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课题 第1章 1.5 矩形 1.5.2 矩形的判定
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力. 2．通过矩形判定的教学渗透矛盾可以互相转化的唯物辩证法思想.
教学重点、 难点 教学重点：掌握矩形的判定方法. 教学难点：矩形的判定及性质的综合应用．
教学准备 多媒体课件、三角尺
教学过程 1.情境导入 1．我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 2．矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质： (1)两条对角线相等且互相平分； (2)四个内角都是直角． 这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？ 3．小明同学用“边—直角，边—直角，边—直角” 这样的四步，画出了一个四边形（如图）．她说这 就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？ 这节课我们就一起来探讨一下矩形有哪些判定定理. 2.讲授新课 1．利用角的关系判定矩形 由小明同学的作图方法，我们可以猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 论证：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠B=∠C=90°， 所以∠D=90°，所以AB//CD，AD//BC. 又因为∠A=90°， 所以四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 由此，我们得到： 矩形的判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形. 议一议：两个角是直角的四边形是矩形吗？ 不是，例如直角梯形有两个直角，但它并不是矩形. 2．利用对角线的关系判定矩形 操作与交流：每一个小组的同学以各自小组的两条相同长度的线段为对角线画一个平行四边形，画完后先小组内交流发现，然后各小组派代表上台发言，进行全班交流. 归纳结论： (1)小组交流发现：以相同长度的线段为对角线的平行四边形是矩形，这样的矩形有无数个. (2)全班交流发现：对角线相等的平行四边形是矩形. 你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？ 如图，由画法可知，ABCD对角线相等，上述问题抽象出来就是： 对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 四边形ABCD是平行四边形，也是矩形，理由如下： 由于OA=OC，OB=OD， 所以四边形ABCD是平行四边形， 从而AB=DC，AB //DC. 又AC=BD，BC=CB， 所以△ABC≌△DCB（边边边）， 从而∠ABC=∠DCB. 又由AB//DC得，∠ABC+∠DCB=180°， 于是∠ABC=×180°=90° 因此，平行四边形ABCD是矩形. 由此得到 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 议一议：对角线相等的四边形是矩形吗？ 不一定是，例如等腰梯形. 例2：如图，在ABCD中，它的两条对角线相交于点O. (1)如果ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？ (2)如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么ABCD是矩形吗？ 解：(1)△OBC是等腰三角形.理由： 因为ABCD是矩形，所以AC与DB相等且互相平分，所以OB=DB=AC=OC， 所以△OBC是等腰三角形. (2)ABCD是矩形.理由： 因为△OBC是等腰三角形，且OB=OC， 所以AC=2OC=2OB=BD. 因此ABCD是矩形. 3.课堂练习 1．已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的点，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是矩形. 解：因为四边形ABCD是矩形， 所以OA=OC=AC=BD=OB=OD. 因为AE=BF=CG=DH，所以OE=OF=OG=OH， 所以EG=FH. 所以四边形EFGH是矩形. 2．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC， 所以∠ABE=∠CDF.
因为点E，F分别为OB，OD的中点，
所以BE=OB，DF=OD，所以BE=DF. 在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF(SAS). (2)当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
因为AC=2OA，AC=2AB，所以AB=OA.
因为E是OB的中点，所以AG⊥OB，
所以∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，所以AG//CF， 所以EG//CF.
因为EG=AE，OA=OC，所以OE是△ACG的中位线，
所以OE//CG，所以EF//CG，
所以四边形EGCF是平行四边形.
因为∠OEG=90°，所以四边形EGCF是矩形． 方法总结：本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 3．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． (1)求证：AC=BE； (2)若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形． 解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB//CD，AB=CD. 因为CE=DC，所以AB=EC，AB//EC， 所以四边形ABEC是平行四边形 所以AC=BE. (2)因为AB=EC，AB//EC， 所以四边形ABEC是平行四边形， 所以FA=FE，FB=FC. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠D， 又因为∠AFC=2∠D，所以∠AFC=2∠ABC. 因为∠AFC=∠ABC+∠BAF，所以∠ABC=∠BAF， 所以FA=FB，所以FA=FE=FB=FC， 所以AE=BC，所以四边形ABEC是矩形. 方法总结：此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形． 4．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？ 解：(1)设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，即PD=CQ，所以24-x=3x，解得x=6，即经过6秒，四边形PQCD是平行四边形. (2)设经过ys，四边形PQBA为矩形，即AP=BQ，所以y=26-3y，解得y=，即经过6.5秒，四边形PQBA是矩形． 方法总结：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等；②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 4.课堂小结 1．矩形的判定 2．解题策略 (1)判定一个四边形是矩形可分为两种情况： ①以四边形为起点进行判定：三个角是直角的四边形或对角线互相平分且相等的四边形是矩形. ②以平行四边形为起点进行判定：一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形是矩形. (2)判定一个四边形是菱形可分为两种思路： ①从角考虑进行判断，一个角是直角的平行四边形或三个角是直角的四边形是矩形. ②从对角线考虑进行判断，对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等的四边形是菱形. (3)解题技巧：矩形的每一条对角线把矩形分成一对全等的直角三角形，两条对角线把菱形分成两组全等的等腰三角形，所以矩形中的许多证明与计算都可以转化到等腰三角形或直角三角形中解决. 5.板书设计 1．矩形的判定 有一角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 2．矩形的性质和判定综合应用
教学设计 反思 在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在教学的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，也要懂得提出问题探究问题．教师在例题练习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性.

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