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微专题8　数列求和的常用方法
高考定位　近几年高考,数列求和常出现在解答题的第(2)问,主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档.
【真题体验】
1.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　)
A.48 B.112
C.80 D.114
答案　C
解析　当n=1时,a1=S1=-1+8=7,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9,
显然a1=7也符合该式,所以an=-2n+9,
所以当n≤4时,an>0,当n≥5时,an<0,
所以{|an|}的前12项和为|a1|+|a2|+|a3|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-(a5+a6+…+a12)
=2(a1+a2+a3+a4)-(a1+a2+…+a12)
=2S4-S12=2(-16+32)-(-122+8×12)=80,故选C.
2.(2025·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}中,a1=3,且=+.
(1)证明:数列{nan}是等差数列;
(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).
(1)证明　=+两边同时乘n(n+1),得(n+1)an+1=nan+1,
又1×a1=3,
所以{nan}是首项为3,公差为1的等差数列.
(2)解　由(1)可知数列{nan}的通项公式为nan=3+(n-1)×1=n+2,
又f'(x)=a1+2a2x+…+mamxm-1,
故f'(-2)=3+4×(-2)+…+(m+2)×(-2)m-1,
所以-2f'(-2)=3×(-2)+4×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m.
两式相减,得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m
=-×(-2)m,
所以f'(-2)=-×(-2)m.
【热点突破】
热点一　分组求和与并项求和
1.若数列{an}的通项公式为an=cn±bn,或an=且{cn},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{an}的前n项和.
2.若数列{an}的通项公式为an=(-1)ncn(其中cn为等差数列)或an=(-1)nf(n),可采用并项求和法求数列{an}的前n项和.
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=4,且Sn+2-2Sn+1+Sn=2.
(1)证明:数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=1,b2+b3=0,求数列{an·bn}的前2n项和T2n.
(1)证明　由Sn+2-2Sn+1+Sn=2,
得Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=2,
∴an+2-an+1=2,
又a2-a1=4-2=2,
∴数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,
∴an=2n.
(2)解　设等比数列{bn}的公比为q,q≠0,
则b2+b3=q+q2=0,∴q=-1,
∴bn=(-1)n-1,∴an·bn=2n·(-1)n-1,
∴T2n=2-4+6-8+…+2(2n-1)·(-1)2n-2+2(2n)·(-1)2n-1
=(2-4)+(6-8)+…+[2(2n-1)·(-1)2n-2+2(2n)·(-1)2n-1]
=-2+(-2)+…+(-2)=-2n.
规律方法　分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组,转化为若干个可求和的数列的和或差,然后再求和.
训练1 (2025·枣庄二模)在数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an-2n,求数列{bn}的前n项和Sn的最大值.
解　(1)依题意,当n≥2时,an-an-1=2n-1-2,
则an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=20+(21-2)+(22-2)+(23-2)+…+(2n-1-2)
=(2+22+23+…+2n-1)-2(n-1)+20
=-2n+22=2n-2n+20,
a1=20满足上式,
所以{an}的通项公式为an=2n-2n+20.
(2)由(1)得bn=an-2n=-2n+20,数列{bn}是递减等差数列,
由bn≥0,得n≤10,
则数列{bn}前10项均为非负数,从第11项起为负数,
而b10=0,因此数列{bn}前10项和与前9项和相等,都最大,
所以数列{bn}的前n项和Sn的最大值为S10=S9=×10=90.
热点二　裂项相消法求和
裂项常见形式:(1)分母两项的差等于常数
=;
=.
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
=-;
=.
(3)分母含无理式
=-.
例2 (2025·沈阳模拟)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差为d,记{an}的前n项和为Sn,S4-2a2a3+14=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}公差d>1,令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)由题意可得,
S4-2a2a3+14=4a1+6d-2(a1+d)(a1+2d)+14
=4+6d-2(1+d)(1+2d)+14=0,
整理得d2=4,则d=±2,
可得an=1+2(n-1)=2n-1或an=1-2(n-1)=-2n+3,
故an=2n-1或an=-2n+3.
