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数列的递推关系
高考定位　数列的递推关系是高考重点考查内容,作为两类特殊数列——等差数列、等比数列,可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解,体现了化归思想在数列中的应用.
【母题突破】
母题 (人教A版选修二P39例12)某牧场今年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,….
(1)写出一个递推公式,表示与cn之间的关系;
(2)将(1)中的递推公式表示成-k=r(cn-k)的形式,其中k,r为常数;
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1).
解　(1)由题意得c1=1 200,
并且cn+1=1.08cn-100.①
(2)将cn+1-k=r(cn-k),
化成cn+1=rcn-rk+k.②
比较①②的系数,可得
解这个方程组,得
所以(1)中的递推公式可以化为
cn+1-1 250=1.08(cn-1 250).
(3)由(2)可知,数列{cn-1 250}是以-50为首项,1.08为公比的等比数列,
则(c1-1 250)+(c2-1 250)+(c3-1 250)+…+(c10-1 250)=≈-724.3,
所以S10=c1+c2+c3+…+c10
≈1 250×10-724.3=11 775.7≈11 776.
真题 (1)(2019·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　　.
(2)(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=　　　　.
答案　(1)　(2)7
解析　(1)n=1时,S1+a1=2,∴a1=1.
n≥2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2,
两式相减得an=an-1(n≥2),
∴{an}是以1为首项,为公比的等比数列,
∴S5==.
(2)因为an+2+(-1)nan=3n-1,
所以当n为偶数时,an+2+an=3n-1,
所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,
a16+a14=41,
所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92.
因为数列{an}的前16项和为540,
所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540-92=448.①
因为当n为奇数时,an+2-an=3n-1,
可得an-an-2=3(n-2)-1,…,a3-a1=3×1-1,
累加可得an-a1=3-=,
即an=+a1,
∴a1+a3+…+a15=8a1+(0+8+40+96+176+280+408+560)=448,
即8a1=56,所以a1=7.
样题1 (1)在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式为　　　　.
答案　an=3n+2
解析　法一(构造法)　由an+1=3an-4,
设an+1-λ=3(an-λ),
即an+1=3an-2λ,故2λ=4,λ=2,
则an+1-2=3(an-2),
又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3为首项,
3为公比的等比数列,
所以an-2=3n,即an=3n+2.
法二(不动点法)　令3x-4=x,解得不动点x=2,
由an+1=3an-4,得an+1-2=3(an-2)
所以数列{an-2}是以a1-2=3为首项,
3为公比的等比数列,所以an-2=3n,
即an=3n+2.
(2)在数列{an}中,若an+1=3an-4n-5,a1=5,则an=　　　　.
答案　-·3n-1+2n+
解析　由an+1=3an-4n-5,
设an+1+λ(n+1)=3(an+λn)+m,
即an+1=3an+2λn-λ+m,
故
所以an+1-2(n+1)=3(an-2n)-7.
令bn=an-2n,则上式为bn+1=3bn-7.
法一(构造法)　设bn+1+k=3(bn+k),
即bn+1=3bn+2k,
故2k=-7,k=-,
所以数列是首项为-,公比为3的等比数列,则bn-=-·3n-1,bn=-·3n-1+,
故an=-·3n-1+2n+.
法二(不动点法)　令3x-7=x,得x=,
由bn+1=3bn-7得bn+1-=3,
所以数列是首项为-,公比为3的等比数列,
则bn-=-·3n-1,bn=-·3n-1+,
故an=-·3n-1+2n+.
(3)在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=　　　　.
答案　4·3n-1-5·2n-1
解析　法一　原递推式可化为
an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).
比较系数得λ=-4,
故an+1-4·3n=2(an-4·3n-1),
则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4·31-1=-5,
公比为2的等比数列,
∴an-4·3n-1=-5·2n-1,
即an=4·3n-1-5·2n-1.
