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微专题9　数列的奇偶项问题
高考定位　有关数列的奇偶项问题是高考中经常涉及的问题,解决此类问题的关键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等,涉及求通项、求和等.(1)隔项等差、等比数列型求通项公式常用的方法:用2k-1或2k替代n,求出a2k-1,a2k的通项;(2)求数列的前n项和常用的方法有:方法一:分别求出S奇,S偶,利用Sn=S奇+S偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思路本质上是并项求和.
【真题体验】
(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
解　(1)因为bn=a2n,且a1=1,
an+1=
所以b1=a2=a1+1=2,
b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.
因为bn=a2n,
所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1
=a2n+2+1=a2n+3,
所以bn+1-bn=a2n+3-a2n=3,
所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,
所以bn=2+3(n-1)=3n-1,n∈N*.
(2)因为an+1=
所以k∈N*时,a2k=a2k-1+1=a2k-1+1,
即a2k=a2k-1+1,①
a2k+1=a2k+2,②
a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1,
即a2k+2=a2k+1+1,③
所以①+②得a2k+1=a2k-1+3,
即a2k+1-a2k-1=3,
所以数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;
②+③得a2k+2=a2k+3,即a2k+2-a2k=3,
又a2=2,所以数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.
所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=10+×3+20+×3=300.
【热点突破】
热点一　an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+4n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn+1+cn=an,且不等式cn+2n2≥0对任意的n∈N*都成立,求c1的取值范围.
解　(1)由题意得当n=1时,a1=S1=5,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3,
当n=1时,a1=5,适合上式,故an=2n+3.
(2)由(1)知,cn+1+cn=2n+3,
当n=1时,c2+c1=5;
当n≥2时,cn+cn-1=2(n-1)+3,
两式相减得cn+1-cn-1=2(n≥2),
∴数列{c2n}是以c2为首项,公差为2的等差数列,
数列{c2n-1}是以c1为首项,公差为2的等差数列.
当n为偶数时,cn=c2+2×=n+3-c1;
当n为奇数时,
cn=c1+2×=n-1+c1,
∴cn=
对任意的n∈N*,都有cn+2n2≥0成立,
①当n为奇数时,n≥1,cn+2n2=n-1+c1+2n2≥0恒成立,
即-c1≤2n2+n-1对n为奇数恒成立,
当n=1时,(2n2+n-1)min=2,
∴-c1≤2,即c1≥-2;
②当n为偶数时,n≥2,
cn+2n2=n+3-c1+2n2≥0恒成立,
即c1≤2n2+n+3对n为偶数恒成立,
当n=2时,(2n2+n+3)min=13,∴c1≤13.
综上所述,c1的取值范围是[-2,13].
规律方法　1.构造隔项等差数列:an+1+an=pn+q(p,q≠0) an+2+an+1=p(n+1)+q 两式相减得 an+2-an=p;
2.构造隔项等比数列:an+1·an=pqn(p,q≠0) an+2·an+1=pqn+1 两式相除得 =q.
训练1 (2025·唐山调研)在数列{an}中,已知a1=1,an·an+1=,记Sn为{an}的前n项和,bn=a2n+a2n-1.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并写出其通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求Sn.
解　(1)∵an·an+1=,
∴an+1·an+2=,
∴=,即an+2=an,
∴===.
∵a1=1,a1·a2=,∴a2=,
∵b1=a2+a1=+1=,
∴数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列,
∴bn=·=.
(2)由(1)可知an+2=an,且a1=1,a2=,
∴数列{a2n}是以为首项,为公比的等比数列,数列{a2n-1}是以1为首项,为公比的等比数列,
∴当n为奇数时,an=;
当n为偶数时,an=,
∴an=
(3)当n为偶数时,
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)
=3-3·,
当n为奇数时,n-1为偶数,
Sn=Sn-1+
=3-3+
=3-2,
∴Sn=
热点二　an=型
例2 (2025·南京质检)已知数列{an},a1=1,an+1=
(1)是否存在实数λ,使得数列{a2n-λ}是等比数列 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
(2)若Sn是数列{an}的前n项和,求满足Sn>0的所有正整数n.
