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微专题10　数列中的最值、范围问题
高考定位　近几年高考试题中,与数列有关的最值范围问题既有解答题,也有选择、填空题,难度中档或偏上.
【真题体验】
1.(2024·上海卷)等比数列{an}的首项a1>0,公比q>1,记In={x-y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若对任意正整数n,In是闭区间,则q的取值范围是　　　　.
答案　[2,+∞)
解析　显然等比数列{an}递增,不妨设x≥y,
若x,y∈[a1,a2],则x-y∈[0,a2-a1],
若x,y∈[an,an+1],则x-y∈[0,an+1-an],
若x∈[an,an+1],y∈[a1,a2],
则x-y∈[an-a2,an+1-a1],
∵对任意正整数n,In都是闭区间,
∴an-a2≤an+1-an,如图,
又a1>0,∴qn-2qn-1+q≥0,
即qn-2(q-2)+1≥0,对任意正整数n,上式都成立,则必有q≥2.
2.(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
解　(1)因为4Sn+1=3Sn-9,
所以当n≥2时,4Sn=3Sn-1-9,
两式相减可得4an+1=3an,即=.
当n=1时,4S2=4=--9,
解得a2=-,所以=.
所以数列{an}是首项为-,
公比为的等比数列,
所以an=-×=-.
(2)因为3bn+(n-4)an=0,
所以bn=(n-4)·.
所以Tn=-3×-2×-1×+0×+…+(n-4)·,①
所以Tn=-3×-2×-1×+0×+…+(n-5)·+(n-4)·,②
①-②得Tn=-3×+++…+-(n-4)·
=-+-(n-4)·
=-n·,
所以Tn=-4n·.
因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,
所以-4n·≤λ(n-4)·恒成立,
所以(λ+3)n-4λ≥0.
记f(n)=(λ+3)n-4λ(n∈N*),
所以解得-3≤λ≤1.
所以λ的取值范围是[-3,1].
【热点突破】
热点一　求数列和式的最值、范围
求数列和式最值、范围的基本方法
(1)利用不等式组(n≥2)确定和式的最大值;
利用不等式组(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性.
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
例1 (2025·长沙调研)已知数列{an}是首项等于的等比数列,公比q∈N*,Sn是它的前n项和,满足S4=5S2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=logaan(a>0且a≠1),求数列{bn}的前n项和Tn的最值.
解　(1)公比q∈N*,∵S4=5S2,q≠1,
∴=,解得q=2.
∴an=×2n-1=2n-5.
(2)bn=logaan=(n-5)loga2,
∴数列{bn}的前n项和Tn=loga2
=loga2,
当a>1时,(Tn)min=T4=T5=-10loga2,无最大值;
当0易错提醒　利用数列和式的单调性求其最值.要首先判断其单调性,且注意数列中的n≥1且n∈N.
训练1 (2025·连云港调研)记数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有Sn=n(an+n-1).
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若当且仅当n=7时,Sn取得最大值,求a1的取值范围.
(1)证明　因为Sn=nan+n(n-1),①
所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1+(n-1)(n-2),②
①-②可得an=nan-(n-1)an-1+2n-2,
得(1-n)an=-(n-1)an-1+2(n-1),
得an-an-1=-2,故{an}为等差数列.
(2)解　若当且仅当n=7时,Sn取得最大值,
则有
则解得12故a1的取值范围为(12,14).
热点二　求n的最值或范围
求n的值或最值,一般涉及数列的项或和的最值与范围,通常化归为解关于n的不等式,或根据数列的单调性求解.
例2 已知数列{an}是递增的等比数列.设其公比为q,前n项和为Sn,且满足a1+a5=34,8是a2与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=n·an,Tn是{bn}的前n项和,求使Tn-n·2n+1>-100成立的最大正整数n的值.