法二　将an+1=2an+4·3n-1的两边同除以3n+1,得=·+,
令bn=,则bn+1=bn+,
设bn+1+k=(bn+k),比较系数得k=-,
则=,
∴是以-为首项,为公比的等比数列,
∴bn-=·,
则bn=-·,
∴an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1.
规律方法　形如an+1=pan+f(n)的数列通项公式的求法
(1)构造法:构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差数列或等比数列.
(2)不动点法:①形如an+1=pan+q的数列求通项公式的步骤:a.由x=px+q求出数列{an}的不动点;b.在递推公式an+1=pan+q两端同时减去x,化简使其左、右两侧结构一致;c.构造数列求通项.
②若数列满足an+1=pan+f(n)(f(n)为一次型函数)可转化为bn+1=pbn+k的形式求解.
样题2 已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.
解　法一(构造法)　∵an=2an-1+3an-2,
∴an+an-1=3(an-1+an-2),
又a1+a2=7,
∴{an+an-1}是首项为7,公比为3的等比数列,
则an+an-1=7×3n-2,①
又an-3an-1=-(an-1-3an-2),a2-3a1=-13,
∴{an-3an-1}是首项为-13,公比为-1的等比数列,
则an-3=(-13)·(-1)n-2,②
①×3+②得4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,
∴an=×3n-1+(-1)n-1.
法二(特征根法)　数列{an}的特征方程为x2=2x+3,
解得x1=-1,x2=3.
令an=c1·(-1)n+c2·3n,
由
故an=-(-1)n+·3n
=·3n-1+(-1)n-1.
规律方法　形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数)的二阶线性递推数列都可用特征根法求得通项an,其特征方程为x2=px+q,①
若①有二异根α,β,则可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常数);
若①有二重根α=β,则可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常数).
再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an.
样题3 (1)(2025·许昌质检)已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则an=　　　　.
(2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则an=　　　　.
答案　(1)　(2)
解析　(1)∵an+1=,a1=1,
∴an≠0,∴=+,即-=.
又a1=1,则=1,
∴是以1为首项,为公差的等差数列.
∴=1+(n-1)×=+,
∴an=.
(2)法一(构造法)　∵=3·+1,
∴+=3,+=1,
∴是以1为首项,3为公比的等比数列,
∴+=3n-1,∴=3n-1-,
∴an=.
法二(不动点法)　由方程=x,
求出x1=0,x2=-2,
于是an+1-0=-0=,
an+1+2=+2=,
两式相除得=·,
故数列,公比为的等比数列,
故=·,解得an=.
规律方法　求形如an+1=通项公式的方法
(1)当q=0时,可用构造法:两边同时取倒数转化为=·+的形式,化归为bn+1=ebn+f型,求出bn的表达式,再求an.
(2)当q≠0时,可用不动点法:
①若只有一个不动点x0,则是等差数列;
②若有两个不动点x1,x2,则是等比数列.
样题4 在正项数列{an}中,a1=1,an+1=2,求数列{an}的通项公式.
解　取以2为底的对数,得到
log2an+1=log2(2),log2an+1=log22+2log2an,
log2an+1=1+2log2an,设bn=log2an,
则有bn+1=1+2bn,则bn+1+1=2(bn+1),
所以{bn+1}是以b1+1=1为首项,2为公比的等比数列,
所以bn+1=2n-1,
所以bn=2n-1-1,
log2an=2n-1-1,an=.
规律方法　若an+1=p(p>0,q≠1,an>0),则构造=q,最终求得通项.
【精准强化练】
一、单选题
1.数列{an}中,an+1=2an+1,a1=1,则a100=(　　)
A.2100+1 B.2101
C.2100-1 D.2100
答案　C
解析　数列{an}中,an+1=2an+1,
故an+1+1=2(an+1),
因为a1=1,所以a1+1=2≠0,
所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以an+1=2n,即an=2n-1,
故a100=2100-1.