解　(1)由题意得a2n+2=a2n+1+2n+1
=(a2n-6n)+2n+1,
∴a2n+2=a2n+1,
故a2n+2-=,
又a2=+1=,∴a2-=-,
即存在λ=,使得数列{a2n-λ}是以-为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知a2n-=-=-,
∴a2n=-,
∵a2n=a2n-1+2n-1,得a2n-1=3a2n-3(2n-1),
∴a2n+a2n-1=4a2n-6n+3=--6n+9.
①当n=2k时,
S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2k-1+a2k),
=-2+
=-3k2+6k-1;
②当n=2k-1时,
S2k-1=S2k-a2k=·-3k2+6k-.
∵与-3k2+6k在k∈N*时均单调递减,
∴S2k与S2k-1在k∈N*时均单调递减.
又S1=1,S2=,S3=-,S4=-,
∴满足Sn>0的所有正整数n为1和2.
规律方法　对于递推关系分奇偶不同的数列,可以利用a2n,a2n-1及a2n-1,a2n-2,推导出偶数项递推关系,求出偶数项的通项公式,通过a2n,a2n-1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时,可以先把a2n+a2n-1看作一项,求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k.
训练2 (2025·沈阳模拟)已知等比数列{an}是递减数列,{an}的前n项和为Sn,且,2S2,8a3成等差数列,3a2=a1+2a3,数列{bn}满足bn+1=2bn-2n+1,b1=3,n∈N*.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=求数列{cn}的前2n项和T2n.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q,
由题意可得
则
因为数列{an}是等比数列,解得a1=q=,
所以an=a1qn-1=,
因为bn+1=2bn-2n+1,
所以bn+1-2(n+1)-1=2(bn-2n-1),
因为b1=3,则b1-2×1-1=0,
所以bn-2n-1=0,故bn=2n+1.
(2)当n为奇数时,cn=,
令An=c2i-1,
则An=+++…+,
所以An=++…++,
作差可得An=+++…+-
=+-
=-,
化简得An=-;
当n为偶数时,cn=
=
=-,
令Bn=c2i,
则Bn=-+-+…+-
=-,
故T2n=An+Bn
=--.
热点三　通项公式中含有(-1)n型
例3 (2025·广州质检)已知数列{an}的首项为a1=,且满足an+1+4an+1an-an=0.
(1)证明:数列为等差数列;
(2)求数列的前n项和为Sn;
(3)求数列{(-1)nSn}的前n项和.
(1)证明　因为an+1+4an+1an-an=0,a1=,
若an+1an=0,则an=an+1=0,
与a1=矛盾,所以an+1an≠0,
所以an-an+1=4anan+1,所以-=4,
因为a1=,所以=2,
所以数列是以首项为2,公差为4的等差数列.
(2)解　由(1)知=2+(n-1)·4=4n-2,
数列的前n项和为Sn==2n2.
(3)解　因为(-1)nSn=2·(-1)nn2,
设数列{(-1)nSn}的前n项和为Tn,
当n为偶数时,Tn=2[-12+22-32+…-(n-1)2+n2],
因为n2-(n-1)2=2n-1,
所以Tn=2[3+7+…+(2n-1)]
=2··
=n(n+1)=n2+n,
当n为奇数时,n-1为偶数.
Tn=Tn-1+2·(-1)nn2
=(n-1)n-2n2=-n2-n,
所以Tn=
规律方法　通项中含有(-1)n的常见类型
(1)等差数列的通项公式乘以(-1)n,可用并项求和法求数列前n项的和,
如an=(-1)n(2n-1),前20项的和
a1+a2+…+a20=(-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39).
(2)等比数列的通项乘以(-1)n,若求其前n项和的最值可写成分段形式,
如等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·,则其前n项和Sn=1-,求Tn=Sn-的取值范围时,n分奇偶讨论,求Tn的最值.