解　(1)因为8是a2与a4的等比中项,
所以a2a4=82=64,
则由题意得
解得
因为数列{an}是递增的等比数列,
所以即a1=2,q=2,
所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
(2)由(1)得bn=n·an=n×2n,
则Tn=b1+b2+b3+…+bn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②
由①-②得-Tn=21+22+23+…+2n-n×2n+1,
即Tn=n×2n+1-=(n-1)2n+1+2,
所以Tn-n·2n+1=(n-1)2n+1+2-n·2n+1=2-2n+1.
由Tn-n·2n+1>-100,
得2-2n+1>-100,
即2n<51,由于25=32<51,26=64>51,
所以n≤5,即使Tn-n·2n+1>-100成立的最大正整数n的值为5.
易错提醒　解答本题要首先正确求出Tn,在求n的最值时要结合Tn-n·2n+1的单调性,同时注意n∈N*求解.
训练2 (2025·丹东段测)记Sn为等差数列{an}的前n项和,4Sn=anan+1+1,an≠0,n∈N*.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求使bn取得最大值时n的值.
解　(1)因为{an}为等差数列,且4Sn=anan+1+1,an≠0,n∈N*,
所以当n≥2时,有4Sn-1=an-1an+1,
两式相减,得4an=an(an+1-an-1)=2dan(d为等差数列{an}的公差),解得d=2.
当n=1时,有4S1=a1a2+1,
即4a1=a1a2+1,4a1=a1(a1+2)+1,
解得a1=1.
所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)知an=2n-1,
所以Sn==n2,
所以bn==.
当bn取得最大值时,有
即
整理得
所以1+≤n≤2+.
又因为n∈N*,解得n=3,
所以b3最大,且b3=,所以当bn取得最大值时,n=3.
热点三　求数列不等式中参数的取值范围
此类问题以数列为载体,一般涉及数列的求和,考查不等式的恒成立问题,可转化为函数的最值问题.
例3 (2025·重庆质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn+1-Sn=2,a1=1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn},{cn}满足bn=-2log2an,cn=,{cn}的前n项和为Tn,若不等式Tn-2≥λcn对一切正整数n恒成立,求λ的取值范围.
解　(1)由2Sn+1-Sn=2,
令n=1,得2S2-S1=2,
即2(a2+a1)-a1=2,
又a1=1,得a2=.
又由
可得2Sn+1-2Sn=Sn-Sn-1,
则有2an+1=an,即an+1=an,
又a2=a1,符合上式,
所以an+1=an(n∈N*),
所以数列{an}是以1为首项,为公比的等比数列,故an=(n∈N*).
(2)由(1)得bn=-2log2an=-2log2
=2n-2,
cn===n·2n,
所以Tn=1×21+2×22+…+n×2n,①
2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②
②-①得
Tn=-1×21-(22+23+…+2n)+n×2n+1
=-2-+n×2n+1
=2+(n-1)2n+1,
所以Tn-2=(n-1)2n+1,
又不等式Tn-2≥λcn对一切正整数n恒成立,即不等式(n-1)2n+1≥λn·2n对一切正整数n恒成立,
所以λ≤2,
又n∈N*,2≥0,
所以λ≤0,即λ的取值范围是(-∞,0].
易错提醒　求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立,还是有解问题,若f(n)≥M恒成立,则f(n)min≥M;若f(n)≥M有解,则f(n)max≥M.
训练3 已知数列{an}中,an=1+(k≠0).
(1)若k=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求k的取值范围.
解　(1)∵an=1+,
又k=-7,∴an=1+.
结合函数f(x)=1+的单调性,
可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1.
∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
(2)an=1+=1+,
已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,
结合函数f(x)=1+的单调性,
可知5<<6,即-10即k的取值范围是(-10,-8).
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·哈尔滨模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a7<0,S9>0,则Sn的最大值为(　　)
A.S4 B.S5
C.S6 D.S7
答案　B
解析　由S9=9a5>0,得a5>0,
又a5+a6=a4+a7<0,
则a6<0,所以公差d=a6-a5<0,
故当n≤5时,an>0,
当n≥6时,an<0,
所以当n=5时,Sn最大.