2.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=(　　)
A.47 B.48
C.49 D.410
答案　C
解析　由题意a1+a2=4,
由an=3an-1+4an-2(n≥3)
得an+an-1=4(an-1+an-2),
即=4(n≥3),
所以数列{an+an+1}是等比数列,公比为4,首项为4,所以a9+a10=49.
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则满足an>的n的最大取值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
答案　C
解析　因为an+1=,所以=4+,
所以-=4,
又=1,数列是以1为首项,4为公差的等差数列,所以=1+4(n-1)=4n-3,
所以an=,
由an>,即>,
即0<4n-3<37,解得因为n为正整数,所以n的最大值为9.
4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n+1,则S10=(　　)
A.211-23 B.210-19
C.3×210-23 D.3×29-19
答案　C
解析　当n=1时,S1=a1=2a1-2+1,
解得a1=1.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2n+3,
所以an=Sn-Sn-1
=2an-2n+1-(2an-1-2n+3),
即an=2an-1+2,
所以an+2=2(an-1+2),即=2,
所以数列{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列,
则an+2=3×2n-1,从而Sn=3×2n-2n-3,
故S10=3×210-23.
5.(2025·武汉调研)在数列{an}中,a1=3,an=2an-1-n+2,若an>980,则n的最小值是(　　)
A.8 B.9
C.10 D.11
答案　C
解析　因为an=2an-1-n+2,
所以an-n=2[an-1-(n-1)].
因为a1=3,所以a1-1=2,所以数列{an-n}是首项和公比都是2的等比数列,
则an-n=2n,即an=2n+n.
因为an-an-1=2n-1+1>0,
所以数列{an}是递增数列.
因为a9=521<980,a10=1 034>980,所以满足an>980的n的最小值是10.
6.已知数列{an}中,a1=,an+1=an+an·an+1,则数列{an}的通项公式an=(　　)
A. B.
C.-n D.
答案　D
解析　由题意,可得an+1=an+an·an+1,
即-=-1.
又=,所以数列为首项,公差为-1的等差数列,
所以=-(n-1)=-n,
所以an=.
7.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　)
A.80 B.100
C.120 D.143
答案　C
解析　因为an+1=an+2+1,
所以an+1+1=()2+2+1,
即an+1+1=(+1)2,
等式两边开方可得=+1,
即-=1,
所以数列{}是首项为=2,
公差为1的等差数列,
所以=2+(n-1)×1=n+1,
所以an=n2+2n,
所以a10=102+20=120.故选C.
8.(2025·六安模拟)某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N,1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M,每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算,记an表示第n天生命体M的个数,bn表示第n天生命体N的个数,且a1=1,b1=0,则下列结论中正确的是(　　)
A.a4=13
B.数列为递增数列
C.bn=63
D.若{an+λbn}为等比数列,则λ=1
答案　B
解析　依题意,an+1=2an+bn,bn+1=2bn+an,
则an+1+bn+1=3(an+bn),
而a1+b1=1,
因此数列{an+bn}是首项为1,公比为3的等比数列,an+bn=3n-1.
又an+1-bn+1=an-bn,
因此an-bn=a1-b1=1,
于是an=,bn=.
对于A,a4==14,A错误;
对于B,==1-,
显然数列是递增数列,
因此为递增数列,B正确;
对于C,bn=0+1+4+13+40=58,C错误;
对于D,a1+λb1=1,a2+λb2=2+λ,a3+λb3=5+4λ,由{an+λbn}为等比数列,
得(2+λ)2=5+4λ,解得λ=1或λ=-1,
当λ=1时,an+λbn=3n-1,显然数列{an+λbn}是等比数列,
当λ=-1时,an+λbn=1,显然数列{an+λbn}也是等比数列,
因此当数列{an+λbn}是等比数列时,λ=1或λ=-1,D错误.