(3)裂项相消法求和
如an=(-1)n=(-1)n,
求和时通过(-1)n实现正负交替.
训练3 (2025·西安调研)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.
a1也满足an=n,
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)当n为偶数时,
Tn=(21+22+…+2n)+[-1+2-3+4+…-(n-1)+n]=+=2n+1-2+.
当n为奇数时,
Tn=(21+22+…+2n)+[-1+2-3+4+…-(n-2)+(n-1)-n]
=2n+1-2+-n=2n+1-.
综上,Tn=
【精准强化练】
1.(2025·龙岩模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+Sn+1=3an+1-4,等差数列{bn}的前n项和为Tn,b2+b4=6,T4=10.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=求数列{cn}的前2n项和.
解　(1)因为Sn+Sn+1=3an+1-4,①
所以当n=1时,a1+a1+a2=3a2-4,
又a1=2,所以a2=4.
当n≥2时,Sn-1+Sn=3an-4,②
①-②,得an+an+1=3an+1-3an,
所以an+1=2an.
又a1=2,a2=4=2a1,
所以 n∈N*,=2,
所以{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n.
设等差数列{bn}的公差为d,
因为b2+b4=6,T4=10,
所以解得b1=d=1,
所以bn=1+(n-1)×1=n,
即{bn}的通项公式为bn=n.
(2)因为cn=
=
则数列{cn}的前2n项和M2n=(1+3+…+2n-1)+(2·22+4·24+…+2n·22n),
令An=1+3+…+(2n-1)
==n2,
Bn=2·22+4·24+…+2n·22n
=1·23+2·25+…+n·22n+1,
则22·Bn=1·25+2·27+…+n·22n+3,
所以两式相减得-3Bn=23+25+27+…+22n+1-n·22n+3
=-n·22n+3=22n+3-,
则Bn=·22n+3+,
故M2n=n2+·22n+3+.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=4且an+1=Sn+4(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)因为an+1=Sn+4,
当n=1时,a2=S1+4=8,
当n≥2时,an=Sn-1+4,
所以an+1-an=an,
即an+1=2an(n≥2,n∈N*),
又因为==2,满足上式,
所以{an}是以4为首项,2为公比的等比数列,
则an=4×2n-1=2n+1.
(2)因为bn=(-1)n+1=(-1)n+1=(-1)n+1,
所以Tn=-+…+
(-1)n+1=1+.
3.(2025·烟台质检)各项非零的数列{an}的前n项和记为Sn,记Tn=S1·S2·S3…Sn,且满足2SnTn-Sn-2Tn=0.
(1)求T1的值,证明数列{Tn}为等差数列并求{Tn}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Kn.
解　(1)由题意可知,T1=S1=a1≠0,且2-3T1=0,
解得T1=或T1=0(舍去),
又当n≥2时,Sn=,
所以2××Tn--2Tn=0,
化简得Tn-Tn-1=,
所以数列{Tn}是以为首项,为公差的等差数列,
所以Tn=+(n-1)×=n+1.
(2)由(1)可知Sn===1+,
当n=1时,a1=S1=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-
=-=-,
则an=
cn=
①当n(n≥3)是奇数时,
Kn=-+[-3+4-5+6-…-(n-2)+(n-1)-n+(n+1)]
=-+1×=(n=1也满足),
②当n是偶数时,
Kn=-+[-3+4-5+6-…-(n-1)+n-(n+1)]
=-+1×-(n+1)=,
综上所述,Kn=
4.(2025·成都诊断)已知数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*).
(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;
(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn.
解　(1)若数列{an}是等差数列,则
an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.
由an+1+an=4n-3,
得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3,
即2d=4,2a1-d=-3,
解得d=2,a1=-.
(2)法一　由an+1+an=4n-3(n∈N*),
得an+2+an+1=4n+1(n∈N*).
两式相减,得an+2-an=4,
由a2+a1=1,a1=2,得a2=-1,
所以数列{a2n-1}是首项为a1=2,公差为4的等差数列;数列{a2n}是首项为a2=-1,公差为4的等差数列,
所以an=
当n为奇数时,an=2n,an-1=2n-7.
Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a3+…+an)+(a2+a4+…+an-1)=+=;
当n为偶数时,an=2n-5,an-1=2n-2,
Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)=+=.
综上,Sn=
法二　由于an+1+an=4n-3,
于是S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)
=1+9+…+(8n-7)==4n2-3n,
由此可得当n为偶数时,Sn=,
而当n为奇数时,n+1为偶数,
于是Sn=Sn+1-an+1
=-(2n-3)
=.
综上,Sn=微专题9　数列的奇偶项问题
高考定位　有关数列的奇偶项问题是高考中经常涉及的问题,解决此类问题的关键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等,涉及求通项、求和等.(1)隔项等差、等比数列型求通项公式常用的方法:用2k-1或2k替代n,求出a2k-1,a2k的通项;(2)求数列的前n项和常用的方法有:方法一:分别求出S奇,S偶,利用Sn=S奇+S偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思路本质上是并项求和.
【真题体验】
(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
【热点突破】
热点一　an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+4n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn+1+cn=an,且不等式cn+2n2≥0对任意的n∈N*都成立,求c1的取值范围.
规律方法　1.构造隔项等差数列:an+1+an=pn+q(p,q≠0) an+2+an+1=p(n+1)+q 两式相减得 an+2-an=p;
2.构造隔项等比数列:an+1·an=pqn(p,q≠0) an+2·an+1=pqn+1 两式相除得 =q.
训练1 (2025·唐山调研)在数列{an}中,已知a1=1,an·an+1=,记Sn为{an}的前n项和,bn=a2n+a2n-1.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并写出其通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求Sn.
热点二　an=型
例2 (2025·南京质检)已知数列{an},a1=1,an+1=
(1)是否存在实数λ,使得数列{a2n-λ}是等比数列 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
(2)若Sn是数列{an}的前n项和,求满足Sn>0的所有正整数n.
规律方法　对于递推关系分奇偶不同的数列,可以利用a2n,a2n-1及a2n-1,a2n-2,推导出偶数项递推关系,求出偶数项的通项公式,通过a2n,a2n-1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时,可以先把a2n+a2n-1看作一项,求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k.
训练2 (2025·沈阳模拟)已知等比数列{an}是递减数列,{an}的前n项和为Sn,且,2S2,8a3成等差数列,3a2=a1+2a3,数列{bn}满足bn+1=2bn-2n+1,b1=3,n∈N*.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=求数列{cn}的前2n项和T2n.
热点三　通项公式中含有(-1)n型
例3 (2025·广州质检)已知数列{an}的首项为a1=,且满足an+1+4an+1an-an=0.
(1)证明:数列为等差数列;
(2)求数列的前n项和为Sn;
(3)求数列{(-1)nSn}的前n项和.
规律方法　通项中含有(-1)n的常见类型
(1)等差数列的通项公式乘以(-1)n,可用并项求和法求数列前n项的和,
如an=(-1)n(2n-1),前20项的和
a1+a2+…+a20=(-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39).
(2)等比数列的通项乘以(-1)n,若求其前n项和的最值可写成分段形式,
如等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·,则其前n项和Sn=1-,求Tn=Sn-的取值范围时,n分奇偶讨论,求Tn的最值.
(3)裂项相消法求和
如an=(-1)n=(-1)n,
求和时通过(-1)n实现正负交替.
训练3 (2025·西安调研)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
【精准强化练】
1.(2025·龙岩模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+Sn+1=3an+1-4,等差数列{bn}的前n项和为Tn,b2+b4=6,T4=10.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=求数列{cn}的前2n项和.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=4且an+1=Sn+4(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
3.(2025·烟台质检)各项非零的数列{an}的前n项和记为Sn,记Tn=S1·S2·S3…Sn,且满足2SnTn-Sn-2Tn=0.
(1)求T1的值,证明数列{Tn}为等差数列并求{Tn}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Kn.
4.(2025·成都诊断)已知数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*).
(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;
(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn.

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