2.(2025·兰州调研)已知数列{an}为等比数列,a1=512,公比q=,则数列{an}的前n项积Tn最大时,n=(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案　B
解析　因为a1=512,公比q=,
则an=512·=,
所以当1≤n≤5时,an>1;
当n≥6时,0又Tn是数列{an}的前n项积,则当n=5时,Tn取得最大值,故选B.
3.(2025·丽水模拟)已知等比数列{an}的首项为m,且00,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,Tn为数列{an}的前n项的积,若S3=7m,Tn中仅有T4最小,则实数m的取值范围是(　　)
A. B.(8,16]
C.[1,8] D.
答案　A
解析　设数列{an}的公比q,
因为00,所以q>0,
S3=m+mq+mq2=7m,
解得q=2,
因为Tn中仅有T4最小,所以01,
则01,得0<8m<1,16m>1,
所以4.若数列{an}的前n项积bn=1-n,则an的最大值与最小值之和为(　　)
A.- B.
C.2 D.
答案　C
解析　∵数列{an}的前n项积bn=1-n,
当n=1时,a1=;
当n≥2时,bn-1=1-(n-1),
an====1+,
当n=1时也适合上式,∴an=1+.
当n≤4时,数列{an}单调递减,且an<1;
当n≥5时,数列{an}单调递减,且an>1,
故an的最大值为a5=3,最小值为a4=-1,
∴an的最大值与最小值之和为2,故选C.
5.(2025·安庆调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=1,设bn=,若数列{bn}是递增数列,则λ的取值范围是(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
答案　C
解析　当n=1时,S1+a1=2a1=1,
解得a1=,
当n≥2时,由Sn+an=1,
得Sn-1+an-1=1,
两式相减得2an-an-1=0,所以=,
即数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,可得an=,
所以bn==(n-λ)·2n.
因为数列{bn}是递增数列,
所以bn+1>bn对于任意的n∈N*恒成立,
即(n+1-λ)·2n+1>(n-λ)·2n,
即λ因为当n=1时,n+2取得最小值3,所以λ<3,
即λ的取值范围是(-∞,3).故选C.
6.(2025·滨州联测)设数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,且(n+1)(Sn+1-Sn)=(n+2)an.若存在n∈N*,使得2Sn+14≤kan成立,则k的最小值是(　　)
A.4+1 B.
C. D.8
答案　D
解析　由已知得(n+1)an+1=(n+2)an,
所以=,
所以数列是常数列.
又a2=3,所以==1,
即an=n+1,
所以数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,故Sn=.
由存在n∈N*,使得2Sn+14≤kan成立可知,
存在n∈N*,使得n2+3n+14≤k(n+1)成立,即k≥,
设t=n+1,t≥2,t∈N*,n=t-1,
从而=
=t++1.
记f(t)=t++1,
由对勾函数性质可知,f(t)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
又t≥2,t∈N*,f(3)=3+4+1=8,f(4)=4+3+1=8,
所以t++1的最小值是8,所以k≥8,
即k的最小值为8.故选D.
7.(2025·开封质检)如果数列{an}对任意的n∈N*均有an+2+an>2an+1恒成立,那么称数列{an}为“M-数列”,下列数列是“M-数列”的是(　　)
A.an=2n-1 B.an=-3n
C.an=n×2n D.an=n2×
答案　C
解析　若an=2n-1,则an+2+an-2an+1=2n+3+2n-1-2(2n+1)=0,
即an+2+an=2an+1,不满足条件,不是“M-数列”;
若an=-3n,则an+2+an-2an+1=-(3n+2+3n-2×3n+1)=-4×3n<0,
即an+2+an<2an+1,不满足条件,不是“M-数列”;
若an=n×2n,则an+2+an-2an+1=(n+2)×2n+2+n×2n-2(n+1)×2n+1=(n+4)×2n>0,
即an+2+an>2an+1,满足条件,则是“M-数列”;
若an=n2×,则an+2+an-2an+1=(n+2)2×+n2×-2(n+1)2×
=×
=×,
当n=1,2,3时,an+2+an<2an+1,不满足条件,不是“M-数列”.故选C.
