，且AB=AC， 所以BE=CF，∠ABC=∠ACB. 因为BC=CB，所以△EBC≌△FCB，所以CE=BF， 所以CD=2CE. 方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键． 4．如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为(　　) A．80° B．90° C．100° D．110° 解析：因为C、D分别为EA、EB的中点， 所以CD是△EAB的中位线，所以CD∥AB， 所以∠2=∠ECD. 因为∠1=110°，∠E=30°，所以∠ECD=∠2=80°， 故选A. 方法总结：根据三角形中位线定理可得出平行关系，所以利用三角形中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题． 5．如图所示，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM=∠OMN. 证明：取AD的中点P，连接EP、FP， 则EP为△ABD的中位线，所以EP∥BD，EP=BD， 所以∠PEF=∠ONM，同理可知PF为△ADC的中位线，所以FP∥AC，FP=AC，所以∠PFE=∠OMN. 因为AC=BD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE， 所以∠ONM=∠OMN. 方法总结：在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题． 4.课堂小结 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 如图，DE为△ABC的中位线，则DE//BC，且DE=BC. 解题策略： ①如图，DE是△ABC的中位线，则S△ADE=S△ABC，△ADE的周长为△ABC周长的一半. ②如图，DE，DF都是△ABC的中位线，故四边形DECF是平行四边形. ③运用三角形中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法： 当题目中有中点时，特别是有两个中点时，I.如果中点都在一个三角形中，直接用三角形中位线定理；II.如果不在一个三角形中，就需要作辅助线取某边的中点，构造三角形的中位线，然后利用三角形中位线定理及相关的知识解决问题. 5.板书设计 1．三角形的中位线的概念 2．三角形的中位线定理
教学设计 反思 本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.

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