(2)因为d>1,由(1)可得d=2,an=2n-1,
则cn=
=-,
故Tn=c1+c2+c3+…+cn
=++…+
=1-,
所以Tn=1-.
易错提醒　裂项相消法就是把数列的每一项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项抵消,有的是间隔项抵消.
训练2 (2025·海南调研)已知数列{an}中,a1=1,且an≠0,Sn为数列{an}的前n项和,+=an(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解　(1)由于+=an(n≥2),an≠0,
所以+≠0,
又an=Sn-Sn-1,
所以+=Sn-Sn-1
=(+)(-),
所以-=1,
所以数列{}为等差数列,公差为1,
又==1,所以=n,
所以当n≥2,n∈N*时,
an=+=n+n-1=2n-1,
又a1=1=2×1-1,
所以an=2n-1,n∈N*.
(2)cn=
=.
所以cn=,
所以数列{cn}的前n项和
Tn={+++…+},
所以Tn=-+.
热点三　错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时,可采用错位相减法.
例3 (2025·合肥二模)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1=3,a2+a4=2b2,a1a3=b3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
解　(1)设公差为d,公比为q(q≠0),
a2+a4=2b2,
故2a1+4d=2b1q,6+4d=6q,
a1a3=b3,故3(3+2d)=3q2,
联立
解得(舍去),
故an=3+3(n-1)=3n,bn=3·3n-1=3n.
(2)==,
设数列的前n项和为Sn,
则Sn=++++…+,①
Sn=++++…+,②
①-②得Sn=1++++…+-
=-=-,
所以Sn=-.
易错提醒　用错位相减法求和时,应注意:
(1)等比数列的公比为负数的情形;(2)作差后所得等比数列的项数;(3)最后一项的符号.
训练3 (2025·郴州三模)已知数列{an}为等差数列,且a2=3,a4+a5+a6=27.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2,求数列{bn}的通项公式;
(3)已知数列{cn}满足:cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Mn.
解　(1)因为数列{an}为等差数列,
由a4+a5+a6=3a5=27,可得a5=9,
所以数列{an}的公差为d===2,
故an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1.
(2)当n=1时,b1=S1=2b1-2,解得b1=2,
当n≥2且n∈N*时,由Sn=2bn-2得Sn-1=2bn-1-2,
上述两个等式作差可得bn=2bn-2bn-1,
可得bn=2bn-1,
所以数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列,
故bn=2×2n-1=2n.
(3)由(1)(2)可得
cn=anbn=(2n-1)·2n,
所以Mn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,
则2Mn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,
上述两个等式作差得-Mn=2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1
=2+-(2n-1)·2n+1
=-6+(3-2n)·2n+1,
整理得Mn=(2n-3)·2n+1+6.
【精准强化练】
1.(2025·巴中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)求证:≤an<1;
(2)令bn=log2,求证:++…+<.
证明　(1)an==1-,
可知数列{an}单调递增,
则an=1-<1,
则当n=1时,{an}取最小值为,
故≤an<1,得证.
(2)bn=log2=n,
当n≥3时,=<=-,
++…+<1++-+…+-
=-<,得证.
2.已知正项数列{an}满足a1=1,-=8n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=an·sin,求数列{bn}的前2 026项的和.
解　(1)因为-=8n,
所以当n≥2时,=(-)+…+(-)+=8(n-1)+…+8×1+1=8[1+2+3+…+(n-1)]+1=8×+1=(2n-1)2.
因为an>0,所以an=2n-1,n≥2.
当n=1时,a1=1符合上式,所以an=2n-1.
(2)bn=an·sin=(-1)n+1·(2n-1),所以当k∈N*时,
b2k-1+b2k=(4k-3)-(4k-1)=-2,
故b1+b2+b3+…+b2 026=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2 023+b2 024)+(b2 025+b2 026)
=-2×1 013=-2 026.
3.(2025·黄冈调研)设数列{an}(n∈N*)满足:a1++…+=n2.等比数列{bn}的首项b1=1,公比为2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
解　(1)∵a1++…+=n2,n≥1.
∴a1++…+=(n-1)2,n≥2,
∴=n2-(n-1)2=2n-1.
即an=n(2n-1),n≥2,
当n=1时,a1=1,满足上式.