二、多选题
8.(2025·杭州模拟)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件:a1>1,a2 024a2 025>1,<0,下列结论正确的是(　　)
A.S2 024B.a2 024a2 026<1
C.T2 024是数列{Tn}中的最大值
D.数列{Tn}无最大值
答案　ABC
解析　根据题意,等比数列{an}的公比为q,
若a2 024a2 025>1,
则(a1q2 023)(a1q2 024)=(a1)2(q4 047)>1,
又由a1>1,必有q>0,
则数列{an}各项均为正值,
若<0,
即(a2 024-1)(a2 025-1)<0,
必有a2 024>1,0则必有0对于A,数列{an}各项均为正值,则S2 025-S2 024=a2 025>0,
必有S2 024对于B,a2 024a2 026=<1,故B正确;
对于C,根据a1>a2>…>a2 024>1>a2 025>…>0,
所以T2 024是数列{Tn}中的最大项,故C正确,D错误.
9.(2025·广州调研)已知a1=1,=(λ≥0).下列选项中正确的有(　　)
A.存在λ,使存在正整数N,使n≥N时,an+1B.存在λ,使不存在正整数N,使n≥N时,an+1C.存在λ,使存在正整数N,使n≥N时,an+1>an恒成立
D.存在λ,使不存在正整数N,使n≥N时,an+1>an恒成立
答案　BCD
解析　若λ=0,则=<0,a1=1,
则{an}正负交替,B,D选项正确;
若λ>0,令=>1,即>1时,即an+1>an时,
即λn2-2n>n+1成立,即λ>成立,
显然存在正整数N,使n≥N时,an+1>an.
∴an+1>an,A选项错误,C选项正确.
三、填空题
10.(2025·南昌调研)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an,设数列{anan+1}的前n项和为Sn,若不等式(n+8)k≥Sn对 n∈N*恒成立,则k的最小值为　　　　.
答案　
解析　由题意知(n+2)an+1=(n+1)an,
则数列{(n+1)an}是首项为(1+1)×2=4的常数列,an=,
∴anan+1=×=
=16×,
Sn=16×(-+-+-+…+-)=,
k≥==,
∵n>0,∴n+≥8,
当且仅当n=,即n=4时取等号,
∴k≥,则k的最小值为.
11.(2025·武汉调研)已知数列{an},{cn}满足a1=1,an+1=2an+1,cn=,设数列{cn}的前n项和为Tn,若存在m使得Tn>对任意的n∈N*都成立,则正整数m的最小值为　　　　.
答案　5
解析　因为数列{an},{cn}满足a1=1,
an+1=2an+1,cn=,
则an+1+1=2(an+1),且a1+1=2,
所以数列{an+1}是首项和公比都为2的等比数列,
所以an+1=2·2n-1=2n,则an=2n-1,
因为cn=>0,
则数列{Tn}单调递增,
所以数列{Tn}最小项的值为T1=c1=,
若存在m使得Tn>对任意的n∈N*都成立,则=<,
所以2m-1>15,解得m>4,
所以正整数m的最小值为5.
12.(2025·福州质检)若x=1是函数f(x)=an+1x4-anx3-an+2x+1的极值点,数列{an}满足a1=1,a2=3,设bn=log3an+1,记[x]表示不超过x的最大整数.设Sn=++…+,若不等式Sn≥t对 n∈N*恒成立,则实数t的最大值为　　　　.
答案　1 012
解析　f'(x)=4an+1x3-3anx2-an+2,
∴f'(1)=4an+1-3an-an+2=0,
即an+2-an+1=3(an+1-an),
∴数列{an+1-an}是首项为2,公比为3的等比数列,
∴an+1-an=2×3n-1,则an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2×3n-1+2×3n-2+…+2×30+1=3n,
∴bn=log3an+1=log33n=n.