二、多选题
9.(2025·广州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则以下结论正确的是(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
答案　AD
解析　因为an+1=,且a1=1≠0,
可知an≠0,
所以==+3,
所以+3=2,
又+3=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,故A正确;
则+3=4·2n-1=2n+1,
所以an=,故B错误;
因为an+1-an=-
==,
又n∈N*,所以2n+1>0,2n+2-3>0,2n+1-3>0,
所以an+1-an=<0,
所以{an}为递减数列,故C错误;
由上述得=2n+1-3,
所以Tn=22+23+…+2n+1-3n=-3n=2n+2-3n-4,故D正确.
10.已知数列{an}满足a1=1,an-3an+1=2an·an+1(n∈N*),则下列结论正确的是(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=3n-n
答案　AB
解析　因为an-3an+1=2an·an+1,
所以+1=3,
又+1=2≠0,所以是以2为首项,
3为公比的等比数列,+1=2×3n-1,
即an=.
所以{an}为递减数列,的前n项和
Tn=(2×30-1)+(2×31-1)+…+(2×3n-1-1)
=2(30+31+…+3n-1)-n
=2×-n=3n-n-1.
11.(2025·济宁质检)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*且a1>0,an+an-1≠0(n≥2),则下列选项正确的是(　　)
A.an=2n-23
B.数列为等差数列
C.当n=10时,Sn有最大值
D.设bn=anan+1an+2,则当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取最大值
答案　BCD
解析　对于A,当n=1时,
(a1-1)2=4(100-a1),
解得a1=19或a1=-21,
因为a1>0,所以a1=19.
当n≥2时,由(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*,
得(an-1-1)2=4(100-Sn-1),n∈N*,
所以(an-1)2-(an-1-1)2
=4(100-Sn)-4(100-Sn-1),
整理得(an+an-1)(an-an-1+2)=0,
因为an+an-1≠0,所以an-an-1+2=0,即an-an-1=-2,
所以数列{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,
所以an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21,故A错误;
对于B,由A可知,Sn=19n+×(-2)=-n2+20n,
所以==-n+20,
所以-=-(n+1)+20-(-n+20)=-1,
所以数列是首项为19,公差为-1的等差数列,故B正确;
对于C,因为Sn=-n2+20n=-(n-10)2+100,n∈N*,
所以当n=10时,Sn取得最大值,故C正确;
对于D,由an=-2n+21>0,得1≤n≤10,n∈N*,
由an=-2n+21<0,得n≥11,n∈N*,
所以当1≤n≤8,n∈N*时,
bn=anan+1·an+2>0,
当n=9时,b9=a9a10a11<0,
当n=10时,b10=a10a11a12>0,
当n≥11,n∈N*时,bn=anan+1an+2<0,
因为b9=a9a10a11=3×1×(-1)=-3,
b10=a10a11a12=1×(-1)×(-3)=3,
所以当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取最大值.故D正确.
三、填空题
12.已知数列{an}满足an+1=2an-n+1,a1=3,则an=　　　　.
答案　2n+n
解析　∵an+1=2an-n+1,
∴an+1-(n+1)=2(an-n),
∴=2,
∴数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列,
∴an-n=2·2n-1=2n,
∴an=2n+n.
13.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=an+2n,则{an}的通项公式为　　　　.
答案　an=2n
解析　由已知得an+1-an=2n,
当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=2+2+22+…+2n-1
=2+=2n,
又a1=2,也满足上式,故an=2n.
14.(2025·石家庄调研)在正项数列{an}中,a1=1,a2=10,=(n=3,4,5,…).则{an}的通项an=　　　　.
答案　1
解析　对=两边同时取常用对数可得lg an-lg an-1=(lg an-1-lg an-2).
令bn=lg an+1-lg an,则b1=lg a2-lg a1=1,bn-1=bn-2(n=3,4,5,…),
所以bn=(n=1,2,3,…),
所以lg an+1-lg an=,
故=1,
由累乘法可得=···…·=10×1×1×…×1,
因为1+++…+
==2,
故=1,则an=1,
a1=1,a2=10均满足an=1,
因此,对任意的n∈N*,an=1.数列的递推关系
高考定位　数列的递推关系是高考重点考查内容,作为两类特殊数列——等差数列、等比数列,可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解,体现了化归思想在数列中的应用.