∴an=n(2n-1)=2n2-n,
根据等比数列{bn}的首项b1=1,公比为2,可知bn=2n-1.
(2)由(1)知=(2n-1)·2n-1.
∴Tn=1·20+3·21+…+(2n-1)·2n-1,
2Tn=1·21+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n.
∴-Tn=1+2·21+…+2·2n-1-(2n-1)·2n=1+2·-(2n-1)·2n
=1+4(2n-1-1)-(2n-1)·2n=2·2n-(2n-1)·2n-3=(3-2n)·2n-3.
∴Tn=(2n-3)2n+3.
4.(2025·南京段测)已知{an}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a2=3,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)定义:在数列{an}中,使log3(an+1)为整数的an叫做“调和数”,求在区间[1,2 026]内所有“调和数”之和.
解　(1)设{an}的公差为d.
因为a1,a3,a7成等比数列,
所以=a1·a7,
则
所以(舍去).
所以an=a1+(n-1)d=n+1.
(2)设bn=log3(an+1),
所以an=-1,
令1≤an=-1≤2 026,且bn为整数,
由36=729,37=2 187,知36<2 026<37,
所以bn可以取1,2,3,4,5,6,
此时an分别为31-1,32-1,33-1,34-1,35-1,36-1,
所以在区间[1,2 026]内所有“调和数”之和为(31-1)+(32-1)+(33-1)+(34-1)+(35-1)+(36-1)
=(31+32+33+34+35+36)-6
=-6=1 086.微专题8　数列求和的常用方法
高考定位　近几年高考,数列求和常出现在解答题的第(2)问,主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档.
【真题体验】
1.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　)
A.48 B.112
C.80 D.114
2.(2025·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}中,a1=3,且=+.
(1)证明:数列{nan}是等差数列;
(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).
【热点突破】
热点一　分组求和与并项求和
1.若数列{an}的通项公式为an=cn±bn,或an=且{cn},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{an}的前n项和.
2.若数列{an}的通项公式为an=(-1)ncn(其中cn为等差数列)或an=(-1)nf(n),可采用并项求和法求数列{an}的前n项和.
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=4,且Sn+2-2Sn+1+Sn=2.
(1)证明:数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=1,b2+b3=0,求数列{an·bn}的前2n项和T2n.
规律方法　分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组,转化为若干个可求和的数列的和或差,然后再求和.
训练1 (2025·枣庄二模)在数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an-2n,求数列{bn}的前n项和Sn的最大值.
热点二　裂项相消法求和
裂项常见形式:(1)分母两项的差等于常数
=;
=.
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
=-;
=.
(3)分母含无理式
=-.
例2 (2025·沈阳模拟)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差为d,记{an}的前n项和为Sn,S4-2a2a3+14=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}公差d>1,令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
易错提醒　裂项相消法就是把数列的每一项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项抵消,有的是间隔项抵消.
训练2 (2025·海南调研)已知数列{an}中,a1=1,且an≠0,Sn为数列{an}的前n项和,+=an(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
热点三　错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时,可采用错位相减法.
例3 (2025·合肥二模)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1=3,a2+a4=2b2,a1a3=b3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
易错提醒　用错位相减法求和时,应注意:
(1)等比数列的公比为负数的情形;(2)作差后所得等比数列的项数;(3)最后一项的符号.
训练3 (2025·郴州三模)已知数列{an}为等差数列,且a2=3,a4+a5+a6=27.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2,求数列{bn}的通项公式;
(3)已知数列{cn}满足:cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Mn.
【精准强化练】
1.(2025·巴中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)求证:≤an<1;
(2)令bn=log2,求证:++…+<.
2.已知正项数列{an}满足a1=1,-=8n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=an·sin,求数列{bn}的前2 026项的和.
3.(2025·黄冈调研)设数列{an}(n∈N*)满足:a1++…+=n2.等比数列{bn}的首项b1=1,公比为2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
4.(2025·南京段测)已知{an}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a2=3,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)定义:在数列{an}中,使log3(an+1)为整数的an叫做“调和数”,求在区间[1,2 026]内所有“调和数”之和.

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