∴++…+
=2 025×
=2 025×
=.
又y=在n∈N*上单调递增,
则当n=1时,Sn取最小值S1==1 012,即t≤1 012.
四、解答题
13.(2025·石家庄质检)已知各项为正的数列{an}的首项为2,a2=6,an+2an+1-2=an+1an--anan+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求数列{Sn+an-28}前n项和的最小值.
解　(1)因为an+2an+1-2=an+1an--anan+2,
所以有(an+1+an)(an+2+an-2an+1)=0,
而an>0,∴an+an+1≠0,
所以an+2+an-2an+1=0,
又因为a1=2,a2=6,所以a2-a1=4,
由等差数列定义知数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列.
所以数列{an}的通项公式为an=4n-2.
(2)由(1)有Sn=2n+×4=2n2,
∴Sn+an-28=2n2+4n-30
=2(n+5)(n-3),
令Sn+an-28>0,
有n=4,5,6,…;
Sn+an-28<0,有n=1,2;
Sn+an-28=0,有n=3.
所以{Sn+an-28}前n项和的最小值为2(1+5)(1-3)+2(2+5)(2-3)=-38,
当且仅当n=2,3时取到.
14.(2025·银川调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=,a2+a3=-.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)若存在正整数n,使得(Sn-m)(Sn+1-m)<0成立,求m的取值范围.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q,
则q====-,
由S2=a1+a2=a1-a1==,
解得a1=1,
所以an=1×=.
(2)由(1)得bn=
则b2k-1+b2k=2k-1-+=2k-1,
当n为偶数时,令n=2k,
则Tn=T2k==k2=,
当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1
=-=-.
所以Tn=
(3)由(1),知Sn==,
存在正整数n,使得(Sn-m)(Sn+1-m)<0成立.
当n为偶数时,Sn=<,
Sn+1=>,
由(Sn-m)(Sn+1-m)<0,得Sn因为Sn单调递增,所以Sn的最小值为S2=,
因为Sn+1单调递减,所以Sn+1的最小值为S3=,
所以当n为奇数时,Sn=>,
Sn+1=<,
由(Sn-m)(Sn+1-m)<0,得Sn+1因为Sn单调递减,所以Sn的最大值为S1=1,
因为Sn+1单调递增,
所以Sn+1的最小值为S2=,
所以综上,m的取值范围是.微专题10　数列中的最值、范围问题
高考定位　近几年高考试题中,与数列有关的最值范围问题既有解答题,也有选择、填空题,难度中档或偏上.
【真题体验】
1.(2024·上海卷)等比数列{an}的首项a1>0,公比q>1,记In={x-y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若对任意正整数n,In是闭区间,则q的取值范围是　　　　.
2.(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
【热点突破】
热点一　求数列和式的最值、范围
求数列和式最值、范围的基本方法
(1)利用不等式组(n≥2)确定和式的最大值;
利用不等式组(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性.
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
例1 (2025·长沙调研)已知数列{an}是首项等于的等比数列,公比q∈N*,Sn是它的前n项和,满足S4=5S2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=logaan(a>0且a≠1),求数列{bn}的前n项和Tn的最值.
易错提醒　利用数列和式的单调性求其最值.要首先判断其单调性,且注意数列中的n≥1且n∈N.
训练1 (2025·连云港调研)记数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有Sn=n(an+n-1).
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若当且仅当n=7时,Sn取得最大值,求a1的取值范围.
热点二　求n的最值或范围
求n的值或最值,一般涉及数列的项或和的最值与范围,通常化归为解关于n的不等式,或根据数列的单调性求解.
例2 已知数列{an}是递增的等比数列.设其公比为q,前n项和为Sn,且满足a1+a5=34,8是a2与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=n·an,Tn是{bn}的前n项和,求使Tn-n·2n+1>-100成立的最大正整数n的值.
易错提醒　解答本题要首先正确求出Tn,在求n的最值时要结合Tn-n·2n+1的单调性,同时注意n∈N*求解.