【母题突破】
母题 (人教A版选修二P39例12)某牧场今年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,….
(1)写出一个递推公式,表示与cn之间的关系;
(2)将(1)中的递推公式表示成-k=r(cn-k)的形式,其中k,r为常数;
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1).
真题 (1)(2019·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　　.
(2)(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=　　　　.
样题1 (1)在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式为　　　　.
(2)在数列{an}中,若an+1=3an-4n-5,a1=5,则an=　　　　.
(3)在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=　　　　.
规律方法　形如an+1=pan+f(n)的数列通项公式的求法
(1)构造法:构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差数列或等比数列.
(2)不动点法:①形如an+1=pan+q的数列求通项公式的步骤:a.由x=px+q求出数列{an}的不动点;b.在递推公式an+1=pan+q两端同时减去x,化简使其左、右两侧结构一致;c.构造数列求通项.
②若数列满足an+1=pan+f(n)(f(n)为一次型函数)可转化为bn+1=pbn+k的形式求解.
样题2 已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.
规律方法　形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数)的二阶线性递推数列都可用特征根法求得通项an,其特征方程为x2=px+q,①
若①有二异根α,β,则可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常数);
若①有二重根α=β,则可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常数).
再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an.
样题3 (1)(2025·许昌质检)已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则an=　　　　.
(2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则an=　　　　.
规律方法　求形如an+1=通项公式的方法
(1)当q=0时,可用构造法:两边同时取倒数转化为=·+的形式,化归为bn+1=ebn+f型,求出bn的表达式,再求an.
(2)当q≠0时,可用不动点法:
①若只有一个不动点x0,则是等差数列;
②若有两个不动点x1,x2,则是等比数列.
样题4 在正项数列{an}中,a1=1,an+1=2,求数列{an}的通项公式.
规律方法　若an+1=p(p>0,q≠1,an>0),则构造=q,最终求得通项.
【精准强化练】
一、单选题
1.数列{an}中,an+1=2an+1,a1=1,则a100=(　　)
A.2100+1 B.2101
C.2100-1 D.2100
2.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=(　　)
A.47 B.48
C.49 D.410
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则满足an>的n的最大取值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n+1,则S10=(　　)
A.211-23 B.210-19
C.3×210-23 D.3×29-19
5.(2025·武汉调研)在数列{an}中,a1=3,an=2an-1-n+2,若an>980,则n的最小值是(　　)
A.8 B.9
C.10 D.11
6.已知数列{an}中,a1=,an+1=an+an·an+1,则数列{an}的通项公式an=(　　)
A. B.
C.-n D.
7.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　)
A.80 B.100
C.120 D.143
8.(2025·六安模拟)某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N,1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M,每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算,记an表示第n天生命体M的个数,bn表示第n天生命体N的个数,且a1=1,b1=0,则下列结论中正确的是(　　)
A.a4=13
B.数列为递增数列
C.bn=63
D.若{an+λbn}为等比数列,则λ=1
二、多选题
9.(2025·广州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则以下结论正确的是(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
10.已知数列{an}满足a1=1,an-3an+1=2an·an+1(n∈N*),则下列结论正确的是(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=3n-n
11.(2025·济宁质检)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*且a1>0,an+an-1≠0(n≥2),则下列选项正确的是(　　)
A.an=2n-23
B.数列为等差数列
C.当n=10时,Sn有最大值
D.设bn=anan+1an+2,则当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取最大值
三、填空题
12.已知数列{an}满足an+1=2an-n+1,a1=3,则an=　　　　.
13.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=an+2n,则{an}的通项公式为　　　　.
14.(2025·石家庄调研)在正项数列{an}中,a1=1,a2=10,=(n=3,4,5,…).则{an}的通项an=　　　　.

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