训练2 (2025·丹东段测)记Sn为等差数列{an}的前n项和,4Sn=anan+1+1,an≠0,n∈N*.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求使bn取得最大值时n的值.
热点三　求数列不等式中参数的取值范围
此类问题以数列为载体,一般涉及数列的求和,考查不等式的恒成立问题,可转化为函数的最值问题.
例3 (2025·重庆质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn+1-Sn=2,a1=1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn},{cn}满足bn=-2log2an,cn=,{cn}的前n项和为Tn,若不等式Tn-2≥λcn对一切正整数n恒成立,求λ的取值范围.
易错提醒　求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立,还是有解问题,若f(n)≥M恒成立,则f(n)min≥M;若f(n)≥M有解,则f(n)max≥M.
训练3 已知数列{an}中,an=1+(k≠0).
(1)若k=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求k的取值范围.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·哈尔滨模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a7<0,S9>0,则Sn的最大值为(　　)
A.S4 B.S5
C.S6 D.S7
2.(2025·兰州调研)已知数列{an}为等比数列,a1=512,公比q=,则数列{an}的前n项积Tn最大时,n=(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
3.(2025·丽水模拟)已知等比数列{an}的首项为m,且00,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,Tn为数列{an}的前n项的积,若S3=7m,Tn中仅有T4最小,则实数m的取值范围是(　　)
A. B.(8,16]
C.[1,8] D.
4.若数列{an}的前n项积bn=1-n,则an的最大值与最小值之和为(　　)
A.- B.
C.2 D.
5.(2025·安庆调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=1,设bn=,若数列{bn}是递增数列,则λ的取值范围是(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
6.(2025·滨州联测)设数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,且(n+1)(Sn+1-Sn)=(n+2)an.若存在n∈N*,使得2Sn+14≤kan成立,则k的最小值是(　　)
A.4+1 B.
C. D.8
7.(2025·开封质检)如果数列{an}对任意的n∈N*均有an+2+an>2an+1恒成立,那么称数列{an}为“M-数列”,下列数列是“M-数列”的是(　　)
A.an=2n-1 B.an=-3n
C.an=n×2n D.an=n2×
二、多选题
8.(2025·杭州模拟)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件:a1>1,a2 024a2 025>1,<0,下列结论正确的是(　　)
A.S2 024B.a2 024a2 026<1
C.T2 024是数列{Tn}中的最大值
D.数列{Tn}无最大值
9.(2025·广州调研)已知a1=1,=(λ≥0).下列选项中正确的有(　　)
A.存在λ,使存在正整数N,使n≥N时,an+1B.存在λ,使不存在正整数N,使n≥N时,an+1C.存在λ,使存在正整数N,使n≥N时,an+1>an恒成立
D.存在λ,使不存在正整数N,使n≥N时,an+1>an恒成立
三、填空题
10.(2025·南昌调研)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an,设数列{anan+1}的前n项和为Sn,若不等式(n+8)k≥Sn对 n∈N*恒成立,则k的最小值为　　　　.
11.(2025·武汉调研)已知数列{an},{cn}满足a1=1,an+1=2an+1,cn=,设数列{cn}的前n项和为Tn,若存在m使得Tn>对任意的n∈N*都成立,则正整数m的最小值为　　　　.
12.(2025·福州质检)若x=1是函数f(x)=an+1x4-anx3-an+2x+1的极值点,数列{an}满足a1=1,a2=3,设bn=log3an+1,记[x]表示不超过x的最大整数.设Sn=++…+,若不等式Sn≥t对 n∈N*恒成立,则实数t的最大值为　　　　.
四、解答题
13.(2025·石家庄质检)已知各项为正的数列{an}的首项为2,a2=6,an+2an+1-2=an+1an--anan+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求数列{Sn+an-28}前n项和的最小值.
14.(2025·银川调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=,a2+a3=-.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)若存在正整数n,使得(Sn-m)(Sn+1-m)<0成立,求m的取值范围.

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